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Il P -esimo percentile di una variabile ordinata e quel valore sotto il quale cé il P % ( P percento) delle osservazioni. Ad esempio …il 20 -esimo percentile.

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1 Il P -esimo percentile di una variabile ordinata e quel valore sotto il quale cé il P % ( P percento) delle osservazioni. Ad esempio …il 20 -esimo percentile di una variabile ordinata e il valore sotto il quale cé il 20 % delle osservazioni. Percentili

2 COME SI CALCOLA UN PERCENTILE? 1.Si ordina in senso crescente la variabile 2.Il P-esimo percentile si calcola determinando prima il valore del prodotto del numero di osservazioni (numero dei dati=n) e del percentile che si desidera calcolare (P).

3 Percentili 3.Se si indica con i il prodotto nP e con x i il valore della variabile in posizione i si ha che il P-esimo percentile vale :

4 Esempio: PSA PosizionePSAPosizionePSA 10.1231.3 20.1241.3 30.2251.7 40.2261.8 50.3272.1 60.5282.2 70.6292.3 80.6302.6 90.6312.9 100.6323.2 110.6333.7 120.7343.9 130.7354.4 140.8364.6 150.9374.7 161.1385.0 171.2395.7 181.2406.0 191.2417.6 201.2428.9 211.2439.1 221.24410.5 Si esaminano i dati relativi alla determinazione del PSA in n=44 campioni di siero umano (si osservi che la variabile PSA e ordinata)

5 l Determinare il percentile di ordine 50. l Il percentile di ordine P = 50, é il dato in posizione Esempio (calcolo percentili) Dove n e il numero di osservazioni. Il 50-esimo percentile é la media fra il il ventiduesimo e ventitreesimo valore e quindi vale:

6 Esempio: PSA PosizionePSAPosizionePSA 10.1161.1 20.1171.2 30.2181.2 40.2191.2 50.3201.2 60.5211.2 70.6221.2 80.6231.3 90.6241.3 100.6251.7 110.6261.8 120.7272.1 130.7282.2 140.8292.3 150.9302.6 PosizionePSA 302.6 312.9 323.2 333.7 343.9 354.4 364.6 374.7 385.0 395.7 406.0 417.6 428.9 439.1 4410.5

7 l Per determinare il percentile 90, si determina prima la la posizione i : Quindi il percentile é alla posizione 40. l La quarantesima osservazione vale 6.0. Il 90-esimo percentile vale quindi 6 Esempio

8 Esempio: PSA PosizionePSAPosizionePSA 10.1161.1 20.1171.2 30.2181.2 40.2191.2 50.3201.2 60.5211.2 70.6221.2 80.623 90.624 100.625 110.626 120.727 130.728 140.829 150.9302.6 PosizionePSA 302.6 312.9 323.2 333.7 343.9 354.4 364.6 374.7 385.0 395.7 406.0 417.6 428.9 439.1 4410.5

9 Esempio:output di SAS

10 I Quartili sono i punti che dividono i dati ordinati in quarti. l Il primo quartile (Q1) è il 25-esimo percentile.Sotto tale punto cé un quarto dei dati. l Il secondo quartile (Q2) è il 50-esimo percentile. Sotto tale punto cé la metà dei dati. E chiamato mediana. l Il terzo quartile (Q3) è il 75-esimo percentile. Sotto tale punto ci sono i 3/4 dei dati. Percentili e Quartili

11 l Il primo quartile ( Q 1 ) (percentile 25) é chiamato lower quartile. l Il secondo quartile ( Q 2 ) (percentile 50) é chiamato mediana o middle quartile. l Il terzo quartile ( Q 3 ) (percentile 75) é chiamato upper quartile. l Linterquartile range (IQR) é la differenza fra primo e terzo quartile : IQR=(Q3-Q1) Quartili e Interquartile Range

12 Variable sesso N Mean Median StDev altezza M 59 170.37 170.00 7.15 F 54 158.78 160.00 7.37 Variable sesso Minimum Maximum Q1 Q3 altezza M 149.00 187.00 166.00 177.00 F 140.00 170.00 154.00 165.00 Q3-Q1 = 177-166 = 11, quindi il 50% dei maschi ha altezza compresa fra 177cm e 166 cm. Q3-Q1 = 165-154 = 11, quindi il 50% delle femmine ha altezza compresa fra 165cm e 154 cm.

13 Quartili e Interquartile Range Q3=177 Q1=166 Q3=165 Q1=154

14 ESEMPIO : PERCENTILI

15 Vengono misurate le pulsazioni cardiache a due gruppi di persone, una a riposo e laltra dopo una corsa di 500 metri.

16 ESEMPIO : PERCENTILI PERCENTILE CORSARIPOSO 1 49,08049,3763 2 54,16952,0644 3 57,39953,7698 4 59,82855,0528 5 61,80456,0964 6 63,48656,9846 7 64,96057,7634 8 66,28158,4608 9 67,48259,0950 10 68,587 59,6788 20 76,80164,0168 30 82,72367,1448 40 87,78469,8176 50 92,51472,3158 60 97,24474,8140 70 102,30577,4868 80 108,22880,6148 90 116,44284,9528 91 117,54785,5366 92 118,74886,1708 93 120,06886,8681 94 121,54387,6470 95 123,22588,5352 96 125,20189,5788 97 127,63090,8618 98 130,85992,5672 99 135,94995,2552 PERCENTILE CORSARIPOSO

17 ESEMPIO : PERCENTILI Percentile 90


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