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Varianza campionaria Errore standard della varianza campionaria.

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Presentazione sul tema: "Varianza campionaria Errore standard della varianza campionaria."— Transcript della presentazione:

1 Varianza campionaria Errore standard della varianza campionaria

2 Data una popolazione composta da N unità, {x} = 2,3,6,8,11, μ=6, σ 2 =10.8 Possibili campioni 05(2,2);(3,3);(6,6);(8,8);(11,11) 0.0 583.20 0.52(2,3);(3,2) 1.0 212.18 2.02(6,8);(8,6); 4.0 154.88 4.54(3,6);(6,3);(8,11);(11,8); 18.0 158.76 8.02(2,6);(6,2); 16.0 15.68 12.54(3,8);(8,3);(6,11);(11,6); 50.0 11.56 18.02(2,8);(8,2); 36.0 103.68 32.02(3,11);(11,3); 64.0 898.88 40.52(2,11);(11,2); 81.0 1764.18 25270.003903.00 calcolo della media aritmetica e della varianza della varianza campionaria. Media= 270/25= 10.80 Varianza= 3903/25= 156.12 Media (s 2 ) = 2 Varianza(s 2 ) = 2 4 /(N-1) 2 4 /(N-1)=2*10.8 2 /4=58.32 Varianza(s 2 )= dove (μ 4 -(2/4) μ 2 2 )/4= 144.46 Nota:

3 Data una popolazione, costituita da soggetti in buona salute e di età compresa tra i 25 e i 50 anni, la distribuzione dei livelli ematici di calcio approssima una gaussiana con media = 240 e deviazione standard = 15 moli/dl. Dalla stessa popolazione si sono poi estratti: 1000 campioni di dimensione n = 2 1000 campioni di dimensione n = 3 1000 campioni di dimensione n = 4 1000 campioni di dimensione n = 10 Di ciascun campione si sono calcolate la media e la varianza.

4 Come già sappiamo, all'aumentare della dimensione del campione la distribuzione delle medie campionarie è gaussiana con varianza inversamente proporzio- nale alla dimensione del campione.... ma come sono distribuite le varianze campionarie? calcemia media in campioni di numerosità 2, 3, …., 40

5 La distribuzione delle varianze campionarie dipende dalla dimensione del campione non solo per la dispersione ma anche per la forma: l'asimmetria positiva, assai elevata se i campioni sono molto piccoli, si riduce lentamente all'aumentare della numerosità campionaria., Varianza della calcemia in campioni di numerosità 2, 3, …., 40

6 VARIANZE CAMPIONARIEn σ2σ2σ2σ2 2 4 / 2 4 / 21222.6522596 013.22101 250 32214.4822544 893.13 50 625 50 625 43226.1522534 950.30 33 750 33 750 109221.5022511 378.49 11 250 11 250 Si può dimostrare che il valore atteso E(s 2 ) delle varianze campionarie coincide con la varianza dell'universo ( 2 ) da cui si sono estratti i campioni, e che se tale universo ha distribuzione gaussiana, la varianza delle varianze campionarie è pari a due volte il quadrato della varianza diviso per i gradi di libertà ( ) della varianza campionaria. Il numero di gradi di libertà della varianza campionaria è dato dal numero di scarti indipendenti su cui essa è basata. Mentre gli n elementi del campione sono indipendenti, gli scarti dalla media campionaria non lo sono: infatti, dati n-1 scarti, lo scarto restante è univocamente determinato dal vincolo. E(s 2 )= 2 se x~N (, 2 ), V(s 2 )=2 4 / Perciò i gradi di libertà di una varianza campionaria sono pari a n-1

7 In sintesi Si vuole studiare una caratteristica X presente nelle N unità di una popolazione. Popolazione: N unità con media e deviazione standard ; da essa si estrae un campione (con reinserimento) di ampiezza n ottenendo (N n possibili campioni) Voglio conoscere ignoto Voglio conoscere ignoto se e solo se x~N (, 2 ). dove Varianza(s 2 )= Formula esatta

8 FUNZIONE CHI-QUADRATO Si può dimostrare che, se i campioni sono tratti da una variabile gaussiana, il rapporto s 2 / 2 è una variabile casuale, la cui distribuzione può essere descritta da una funzione la cui forma dipende da, e che è nota con il nome di 2 (Chi-quadrato): dove

9 Frattili della distribuzione 2 (Chi-quadrato).005.010.025.050.100.250.750.900.950.975.990.995 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.02 0.10 1.32 2.71 3.84 5.02 6.63 7.88 2 0.01 0.02 0.05 0.10 0.21 0.58 2.77 4.61 5.99 7.38 9.21 10.60 3 0.07 0.11 0.22 0.35 0.58 1.21 4.11 6.25 7.81 9.35 11.34 12.84 4 0.21 0.30 0.48 0.71 1.06 1.92 5.39 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86 5 0.41 0.55 0.83 1.15 1.61 2.67 6.63 9.24 11.07 12.83 15.09 16.75 6 0.68 0.87 1.24 1.64 2.20 3.45 7.84 10.64 12.59 14.45 16.81 18.55 7 0.99 1.24 1.69 2.17 2.83 4.25 9.04 12.02 14.07 16.01 18.48 20.28 8 1.34 1.65 2.18 2.73 3.49 5.07 10.22 13.36 15.51 17.53 20.09 21.95 9 1.73 2.09 2.70 3.33 4.17 5.90 11.39 14.68 16.92 19.02 21.67 23.59 10 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 6.74 12.55 15.99 18.31 20.48 23.21 25.19 11 2.60 3.05 3.82 4.57 5.58 7.58 13.70 17.28 19.68 21.92 24.72 26.76 12 3.07 3.57 4.40 5.23 6.30 8.44 14.85 18.55 21.03 23.34 26.22 28.30 13 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 9.30 15.98 19.81 22.36 24.74 27.69 29.82 14 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 10.17 17.12 21.06 23.68 26.12 29.14 31.32 15 4.60 5.23 6.26 7.26 8.55 11.04 18.25 22.31 25.00 27.49 30.58 32.80 16 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 11.91 19.37 23.54 26.30 28.85 32.00 34.27 17 5.70 6.41 7.56 8.67 10.09 12.79 20.49 24.77 27.59 30.19 33.41 35.72 18 6.26 7.01 8.23 9.39 10.86 13.68 21.60 25.99 28.87 31.53 34.81 37.16 19 6.84 7.63 8.91 10.12 11.65 14.56 22.72 27.20 30.14 32.85 36.19 38.58 20 7.43 8.26 9.59 10.85 12.44 15.45 23.83 28.41 31.41 34.17 37.57 40.00 21 8.03 8.90 10.28 11.59 13.24 16.34 24.93 29.62 32.67 35.48 38.93 41.40 22 8.64 9.54 10.98 12.34 14.04 17.24 26.04 30.81 33.92 36.78 40.29 42.80 23 9.26 10.20 11.69 13.09 14.85 18.14 27.14 32.01 35.17 38.08 41.64 44.18 24 9.89 10.86 12.40 13.85 15.66 19.04 28.24 33.20 36.42 39.36 42.98 45.56 25 10.52 11.52 13.12 14.61 16.47 19.94 29.34 34.38 37.65 40.65 44.31 46.93

10 USO DELLA DISTRIBUZIONE CHI-QUADRATO Esempio: Si vogliono calcolare il 5° e il 95° percentile della distribuzione delle varianze campionarie per campioni di dimensione n=10 tratti dalla distribuzione dei livelli ematici di Calcio [x ~ N (240, 225)]. Pertanto i corrispondenti per- centili della distribuzione delle varianze campionarie sono Dalla tabella si ricava che il 5° ed il 95° percentile della distribuzione 2 con 9 gradi di libertà sono

11 Esempio Durante un progetto di screening sullipertensione, si è analizzata una popolazione in cui la pressione sistolica media era 120 mmHg con dev. stand. 20 mmHg. a) Estraendo a caso un campione di 100 soggetti, qual è la probabilità che la pressione sistolica media sia > di 126 mmHg? b) Qual è il valore di pressione sistolica media oltre il quale si trovano il 10% delle pressioni sistoliche medie più alte? Risposte a) Supponendo che la pressione sistolica si distribuisca nella popolazione come una normale: b)

12 Qual è lerrore standard della media campionaria calcolata su un campione di 16 unità, se la popolazione dalla quale è stato estratto il campione si distribuisce in modo gaussiano come =80 e =20? Calcolare inoltre: 1) La probabilità che la media del campione sia maggiore di 85. 2) La probabilità che una unità estratta dalla popolazione abbia un valore compreso tra 83 e 88. 3) Quante delle 16 unità campionarie vi aspettate abbiano un valore > 83? Esempio 2 3) Delle 16 unità campionarie ci si aspetta che (16 0.15866)=7.046 abbiano un valore di x maggiore di 83. 1) Lerrore standard delle medie campionarie è: 2) =0.44038-0.3458 Risposte

13 Esempio (3) Una variabile casuale ha distribuzione gaussiana con =80 e =8. La distribuzione di campionamento della media per campioni di numerosità 25, … [indicare la risposta corretta]. [A] è gaussiana con media 80 e deviazione standard 8 [B] è gaussiana con media 80 e deviazione standard 8/25 [C] è di forma ignota con media 80 e deviazione standard 8/25 [D] è gaussiana con media 80 e deviazione standard 8/5 Esempio 4 La distribuzione della variabile x è asimmetrica positiva, con media =1.8180 g/m 3 e deviazione standard =2.25 g/m 3. Descrivete la forma della distribuzione delle medie di campioni di dimensioni uguale a 40. Per il teorema del limite centrale la distribuzione delle medie di una variabile casuale x calcolate su campioni di numerosità 40 è gaussiana con media =1.8180 g/m 3 ed errore standard =2.25/40 g/m 3 =0.355756 g/m 3.

14 La statura degli iscritti alla leva nati nel Molise nel 1974 è distribuita in modo gaussiano con media pari a 169.2 cm e dev stand pari a 6.4. Qual è la probabilità che, considerata la statura di 3 iscritti alla leva (x 1,x 2,x 3 ) si abbia: La variabile w è ottenuta come somma dei quadrati di 3 variabili casuali gaussiane standardizzate, si distribuisce quindi come un chi-quadrato con 3 gradi di libertà. Pertanto, la probabilità di osservare un valore di w maggiore di 6.15 si ricava direttamente dalle tavole della distribuzione chi-quadrato: Esempio 5 Per definizione, la variabile chi-quadrato con n-1 gdl è la somma di n variabili zeta al quadrato

15 Esempio 6 Calcolare la probabilità che rifendosi ad una distribuzione chi- quadrato: a) la variabile X 2 con 17 gradi di libertà abbia valori nellintervallo [10.09;24.77]; b) la variabile X 2 con 3 gradi di libertà abbia valori tra il 20° e il 50° centile della distribuzione; c) la variabile X 2 con 5 gradi di libertà abbia un valore minore di 11.070. a) b) c) Risposte

16 Si considerino n distribuzioni normali Z 1 (0;1); Z 2 (0;1);... Z ν (0;1) con media nulla e varianza unitaria indipendenti tra loro. Sarà : χ² ν = Z 1 ² + Z 2 ² +.... +Z ν ² La funzione di densità f(x) per x = χ² ν dove Γ() è la funzione Gamma. Pertanto si ottiene: valore atteso μ = ν (dove ν sono i gradi di libertà) varianza σ² = 2 ν simmetria β 1 = 8/ ν curtosi β 2 = 3 + 12/ ν moda ν 0 = ν -2 (per ν 3) Appendice: funzione χ² ν chi quadro con ν gradi di libertà

17 Statistica dello scarto quadratico medio Sia s 2 lo scarto quadratico medio di una serie di misure: con la variabile h: è distribuita come il con n-1 gradi di libertà. dove E(h) è il valore aspettato di h, mentre V(h) è la sua varianza. Si ha quindi: E quindi:

18 Inoltre per sufficientemente grande dove è la distribuzione normale con media e varianza. doveè la distribuzione normale con media e varianza. Una migliore approssimazione la si ottiene considerando che, sempre per sufficientemente grande, se e è distribuito come il allora è distribuito come: e quindi:


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