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Università degli studi di Parma Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione Politecnico di Milano © 2001/02 - William Fornaciari Sintesi Combinatoria.

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Presentazione sul tema: "Università degli studi di Parma Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione Politecnico di Milano © 2001/02 - William Fornaciari Sintesi Combinatoria."— Transcript della presentazione:

1 Università degli studi di Parma Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione Politecnico di Milano © 2001/02 - William Fornaciari Sintesi Combinatoria Lezione 2.1 Sintesi di reti combinatorie a due livelli Docente: prof. William FORNACIARI

2 Sintesi di reti a 2 livelli© 2001/02 - William Fornaciari- 2 - Sintesi di reti combinatorie a due livelli Obiettivo generale ridurre la complessità di una (o più) funzione(i) booleana(e) espressa(e) in forma di Prodotto di Somme o di Somma di Prodotti (SOP) ci si concentrerà solo sulla forma Somma di Prodotti (l'altra ne è la duale) Nella sintesi a due livelli si cerca la Riduzione del numero dei termini prodotto (principale) Riduzione del numero di letterali (secondario) Obiettivo della sintesi a più livelli riduzione numero dei letterali

3 Sintesi di reti a 2 livelli© 2001/02 - William Fornaciari- 3 - Metodologie di sintesi ottima Esatte Karnaugh Quine - Mc Cluskey Euristiche per sintesi a due livelli

4 Sintesi di reti a 2 livelli© 2001/02 - William Fornaciari- 4 - Metodi esatti: Mappe di Karnaugh (ripasso) Strategia Si propone di identificare forme minime a due livelli La formula di riduzione da applicare è del tipo a B + a' B = (a+a') B = B con B termine prodotto di n-1 variabili Metodo individuazione degli implicanti primi e primi essenziali –Implicante primo »Termine prodotto associato ad un “raggruppamento” di dimensione massima –Implicante primo essenziale »Implicante primo che copre uno o più 1 non coperti da nessun altro implicante primo copertura implicanti implicanti primi implicanti primi essenziali

5 Sintesi di reti a 2 livelli© 2001/02 - William Fornaciari- 5 - Mappe di Karnaugh: forme minime Esempio a b c d f a b c d implicanti primi essenziali a' c' ; a d implicanti primi b' c d' a' b' d' ; b' c d' ; a b' c ; c' d f(a,b,c,d) = a' c' + a d + b' c d' forma minima (unica)

6 Sintesi di reti a 2 livelli© 2001/02 - William Fornaciari- 6 - Mappe K: condizioni di indifferenza Nel caso di funzioni non completamente specificate, la generazione degli implicanti primi tratta le condizioni di indifferenza come 1 condizioni di indifferenza (don't care) sono valori dell'uscita non specificate dal problema ad esempio, legate a configurazioni degli ingressi che non si presentano mai Nella fase di copertura vengono considerati solo gli 1 (on-set della funzione) e non le condizioni di indifferenza (dc-set della funzione)

7 Sintesi di reti a 2 livelli© 2001/02 - William Fornaciari- 7 - Mappe K: condizioni di indifferenza Esempio x x x x a b c d f 0x10 1x1x x a b c d implicanti primi f(a,b,c,d) = a b + b' d b'd ; c'd ; c'b ; ab ; ad

8 Sintesi di reti a 2 livelli© 2001/02 - William Fornaciari- 8 - Metodi esatti: Quine - Mc Cluskey Metodo di minimizzazione tabellare facilmente traducibile in un algoritmo Due fasi 1) Ricerca degli implicanti primi 2) Ricerca della copertura ottima

9 Sintesi di reti a 2 livelli© 2001/02 - William Fornaciari- 9 - Prima Fase (ricerca degli implicanti primi) nota: si fa riferimento alla forma SOP Si applica sistematicamente la proprietà: a B + a’ B = B Ad ogni passo della minimizzazione si confrontano esaustivamente tutti i termini prodotto appartenenti all’ON-set si operano le riduzioni su tutte quelle coppie che hanno una parte comune ed una sola variabile differente. I termini prodotto semplificati vengono marcati si crea un nuovo insieme di termini prodotto da confrontare. Il processo ha fine quando non sono più possibili delle riduzioni. I termini non marcati sono implicanti primi Quine - Mc Cluskey: Ricerca implicanti

10 Sintesi di reti a 2 livelli© 2001/02 - William Fornaciari Per ridurre la complessità algoritmica, l'operazione di confronto viene svolta considerando solamente gli insiemi S i j e S i+1 J insieme S i j : insieme dei termini prodotto, all'iterazione j, con un numero di 1 pari ad i Le configurazioni adiacenti ad un termine prodotto appartenente a S i j possono essere contenute solo in S i-1 j e S i+1 j Per facilitare la costruzione della tabella di copertura (seconda fase) Ad ogni termine prodotto è associata una etichetta che rappresenta l'insieme dei mintermini che esso copre. L'etichetta di un nuovo termine prodotto è ottenuta per concatenamento delle etichette dei termini da cui proviene Quine - Mc Cluskey: Ricerca implicanti

11 Sintesi di reti a 2 livelli© 2001/02 - William Fornaciari Quine - Mc Cluskey: algoritmo ricerca implicanti primi Algoritmo di Quine - Mk Cluskey J=0 J=0; tutti i mintermini appartenenti all’ON-set vengono etichettati e posti nei loro rispettivi S i 0 ; Ripeti Ripeti Perfino a Per k=min(i) fino a (max(i) - 1) confronta ogni configurazione in S i J con ogni altra in S i+1 J. Le configurazioni semplificate vengono marcate ed il risultato della semplificazione viene etichettato e posto in S i J+1. J=J+1 J=J+1 ; Fino a che Fino a che non sono più possibili delle riduzioni Tutte le configurazioni non marcate sono implicanti primi

12 Sintesi di reti a 2 livelli© 2001/02 - William Fornaciari a b c d Equivalente mappa di Karnaugh Implicanti Primi: P0(1,9): b' c' d P1(9,11,13,15): a d P2(12,13,14,15): a b Quine - Mc Cluskey: Esempio Esempio

13 Sintesi di reti a 2 livelli© 2001/02 - William Fornaciari Seconda Fase (ricerca della copertura ottima) Tabella degli implicanti (o tabella di copertura) É una matrice binaria A dove: indici di riga: Implicanti primi trovati nella prima fase indici di colonna: I mintermini appartenenti all’ON-set della funzione elementi a i,j : a 1 quando l'implicante primo i_esimo copre il mintermine j_esimo, altrimenti 0 Il problema di copertura è intrattabile. Si utilizzano le proprietà di essenzialità e dominanza Quine - Mc Cluskey: copertura ottima

14 Sintesi di reti a 2 livelli© 2001/02 - William Fornaciari Relazioni tra implicanti e mintermini che permettono la semplificazione della tabella Essenzialità Dominanza Dominanza di riga Dominanza di colonna Quine - Mc Cluskey: copertura ottima

15 Sintesi di reti a 2 livelli© 2001/02 - William Fornaciari Descrizione Se una colonna contiene un solo 1, la colonna corrisponde ad un prodotto fondamentale e la riga corrisponde ad un implicante primo essenziale. La riga è chiamata riga essenziale. Semplificazione La riga essenziale e le colonne da essa coperte (presenza di un 1) vengono eliminate dalla tabella Righe Essenziali Righe essenziali: P 1 ; P 2 ; P 3

16 Sintesi di reti a 2 livelli© 2001/02 - William Fornaciari Descrizione: Un implicante i-esimo domina un implicante j-esimo quando P i copre almeno tutti i mintermini coperti da P j Semplificazione P j è eliminato dalla tabella Ulteriori semplificazioni L'eliminazione per dominanza di una riga può generare dei nuovi implicanti essenziali. Poiché questi ultimi divengono essenziali a causa delle semplificazioni, le righe ad essi associate sono chiamate righe essenziali secondarie Dominanza fra righe P 0 : dominata P 1 : dominante P 1 : implicante essenziale secondario

17 Sintesi di reti a 2 livelli© 2001/02 - William Fornaciari Dominanza tra colonne Descrizione Un mintermine i-esimo domina un mintermine j-esimo quando ogni implicante che copre m j copre anche m i. (Può non valere l'opposto) Semplificazione m i è eliminato dalla tabella Significato: un implicante che copre m j copre anche m i Dominanza fra colonne

18 Sintesi di reti a 2 livelli© 2001/02 - William Fornaciari Quando tutte le righe essenziali e le colonne e righe dominate sono rimosse, la tabella ottenuta, se esiste, è ridotta e ciclica. E' detta Tabella ciclica degli implicanti primi Soluzioni a) Branch ( esponenziale con la dimensione della tabella) b) Metodo di Petrik Permette di risolvere il problema della scelta degli implicanti quando la tabella degli implicanti è ciclica Scelta degli implicanti primi in tabelle cicliche

19 Sintesi di reti a 2 livelli© 2001/02 - William Fornaciari Esempio del metodo di Petrik (P 0 +P 3 ) (P 0 +P 1 ) (P 1 +P 2 ) (P 2 +P 3 ) (P 1 +P 3 ) = 1 (P 0 +P 3 P 1 ) (P 1 P 3 +P 2 ) (P 1 +P 3 ) = 1 (P 0 P 2 +P 3 P 1 ) (P 1 +P 3 ) = 1 (P 0 P 2 P 1 +P 0 P 2 P 3 +P 3 P 1 ) = 1 Gruppi di implicanti primi: P 0 P 2 P 1 ; P 0 P 2 P 3 ; P 3 P 1 Da un prodotto di somme ad una somma di prodotti Scelta degli implicanti primi: Metodo di Petrik

20 Sintesi di reti a 2 livelli© 2001/02 - William Fornaciari Nel caso di funzioni non completamente specificate, la generazione degli implicanti primi tratta le condizioni di indifferenza come 1 A quanto visto in precedenza si aggiungono le seguenti regole Tutte le condizioni di indifferenza sono trattate come 1 Nella tabella di copertura compaiono come indici di colonna solo i mintermini appartenenti all’ON-set Per evitare di considerare implicanti primi costituiti da sole condizioni di indifferenza è possibile attuare ulteriori regole Tutte le configurazioni in S i 0 relative alle condizioni di indifferenza sono marcate a priori e Tutte le configurazioni relative a raggruppamenti di sole condizioni di indifferenza sono marcate anche se non semplificate riduce il numero degli implicanti primi da considerare nella copertura Condizioni di indifferenza

21 Sintesi di reti a 2 livelli© 2001/02 - William Fornaciari Esempio da sole condizioni di indifferenza Implicanti primi: P 0 : a' b' d' P 1 : a' c' d' P 2 : b c' f(a,b,c,d,)=a'b'd' + bc' Condizioni di indifferenza


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