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Parte I: Regressione Lineare Parte II: Analisi fattoriale Metodi Quantitativi per Economia, Finanza e Management Esercitazione n°9.

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1 Parte I: Regressione Lineare Parte II: Analisi fattoriale Metodi Quantitativi per Economia, Finanza e Management Esercitazione n°9

2 Le date per la consegna del lavoro di gruppo sono inderogabilmente fissate: –venerdì 13 gennaio 2012 entro le ore –venerdì 3 febbraio 2012 entro le ore Le tesine andranno consegnate in segreteria alla Sig.ra Cavazzana Le date desame relative alla sessione invernale sono: –lunedì 16 gennaio 2012 ore –lunedì 6 febbraio 2012 ore Le date di ricevimento sono (previa prenotazione via mail entro le ore 12 del venerdì precedente agli indirizzi e ): –martedì 10 gennaio 2012 dalle ore 8.30 alle ore 9.30 –martedì 31 gennaio 2012 dalle ore 8.30 alle ore 9.30 Consegna lavoro di gruppo, appelli e ricevimento

3 Parte I: Regressione Lineare

4 Multicollinearità Quando un regressore è combinazione lineare di altri regressori nel modello, le stime sono instabili e hanno standard error elevato. Questo problema è chiamato multicollinearità. La PROC REG fornisce nelloutput un indicatore per ogni regressore per investigare questo problema: Variance Inflation Factors (opzione VIF nel model statment).

5 Per verificare la presenza di multicollinearità regressione lineare di Xj sui rimanenti p-1 regressori - Rj² misura la quota di varianza di Xj spiegata dai rimanenti p-1 regressori valori alti=multicollin. - VIFj = 1 / (1 – Rj²) misura il grado di relazione lineare tra Xj e i rimanenti p-1 regressori valori alti= multicollin. Multicollinearità R2VIF

6 proc reg data=dataset; model variabile_dipendente= regressore_1... regressore_p /VIF; run; Modello di regressione lineare PROC REG – Sintassi per verificare presenza di multicollinearietà

7 Esempio Lanalisi fattoriale ci permette di risolvere il problema della multicollinearietà, come? 1° Modello di regressione lineare variabile dipendente= SODDISFAZIONE_GLOBALE, regressori= 21 variabili di soddisfazione (livello di soddisfazione relativo a tariffe, promozioni, ecc.) 2° Modello di regressione lineare variabile dipendente= SODDISFAZIONE_GLOBALE, 6 fattori creati con unanalisi fattoriale sulle 21 variabili di soddisfazione (livello di soddisfazione relativo a tariffe, promozioni, ecc.)

8 Esempio Parameter Estimates VariableDFParamete r Standardt ValuePr > |t|Standardize d Variance EstimateErrorEstimateInflation Intercept CambioTariffa_ MMSTuoOperatore_ copertura_ NoScattoRisp_ Autoricarica_ CostoMMS_ NumeriFissi_ DurataMinContratto_ vsPochiNumeri_ diffusione_ ComodatoUso_ ChiarezzaTariffe_ AccessoWeb_ AltriOperatori_ SMSTuoOperatore_ assistenza_ immagine_ ChiamateTuoOperatore_ Promozioni_ CostoSMS_ NavigazioneWeb_ ° Modello di regressione lineare Alcuni dei VIFj presentano valori alti Multicollinearità

9 Esempio Parameter Estimates VariableDFParameterStandardt ValuePr > |t|Standardized Variance EstimateErrorEstimate Inflation Intercept < Factor < Factor < Factor Factor < Factor < Factor < Lanalisi fattoriale ci permette di trasformare i regressori in componenti non correlate e risolvere il problema della multicollinearità. Tutti i Variance Inflation Factors sono uguali a 1, cioè lRj² della regressione lineare di Xj sui rimanenti p-1 regressori è pari a zero. 2° Modello di regressione lineare

10 proc reg data=dataset; model variabile_dipendente= regressore_1... regressore_p /option(s); run; Modello di regressione lineare PROC REG – Sintassi OPTIONS: STB calcola i coefficienti standardizzati selection=stepwise applica la procedura stepwise per la selezione dei regressori slentry=… livello di significatività richiesto per il test F parziale affinchè il singolo regressore possa entrare nel modello slstay=… livello di significatività richiesto per il test F parziale affinchè il singolo regressore non sia rimosso dal modello VIF per verificare presenza di multicollinearietà

11 Modello di regressione lineare : step di analisi Stimare un modello di regressione lineare utilizzando la procedura automatica di selezione delle variabili (stepwise) Controllare la bontà del modello (R-square, Test F, Test t) Analisi di influenza, eventualmente ristimare il modello senza le osservazioni influenti e controllarne la bontà Verificare la presenza di multicollinearità (se i regressori del modello sono i fattori di unanalisi fattoriale, risultano non correlati per costruzione tutti i VIFj =1) Interpretazione del coefficienti standardizzati, impatto dei regressori nella spiegazione del fenomeno

12 Parte II: Analisi fattoriale

13 Analisi Fattoriale E una tecnica descrittiva/esplorativa per lanalisi delle relazioni lineari (correlazioni) esistenti tra variabili quantitative. Nelle applicazioni è usata anche con variabili qualitative ordinali che esprimono scale di preferenza numeriche (punteggi). A partire da una matrice di dati nxp con p variabili originarie, consente di sintetizzare linformazione in un set ridotto di variabili trasformate (le componenti/i fattori latenti). Perché sintetizzare? -se linformazione è condivisa tra più variabili correlate tra loro, è ridondante utilizzarle tutte; -la sintesi comporta una perdita di informazione non rilevante e semplifica le analisi successive.

14 Analisi Fattoriale: Introduzione Metodo delle Componenti Principali Per estrarre i fattori e quindi stimare dei coefficienti (i LOADINGS), uno dei metodi possibili è il Metodo delle Componenti Principali. Alla matrice dei dati X (nxp) possono essere associate p nuove variabili (componenti principali), ottenute come combinazioni lineari della variabili originali. PROPRIETA delle COMPONENTI hanno media nulla hanno varianza pari al proprio autovalore sono tra loro ortogonali (non correlate) Per la stima dei loadings si ricorre agli autovalori e agli autovettori della matrice di correlazione R: di fatto i loadings coincidono con le correlazioni tra le variabili manifeste e le componenti principali.

15 PROC FACTOR – Sintassi generale proc factor data= dataset option(s); var variabile1 … variabile2 variabilen; run; Analisi fattoriale con il metodo delle componenti principali.

16 Analisi Fattoriale - Esempio Gli intervistati hanno espresso, per ciascuna delle 21 caratteristiche del servizio tariffa telefonica, un giudizio sullimportanza utilizzando una scala da 1 a 9. VARIABILEDESCRIZIONE immagine_1l'immagine dell'operatore diffusione_1la diffusione dell'operatore copertura_1la copertura della rete dell'operatore assistenza_1il servizio di assistenza dell'operatore NoScattoRisp_1l'assenza di scatto alla risposta CostoSMS_1il costo degli SMS CostoMMS_1il costo degli MMS AccessoWeb_1il costo di accesso a internet NavigazioneWeb_1il costo di navigazione in internet ChiamateTuoOperatore_1la possibilità di effettuare chiamate a costi inferiori verso numeri dello stesso operatore SMSTuoOperatore_1la possibilità inviare SMS a costi inferiori verso numeri dello stesso operatore MMSTuoOperatore_1la possibilità inviare MMS a costi inferiori verso numeri dello stesso operatore vsPochiNumeri_1le agevolazioni verso uno o più numeri di telefono NumeriFissi_1le agevolazioni verso numeri fissi AltriOperatori_1i costi verso altri operatori Autoricarica_1la possibilità di autoricarica Promozioni_1la possibilità di attivare promozioni sulle tariffe ChiarezzaTariffe_1la chiarezza espositiva delle tariffe ComodatoUso_1la possibilità di rivecere un cellulare in comodato d'uso DurataMinContratto_1la presenza di una durata minima del contratto CambioTariffa_1la facilità di cambiamento della tariffa

17 Esempio variabili

18 PROC FACTOR - Esempio Analisi fattoriale con il metodo delle componenti principali. PROC FACTOR DATA=CORSO.TELEFONIA SCREE FUZZ=0.3; VAR immagine_1 diffusione_1 copertura_1 assistenza_1 NoScattoRisp_1 CostoSMS_1 CostoMMS_1 AccessoWeb_1 NavigazioneWeb_1 ChiamateTuoOperatore_1 SMSTuoOperatore_1 MMSTuoOperatore_1 vsPochiNumeri_1 NumeriFissi_1 AltriOperatori_1 Autoricarica_1 Promozioni_1 ChiarezzaTariffe_1 ComodatoUso_1 DurataMinContratto_1 CambioTariffa_1; RUN; Scree Plot: grafico di autovalore vs il numero di fattori Stampa solo |loadings| > valore indicato.

19 Quanti fattori considerare? la regola autovalori > 1 Prendiamo in considerazione tutte le componenti principali con varianza maggiore di 1 (autovalori maggiori di 1) tenendo sotto controllo la % cumulata di varianza spiegata dalle componenti. lettura dello SCREE PLOT (grafico di autovalore vs il numero di fattori) Se il grafico mostra un gomito è plausibile ipotizzare lesistenza di una struttura latente, se la forma è quasi rettilinea significa che i fattori sono solo una trasformazione delle variabili manifeste. I fattori rilevanti sono quelli al di sopra del gomito (a discrezione anche quello in corrispondenza del gomito). Se non ci sono fattori predominanti il criterio è inadatto. rapporto tra numero di componenti e variabili numero di fattori scelti dovrebbe essere circa 1/3 delle variabili originarie percentuale di varianza spiegata >60%

20 Output PROC FACTOR Eigenvalues of the Correlation Matrix: Total = 21 Average = 1 EigenvalueDifferenceProportionCumulative La regola degli autovalori > 1 suggerisce di prendere in considerazione 5 fattori, che spiegano insieme il 56% della varianza totale. %varianza spiegata >60% GOOD

21 Output PROC FACTOR Lo scree plot mostra un gomito netto in corrispondenza di 5 fattori e uno in corrispondenza di 8 fattori. % DI VARIANZA SPIEGATA: soluzione a 5 fattori: 56% soluzione a 8 fattori: 70% numero fattori scelti circa 1/3 delle variabili originarie

22 PROC FACTOR - Esempio Confrontiamo la soluzione a 5 e a 8 fattori. PROC FACTOR DATA=CORSO.TELEFONIA SCREE FUZZ=0.3 N=8; VAR elenco variabili; RUN; N.B. Quando nella PROC FACTOR non viene indicato il numero di fattori con lopzione N = SAS adotta la regola degli autovalori >1 per scegliere il numero di fattori. Consente di specificare il numero di fattori che si vuole estrarre

23 Output PROC FACTOR Factor Pattern F1F2F3F4F5F6F7F8 immagine_ diffusione_ copertura_ assistenza_ NoScattoRisp_ CostoSMS_ CostoMMS_ AccessoWeb_ NavigazioneWeb_ ChiamateTuoOperatore_ SMSTuoOperatore_ MMSTuoOperatore_ vsPochiNumeri_ NumeriFissi_ AltriOperatori_ Autoricarica_ Promozioni_ ChiarezzaTariffe_ ComodatoUso_ DurataMinContratto_ CambioTariffa_ Values less than 0.3 are not printed. Analisi delle correlazioni tra fattori non ruotati e variabili (loadings)

24 Output PROC FACTOR COMUNALITA' FINALI Variabilen=5n=8 immagine_ diffusione_ copertura_ assistenza_ NoScattoRisp_ CostoSMS_ CostoMMS_ AccessoWeb_ NavigazioneWeb_ ChiamateTuoOperatore_ SMSTuoOperatore_ MMSTuoOperatore_ vsPochiNumeri_ NumeriFissi_ AltriOperatori_ Autoricarica_ Promozioni_ ChiarezzaTariffe_ ComodatoUso_ DurataMinContratto_ CambioTariffa_ Totale Analisi della % di varianza spiegata dai fattori (comunalità finali) Per ogni variabile si evidenziano le celle in corrispondenza delle quali la comunalità aumenta in maniera sostanziale per effetto dellestrazione di un ulteriori fattori (dalla soluzione a 5 fattori alla soluzione a 8 fattori).

25 Interpretazione Una volta estratti, i fattori vanno interpretati. Una rotazione ortogonale nello spazio dei fattori non influenza la validità del modello: sfruttiamo questa caratteristica per ottenere dei fattori più facilmente interpretabili! Dobbiamo fare in modo che ognuna delle variabili originali sia molto correlata con al massimo un fattore e poco correlata con gli altri.

26 Metodi di rotazione La rotazione opera sulla matrice dei loadings. Esistono diversi metodi, tra cui: 1. METODO VARIMAX: minimizza il numero di variabili che hanno correlazioni alte con un fattore 2. METODO QUARTIMAX: minimizza il numero di fattori che hanno correlazioni alte con una variabile 3. METODO EQUIMAX: è una combinazione dei due metodi precedenti IMPORTANTE: la % di varianza complessiva dei fattori ruotati rimane inalterata, mentre si modifica la % di varianza spiegata da ciascun fattore

27 PROC FACTOR - Esempio Operiamo una rotazione dei fattori con il metodo Varimax. PROC FACTOR DATA=CORSO.TELEFONIA N=8 FUZZ=0.35 OUT=CORSO.FACTORS ROTATE=VARIMAX REORDER; VAR elenco variabili; RUN; Specifica che il criterio per la rotazione dei fattori Produce in output un data set che contiene le variabili originali e i fattori non ruotati Ordina le variabili in modo da facilitare la lettura dei loadings

28 Output PROC FACTOR Rotated Factor Pattern Factor1Factor2Factor3Factor4Factor5Factor6Factor7Factor8 CostoMMS_ MMSTuoOperatore_ AccessoWeb_ NavigazioneWeb_ ChiarezzaTariffe_ Promozioni_ Autoricarica_ NoScattoRisp_ AltriOperatori_ NumeriFissi_ ChiamateTuoOperatore_ CostoSMS_ SMSTuoOperatore_ DurataMinContratto_ ComodatoUso_ CambioTariffa_ copertura_ assistenza_ diffusione_ immagine_ vsPochiNumeri_ Values less than 0.35 are not printed.

29 Output PROC FACTOR Rotated Factor Pattern Factor1Factor2Factor3Factor4Factor5Factor6Factor7Factor8 CostoMMS_ MMSTuoOperatore_ AccessoWeb_ NavigazioneWeb_ ChiarezzaTariffe_ Promozioni_ Autoricarica_ NoScattoRisp_ AltriOperatori_ NumeriFissi_ ChiamateTuoOperatore_ CostoSMS_ SMSTuoOperatore_ DurataMinContratto_ ComodatoUso_ CambioTariffa_ copertura_ assistenza_ diffusione_ immagine_ vsPochiNumeri_ Values less than 0.35 are not printed. COSTI SECONDARI VANTAGGI COSTI CHIAMATE SMS CONDIZIONI CONTRATTUALI SERVIZI OPERATORE VALORE DEL BRAND VS POCHI NUMERI COSTI CHIAMATE SMS

30 Fattori Una volta scelta la soluzione ottimale, è possibile utilizzare i fattori ottenuti come nuove macro-variabili da inserire in ulteriori analisi sul fenomeno indagato, al posto delle variabili originarie; Nel file di dati si potranno aggiungere 8 nuove variabili: –Costi secondari, –Vantaggi, –Costi chiamate, –SMS, –Condizioni contrattuali, –Servizi Operatore, –Valore del Brand, –Vs pochi numeri. si tratta di variabili standardizzate (ovvero a media nulla e varianza unitaria),

31 PROC FACTOR – Opzioni PROC FACTOR DATA=CORSO.TELEFONIA N=8 FUZZ=0.35 SCREE OUT=CORSO.FACTORS ROTATE=VARIMAX REORDER; VAR elenco variabili; RUN; OPZIONEDESCRIZIONE OUT =datasetProduce in output un data set che contiene le variabili originali e i fattori non ruotati N=num Consente di specificare il numero di fattori che si vuole estrarre ROTATE=metodoSpecifica che il criterio per la rotazione dei fattori (VARIMAX, …) SCREEProduce scree plot REORDEROrdina le variabili in modo da facilitare la lettura dei loadings FUZZ=valoreStampa solo |loadings| > valore indicato. Analisi fattoriale con il metodo delle componenti principali.

32 Step di analisi (1/2) STEP 1: scegliere quanti fattori considerare (scelta di varie soluzioni) la regola autovalori > 1 lettura dello SCREE PLOT Circa 1/3 delle variabili originarie Variabilità spiegata tra 60% e 75% STEP 2: confrontare le soluzioni scelte cumunalità finali PROC FACTOR DATA=data set SCREE FUZZ=k; VAR elenco variabili; RUN; PROC FACTOR DATA=data set SCREE FUZZ=k N=n ; VAR elenco variabili; RUN;

33 Step di analisi (2/2) STEP 3: una volta scelta la soluzione finale ruotare i fattori interpretare i fattori salvare il data set con i fattori STEP 4: se linterpretazione non è soddisfacente ripetere lo step n°3 variando metodo di rotazione o provando unaltra soluzione. PROC FACTOR DATA=data set SCREE FUZZ=k OUT=data set output ROTATE= metodo di rotazione REORDER N=n ; VAR elenco variabili; RUN;


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