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1 Principi fisici di conversione avanzata (Energetica L.S.) G.Mazzitelli ENEA Quarta/Quinta Lezione.

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1 1 Principi fisici di conversione avanzata (Energetica L.S.) G.Mazzitelli ENEA Quarta/Quinta Lezione

2 2 Terza/Quarta Lezione Le reazioni nucleari La fusione -Reazioni di Fusione -Bilancio Energetico -Plasma -Moto delle particelle cariche in presenza di campi E e/o B -Il Tokamak -Principio di funzionamento -Equilibrio -Riscaldamento -Stabilità

3 3 Reazioni Nucleari In un tipico esperimento di laboratorio abbiamo: x + X y + Y dove x è la particella incidente su un target di nuclei X e y e Y sono i prodotti della reazione rispettivamente un nucleo Y e una particella y Esempio:

4 4 Reazioni Nucleari Come in una reazione chimica, in una reazione nucleare il numero di protoni e di nucleoni deve essere conservato La reazione deve conservare lenergia, limpulso e il momento angolare Calcoliamo il Q della reazione

5 5 Reazioni Nucleari Assumiamo che X si fermo e che le energie cinetiche delle particelle siano molto inferiori alla loro energia a riposo (cinematica non relativistica) Energia iniziale = Energia finale

6 6 Reazioni Nucleari Possiamo avere due casi: Q>0 energia nucleare è convertita in energia cinetica - reazione esotermica Q<0lenergia cinetica della particella incidente è convertita in energia di legame reazione endotermica

7 7 Reazioni Nucleari Esercizio: In una reazione endotermica lenergia cinetica della particella incidente deve essere sufficiente anche per lenergia a riposo in più dei prodotti di reazione. Ciò significa che il processo avviene al di sopra di una certa energia minima o soglia. Trovare la formula per lenergia di soglia (trattare il problema nel sistema di riferimento del centro di massa)

8 8 Reazione di fusione La reazione nucleare consiste nella fusione di due nuclei leggeri che producono un nucleo più pesante di massa inferiore alla somma delle masse iniziali. La reazione determina un rilascio di energia sotto forma di energia cinetica dei prodotti di reazione. E = mc 2

9 9 Reazione di fusione La più promettente reazione di fusione è: 1 D T 3 2 He n MeV MeV = 17.6 MeV

10 10 Reazione di fusione Calcoliamo il bilancio delle masse: D = ( ) m p T = ( ) m p = ( ) m p n = ( ) m p m = m p = mc 2 =2.818x joules = MeV

11 11 Reazione di fusione La sezione durto a basse energie è piccola a causa della repulsione coulombiana che impedisce ai nuclei di avvicinarsi r m =raggio del nucleo

12 12 Reazione di fusione Leffetto tunnel della meccanica quantistica fa si che il picco della sezione durto per la reazione D-T avviene ad energie minori di quelle richieste per superare la barriera coulumbiana. Il picco si ha per energie dei nuclei intorno ai 100 KeV. Assumendo che le nostre particelle abbiano una distribuzione di velocità maxwelliana il numero di medio reazioni di fusione per unità di tempo e di volume è:

13 13 Reazione di fusione

14 14 Bilancio Energetico E possibile a priori determinare a quali condizioni un plasma termonucleare può produrre energia per mezzo delle reazioni di fusione ? W/m 3 Energia prodotta da reazioni nucleari D-T :Calcoliamo v P n D nTnT

15 15 Bilancio Energetico W/m 3 l energia persa e energia prodotta si ha: Uguagliando Assumendo T dellenergia di confinamentotempo P Energia persa Ev kT n nkT Wv n n =n=nT )T( / E E n T n Dn D ei = E E ei )(3

16 16 Bilancio Energetico keVsmxnT. Tx.v E la condizione per l' ignizione diventa : MeVcosì che usando E T in keVs, m Ma tra 10 – 20 keV il rate della reazione dentro un 10% è 3 -1 n = densità =10 20 m -3 T = temperatura=10keV E = tempo di confinamento dellenergia=3s

17 17 Bilancio Energetico Con questi valori del triplo prodotto n,T e E la reazione si autostiene. Ovverosia lenergia cinetica delle particelle riscalda il plasma senza apporto dallesterno Quando si raggiunge questa condizione si ha Iignizione.

18 18 Il Plasma Il plasma (quarto stato della materia) è un gas ionizzato In un plasma gli atomi sono dissociati nei loro costituenti ioni ed elettroni. Un plasma, come un gas, può essere descritto in termini di densità e temperatura delle particelle.

19 19 14

20 20 Il Plasma Un plasma ha due caratteristiche proprie: – Complessivamente è quasi-neutro;ovverosia le cariche di un certo segno non sono mai in eccesso rispetto a quelle di segno contrario. – Campi elettrici e magnetici cambiano sensibilmente le proprietà fisiche del plasma.

21 21 Il Plasma Quasi-neutralità Questa condizione è ciò che caratterizza un plasma e permette di definirlo quantitativamente tramite il raggio di Debye: n TeTe cost D Affinchè un plasma possa essere considerato come un gas di particelle cariche,macroscopicamente neutro, è necessario che la sua dimensione tipica L sia molto più grande di D

22 22 Il Plasma Come in un gas in equilibrio termodinamico, la distribuzione delle velocità delle ioni ed elettroni in un plasma è Maxwelliana: dove A è una costante, ½ mu 2 è lenergia cinetica, K è la costante di Boltzmann (K=1.38x erg/ºK), f(u)du rappresenta il numero di particelle per cm 3 che hanno velocità compresa tra u e u+du la densità, o il numero di particelle per cm 3 sarà: n f (u ) du e KT muAuf / 2 1 exp)( 2

23 23 Il Plasma Supponiamo di perturbare lo stato di equilibrio del plasma con un campo elettrico generato da una particella test di carica positiva +q posizionata nellorigine. Calcoliamo il potenziale elettrostatico (r). La funzione di distribuzione adesso deve tener conto della nostra particella test e diviene: La densità sarà: i,e ioni ed elettroni

24 24 Il Plasma Se assumiamo che la perturbazione al potenziale elettrostatico è debole,cioè: q (r)/KT Allora possiamo riscrivere leq. per la densità e per la densità di carica

25 25 Il Plasma Se consideriamo la prima eq. di Maxwell e la relazione tra il campo elettrico e il potenziale scalare Otteniamo lequazione di Poisson:

26 26 Il Plasma )/rexp( r e )r( otteniamo :risolvendo eN/KT dove Assumendo simmetria sferica abbiamo: D D D

27 27 Il Plasma Pertanto il potenziale decade esponenzialmente e leffetto della particella test è neutralizzato su una distanza pari alla lunghezza di Debye che in una utile forma diventa: D =2.35x10 5 (T/n) 1/2 m, T in eV In un tokamak 0.01< D <0.1 mm

28 28 Il Plasma Se applichiamo una piccola differenza di potenziale nel plasma scorre corrente. Se applichiamo un campo magnetico il moto delle ioni ed elettroni non è più random

29 29 Moto delle particelle Lequazione del moto di una particella di massa m J e carica e J in presenza di un campo magnetico è: B x v=e dt dv m J J Se B è uniforme e diretto lungo lasse z abbiamo: 0 dt dv v dt dv v dt dv z xcj y y x = =

30 30 Moto delle particelle è la frequenza ciclotronica. Se separiamo v x e v y nelleq. precedente si ha: j j cj m Be dove è :soluzionecuila

31 31 Moto delle particelle Larmordiraggioilè Be vm v r dove tsenrytcosrx :abbiamoancoraegrandoint cuiperdt/dyvedt/=dxvma j j cj Lj cjLjcjLj yx

32 32 Moto delle particelle Pertanto le particelle descrivono delle eliche nella direzione del campo magnetico. La direzione delle rotazione è tale che il campo magnetico generato è tale da opporsi al campo esterno. Il plasma è diamagnetico

33 33 Moto delle particelle Se adesso consideriamo la presenza di un campo elettrico lequazione del moto diviene: m accelerataèparticellala E =e v //j j dt d // B che E semplice caso più nel B )xvEq( dt vd m

34 34 Moto delle particelle Ma cosa succede se il campo magnetico ha un gradiente parallelo a B

35 35 Moto delle particelle Assumiamo che le variazione del campo B siano molto piccole su una distanza dellordine del raggio di Larmor r L e che il campo sia assisimmetrico ovverosia la componente in sia nulla. Partiamo dalleq.di Maxwell : 0 · B

36 36 Moto delle particelle In coordinate cilindriche z B rB r cuiper B r eBma B z r · r r z B r rB z r 0 1B r =

37 37 Moto delle particelle Integrando nellintervallo di un r L abbiamo: tetancosmoconsiderialor ervalloint'nellpocoiavar z B se L, z 0 < r dr z B r rB r z r L r 0 L r 0

38 38 Moto delle particelle Pertanto: qB mv rma z Brv qBvBvqF la componente z della forzaCalcoliamo B lo sostituiamo conpocoia varBSe z/ B)/r(B L L rz z Lr 2 2

39 39 Moto delle particelle Per cui si ha: z B F : allora B mv cometetanruoparticelladella magneticomomentoildefiniamose z B B mv F z z

40 40 Moto delle particelle è molto importante perche è un invariante adiabatico cioè come la particella si muove in zone di campo più forte o più debole cambia il suo raggio di Larmor ma rimane invariato. Dimostriamolo!

41 41 Moto delle particelle. d.v.c dt d cheìcos conservasiparticelladellaenergia'L dt dB mv dt d v z perforzalaiamoMoltiplich z

42 42 Moto delle particelle Ma torniamo allespressione della forza: z notiamo che: Non dipende dalla carica elettrica Respinge le particelle verso le zone di campo B più debole B B mv FzFz =

43 43 Moto delle particelle Sulla scala di r L le particelle girano rapidamente intorno al centro di guida ma in presenza di: E(t) 4 BdiCurvatura3 B 2 BE1 B Il centro di guida si sposta (drift) perpendicolarmente

44 44 2 B ExB vdvd Moto delle particelle Drift elettrico B E ioni elettroni

45 45 Moto delle particelle v B BxB rv Ljd B Drift dovuto ad un gradiente B ioni elettroni V =

46 46 Moto delle particelle B BxB v v cj // d Drift dovuto alla curvatura del campo v 2 =

47 47 Moto delle particelle dt Ed B v cj d Drift di polarizzazione B E 1

48 48 Confinamento magnetico Abbiamo visto che in presenza di un gradiente di campo parallelo a B si ha:

49 49 Confinamento magnetico Per ovviare alle perdite longitudinali, lidea più ovvia e quella di richiudere il cilindro su stesso a formare un toro.

50 50 Confinamento magnetico Solo un campo magnetico toroidale non confina le particelle. E necessario sovrapporre un campo magnetico poloidale. La configurazione magnetica risultante sono delle superfici chiuse luna dentro laltra e le particelle si avvolgono su di esse.

51 51 Confinamento magnetico Si indica con q il rapporto tra il numero di giri in direzione toroidale m e il numero di giri in direzione polidale n q è chiamato fattore di sicurezza. Più è alto e maggiore è la stabilità del plasma. Calcoliamolo:

52 52 Confinamento magnetico dsds cost

53 53 Calcolo della linea di forza

54 54 Confinamento magnetico Due particelle che partono da punti con lo stesso angolo θ dopo un giro toroidale hanno un θ diverso. In altri termini il campo magnetico e dotato di shear

55 55 Confinamento Magnetico Abbiamo visto che è possibile confinare le particelle medianti opportuni campi magnetici. Ma è impossibile, studiare le proprietà del plasma, seguendo il moto delle singole particelle. Come per un gas, dobbiamo avere una descrizione statistica.

56 56 Confinamento Magnetico Senza addentrarci nei dettagli matematici, leq. Cinetica Collisionale per un plasma è quella di Fokker-Planck Per molte applicazioni possiamo trattare il plasma come un fluido che ha una densità di particelle n(x,t), una velocità v(x,t) e una pressione p(x,t)funzioni di sole quattro variabili

57 57 Confinamento Magnetico Le eq. che descrivono n,v e P sono ottenute prendendo i momenti di ordine =0,1 e 2 delleq.di Fokker-Planck(FP)

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59 59 Confinamento Magnetico MHD cioè Magnetoidrodinamica è il nome dato alla descrizione fluida del plasma. In questo modello non si distinguono ioni ed elettroni. Le eq. che descrivono il plasma nel modello mhd ideali sono quelle ricavate dalla eq. Cinetica collisionale più le eq. di Maxwell dellelettromagnetismo cioè:

60 60 Confinamento Magnetico

61 61 Confinamento Magnetico Per qualunque sistema la condizione di equilibrio è che su ogni punto del plasma la forza netta sia zero. Ciò significa che il primo membro delleq.2 deve essere zero ovverosia che la pressione deve essere bilanciata dalla pressione magnetica P = j x B

62 62 Confinamento magnetico Da questa equazione abbiamo: Non ci sono gradienti di pressione lungo le linee di forza del campo magnetico e le superfici magnetiche sono superfici in cui p=cost. Inoltre anche le linee di corrente giacciono sulle superfici magnetiche P=0 B·B· J·J·

63 63 Il Tokamak

64 64 Il Tokamak Torniamo alleq. di equilibrio

65 65 Il Tokamak Nel caso di un cilindro il termine a secondo membro e zero ovverosia la quantità

66 66 Il Tokamak B jdjd Basso p Alto B Basso B Alto p Diamagnetismo p

67 67 Il Tokamak Una grandezza fondamentale è il definito come è fondamentale poiché più è alto e più un reattore è economico per un dato campo magnetico!! A KeV ~T 2 e la potenza termonucleare a p 2 mentre il costo va come B 2

68 68 Equilibrio Ritorniamo alleq.(6) in un tokamak la situazione è diversa a causa della dipendenza del B t da 1/R per cui il termine a destra delleq. non è più nullo Lanello di plasma tende ad espandersi nel verso dellasse maggiore e per contrastarlo è necessario imporre un campo verticale creato da una scocca conduttrice o da avvolgimenti esterni

69 69 Equilibrio

70 70 Riscaldamento Abbiamo visto come confinare il plasma ma come lo riscaldiamo ? Un plasma è composto di ioni ed elettroni che subiscono collisioni. Trattandosi di particelle cariche le collisioni sono dovute allinterazione coulombiana

71 71 Riscaldamento Il campo elettrico nel plasma lo possiamo suddividere in due componenti: una macroscopica che determina il drift delle particelle e che è presente nelleq. MHD.Il secondo è un campo rapidamente fluttuante che una particelle sperimenta allinterno della sfera di Debye.

72 72 Riscaldamento Queste collisioni sono alla base dei fenomeni di trasporto allinterno del plasma e che, tralasciando la trattazione matematica, determinano i coefficienti ed i relativi tempi caratteristici del trasporto delle particelle e dellenergia

73 73 Riscaldamento Quando applichiamo un campo elettrico al plasma gli elettroni saranno accellerati con una velocità di drift v d controbilanciata dalle collisioni Le collisioni si oppongono al moto esattamente come avviene in un conduttore percorso da corrente In assenza di B o parallelo alla corrente:

74 74 Riscaldamento La legge di ohm è: Dove η è la resistività

75 75 Riscaldamento Ma ciò che è importante e la dipendenza di da T -3/2 che significa che al crescere della temperatura lefficacia del riscaldamento ohmico dimnuisce e bisogna riscaldare il plasma con sistemi addizionali. La resistività del plasma per Te~1.4 keV è uguale a quella del rame

76 76 Riscaldamento Due sono i sistemi principali di riscaldamento addizionale: –Iniezioni di atomi neutri veloci –Iniezioni di onde elettromagnetiche Risonanza ciclotronica elettronica Risonanza ciclotronica ionica Risonanza alla frequenza ibrida inferiore

77 77 Riscaldamento Una importante caratteristica dei sistemi di riscaldamento addizionale è la possibilità di generare corrente. In un reattore questo è fondamentale per un funzionamento in continuo

78 78 Riscaldamento Su FTU sono installati tre sistemi di riscaldamento addizionale: –Ibrida Inferiore (Lower Hybrid) 8 GHz 6MW installati di cui 2.5MW al plasma- Antenna –Ciclotronica elettronica per B t = 5 T 140 GHz 1.6 MW -Specchi –Onde di Berstein (IBW) 4th armonica ciclotronica ionica in H a B t =8 T 433 MHz 1.0 MW – Antenna a guide donda

79 79 Riscaldamento Parlando di riscaldamento è naturale introdurre il parametro di merito più importante il tempo di confinamento dellenergia E : Dove P è la potenza totale di input Il confinamento è determinato dai processi convettivi e conduttivi cosi come dalle perdite radiative

80 80 Stabilità In assenza di instabilità il confinamento di una configurazione assisimmetrica toroidale è determinato dalle collisioni coulombiane ma non è così. Gli esperimenti mostrano un disaccordo per il trasporto del calore per gli elettroni che è due ordini di grandezza superiore a quello teorico. Fino ad oggi abbiamo leggi empiriche ma non ancora una soddisfacente teoria delle instabilità.

81 81 Stabilità Alcuni esempi: Kink Instability Sausage Instability

82 82 Tokamak FTU Circolare JET D-Shape ITER D-Shape Raggio Maggiore (m) Volume del plasma(m 3 ) Corrente di plasma(MA) Campo Magnetico (T)845.3 Durata impulso (s)

83 83 FTU

84 84 FTUFTU

85 85 FTUFTU

86 86 FTU

87 87 FTU FTU

88 88 JE T

89 89 JE T

90 90 Tokamak


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