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A.S.E.12.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 12 Teorema di SHENNONTeorema di SHENNON Implicanti, Inclusivi, Implicanti PrincipaliImplicanti,

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1 A.S.E.12.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 12 Teorema di SHENNONTeorema di SHENNON Implicanti, Inclusivi, Implicanti PrincipaliImplicanti, Inclusivi, Implicanti Principali Mappe di KarnaughMappe di Karnaugh Sintesi ottimaSintesi ottima Esempio di minimizzazioneEsempio di minimizzazione Considerazioni su soluzioni diverseConsiderazioni su soluzioni diverse Tecniche strutturate di minimizzazioneTecniche strutturate di minimizzazione Sintesi a due livelliSintesi a due livelli Sintesi a più di due livelliSintesi a più di due livelli Reti a più usciteReti a più uscite

2 A.S.E.12.2 Teorema di espansione di Shannon Data la funzioneData la funzione Vale la seguente uguaglianzaVale la seguente uguaglianza OvveroOvvero

3 A.S.E.12.3 Esempio Data la funzioneData la funzione RisultaRisulta

4 A.S.E.12.4 Osservazione Applicando in modo iterativo il teorema di ShannonApplicando in modo iterativo il teorema di Shannon Quindi il teorema di Shennon consete di ricavare sempre la forma SPQuindi il teorema di Shennon consete di ricavare sempre la forma SP

5 A.S.E.12.5 Esempio Data la funzioneData la funzione RisultaRisulta

6 A.S.E.12.6 Implicanti Date due funzioni f 1 e f 2 di n variabiliDate due funzioni f 1 e f 2 di n variabili f 1 implica f 2 se non cè un assegnazione di valori alle n variabili tale che risulti f 1 =1 e f 2 =0 f 1 implica f 2 se non cè un assegnazione di valori alle n variabili tale che risulti f 1 =1 e f 2 =0 Per funzioni booleane completamente definitePer funzioni booleane completamente definite Se f 1 vale 1 anche f 2 vale 1Se f 1 vale 1 anche f 2 vale 1 –(Il fatto che f 1 vale 1 implica che anche f 2 vale 1) Ovvero Se f 2 vale 0 anche f 1 vale 0Ovvero Se f 2 vale 0 anche f 1 vale 0

7 A.S.E.12.7 Esempio 1 PerPerxyz f1f1f1f1 f2f2f2f

8 A.S.E.12.8 Esempio 2 PerPerxyz f3f3f3f3 f4f4f4f

9 A.S.E.12.9 Osservazione Per una f funzione nella forma SPPer una f funzione nella forma SP –Ogni termine di prodotto è implicante di f Per una f funzione nella forma PSPer una f funzione nella forma PS –La funzione f è implicante di ciascun temine di somma

10 A.S.E Inclusione Dati due termini di prodotto p 1 e p 2Dati due termini di prodotto p 1 e p 2 – p 1 include p 2 se e solo se tutti i letterali di p 2 sono presenti in p 1 Dati due termini di somma s 1 e s 2Dati due termini di somma s 1 e s 2 – s 1 include s 2 se e solo se tutti i letterali di s 2 sono presenti in s 1 Se p 1 include p 2 allora p 1 implica p 2Se p 1 include p 2 allora p 1 implica p 2 Se s 1 include s 2 allora s 2 implica s 1Se s 1 include s 2 allora s 2 implica s 1

11 A.S.E Esempio Il termine di prodottoIl termine di prodotto Include il termine di prodottoInclude il termine di prodotto Quindi implicaQuindi implica Il temine di sommaIl temine di somma Include il termine di sommaInclude il termine di somma Quindi implicaQuindi implica

12 A.S.E Implicanti principali OsservazioniOsservazioni –Tutti i termini di prodotto di una funzione booleana, nella forma SP, sono implicati della funzione –Tutti i mintermini di una funzione sono implicanti Un termine di prodotto che è implicante di una funzione è detto Implicante Principale se non include nessun altro implicate della funzione con un numero minore di letteraliUn termine di prodotto che è implicante di una funzione è detto Implicante Principale se non include nessun altro implicate della funzione con un numero minore di letterali

13 A.S.E Esempio Per la funzione definita dalla tabella di veritàPer la funzione definita dalla tabella di verità Sono implicati diSono implicati di I terminiI termini non sono implicanti principali I terminiI termini implicanti principali implicanti principali ( include, include xyzf

14 A.S.E Sintesi ottima È necessario definire una funzione COSTO da minimizzareÈ necessario definire una funzione COSTO da minimizzare Definiti letterali le variabili dirette o complementate presenti in una funzioneDefiniti letterali le variabili dirette o complementate presenti in una funzione Date due forme diverse della stessa funzioneDate due forme diverse della stessa funzione La forma A ha un costo minore della funzione B se A contiene meno letterali.La forma A ha un costo minore della funzione B se A contiene meno letterali. Minimizzare una funzione vuol dire trovare la forma con meno letteraliMinimizzare una funzione vuol dire trovare la forma con meno letterali Si possono definire altre funzioni COSTO in funzione della tecnologia realizzativaSi possono definire altre funzioni COSTO in funzione della tecnologia realizzativa

15 A.S.E Ottimizzazione mediante le Mappe di Karnaugh Passo 1Passo 1 individuare sulla mappa tutti gli implicanti di ordine superiore possibile che coprono tutta la funzioneindividuare sulla mappa tutti gli implicanti di ordine superiore possibile che coprono tutta la funzione Passo 2Passo 2 Scegliere un insieme più piccolo possibile di implicanti principali che coprono la funzioneScegliere un insieme più piccolo possibile di implicanti principali che coprono la funzione NOTANOTA Lottimizzazione si fa per ispezione visivaLottimizzazione si fa per ispezione visiva

16 A.S.E Esempio Per la funzione prima vista :Per la funzione prima vista : si ha:si ha: La scelta 3 da luogo ad una funzione migliore delle altreLa scelta 3 da luogo ad una funzione migliore delle altre

17 A.S.E Esempio di minimizzazione Data la funzione precedentemente vista:Data la funzione precedentemente vista: abcz Si ha: a b, c

18 A.S.E Condizioni non specificate »Può capitare che in particolari applicazioni alcune configurazioni degli ingressi non si possano verificare, quindi luscita per tali uscite non è specificata (Dont-Care Conditions ) »Se i dont care si considerano 0 si ottiene la prima funzione »Se i dont care si considerano 1 si ottiene la seconda funzione

19 A.S.E Un cattivo esempio

20 A.S.E Tecniche strutturate Il procedimento di sintesi per ispezione visiva si può utilizzare fino a 4 ÷ 5 variabiliIl procedimento di sintesi per ispezione visiva si può utilizzare fino a 4 ÷ 5 variabili Il procedimento di sintesi per ispezione visiva può essere anche descritto come processo formale strutturatoIl procedimento di sintesi per ispezione visiva può essere anche descritto come processo formale strutturato Metodo di Quine McCluskeyMetodo di Quine McCluskey Può essere tradotto in un programmaPuò essere tradotto in un programma La complessità del programma cresce in modo esponenziale con laumentare delle variabiliLa complessità del programma cresce in modo esponenziale con laumentare delle variabili I programmi attuali usano tecniche euristicheI programmi attuali usano tecniche euristiche

21 A.S.E Livelli di logica Data una rete combinatoriaData una rete combinatoria DefinizioneDefinizione Livelli di logica della rete = numero MAX di blocchi base attraversati passando da un ingresso a una uscutaLivelli di logica della rete = numero MAX di blocchi base attraversati passando da un ingresso a una uscuta NOTANOTA La negazione degli ingressi non contaLa negazione degli ingressi non conta d b a c g y x

22 A.S.E Sintesi a due livelli Le tecniche fin ora viste sono di sintesi a due livelliLe tecniche fin ora viste sono di sintesi a due livelli a z d c b

23 A.S.E Sintesi a tre livelli Si usa un numero inferiore di porte e con meno ingressiSi usa un numero inferiore di porte e con meno ingressi a z d c b

24 A.S.E Reti a più uscite Casi vistiCasi visti più ingressi una uscita più ingressi una uscita Tecniche di minimizzazione visteTecniche di minimizzazione viste Una sola uscitaUna sola uscita Casi frequenti nella praticaCasi frequenti nella pratica più ingressi più uscitepiù ingressi più uscite La minimizzazione delle singole uscite (separatamente) non garantisce la minimizzazione dellintera reteLa minimizzazione delle singole uscite (separatamente) non garantisce la minimizzazione dellintera rete Il procedimento di minimizzazione globale risulta molto complessoIl procedimento di minimizzazione globale risulta molto complesso

25 A.S.E Esempio Rete a due usciteRete a due uscite zw zw

26 A.S.E Conclusioni Sintesi ottimaSintesi ottima Esempio di minimizzazioneEsempio di minimizzazione Considerazioni su soluzioni diverseConsiderazioni su soluzioni diverse Tecniche strutturate di minimizzazioneTecniche strutturate di minimizzazione Sintesi a due livelliSintesi a due livelli Sintesi a più di due livelliSintesi a più di due livelli Reti a più usciteReti a più uscite


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