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A.A. 2006-07prof. Savrié Mauro 1 Meccanica dei Sistemi e Termodinamica modulo di Gravitazione Corsi di Laurea.

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1 A.A prof. Savrié Mauro 1 Meccanica dei Sistemi e Termodinamica modulo di Gravitazione Corsi di Laurea in: Fisica e Astrofisica, Tecnolgie Fisiche Innovative Anno Accademico Lezioni ( docente: Savrié Mauro ) Mercoledì : 8:30-10:30 aula F4 Venerdì: 10:30-12:30 aula F4 Esercitazioni ( docente: G.Zavattini) giovedì : 8:30-10:30 aula F4 Le copie delle presenti trasparenze saranno disponibili in rete all indirizzo: ~ savrie cercare...ma occhio agli errori! Inizio lezioni: 10 Gennaio 2007 Fine lezioni: 17 Marzo 2007 Esami: - prova scritta: esito positivo: p > 18/30 sconsigliato: 15/30 < p<18/30 non ammesso: p<15/30 - prova orale : esito positivo: p > 18/30

2 A.A prof. Savrié Mauro 2 (Le forze centrali e ) la gravità 1.Forze centrali Sono forze molto importanti in fisica Sono sempre dirette verso un centro di forza Origine delle coordinate coincidente con il centro della forza Sono conservative Il momento angolare si conserva o x y P P Repulsiva!! prima del 600 nella gravitazione (Universo) non cera niente da spiegare. corpi terreni corpi celesti

3 A.A prof. Savrié Mauro 3 Newton nel 1665 ( aveva 23 anni ) ipotizza che la caduta dei gravi ed il moto dei corpi celesti siano regolati dalle stesse leggi. non se lo è inventato. Si basa sulle osservazioni di Tycho Brahe ed i calcoli del MATEMATICO Keplero che aveva enunciato 3 leggi ( fenomenologiche). 1.i pianeti si muovono su orbite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei fuochi 2.I pianeti si muovono con velocità areolare costante 3.i quadrati dei periodi di rivoluzione sono proporzionali ai cubi delle distanze medie dal Sole ( semi-asse maggiore ) Dimostrazione della II legge: S p se consideriamo un intervallo di tempo infinitesimo dt:

4 A.A prof. Savrié Mauro 4 pianetaMassa (Kg) dal Sole (m) Dist. al perielio (Km) Distanza allafelio (Km) Periodo (s) anni T 2 /r 3 (s 2 /m 3 ) Mercurio Venere Terra Marte Giove Saturno Urano Nettuno Plutone I Pianeti LUNA: 1.dist. dalla Terrra Km 2.diametro: 3476 Km 3.volume Km 3 1/49 V Terra 4.massa: 1/80 M Terra 5.densità: 0.61 ρ Terra 3.34ρ acqua 6.gravità: 1/6 g Sole 1.diametro: Km 2.densità 0.25ρ Terra 3.gravità: 28g 4.massa Kg

5 A.A prof. Savrié Mauro 5 Le principali lune di Giove (satelliti naturali del pianeta) lunaMassa (Kg) da Giove (Km) Dist. al periastro di Giove Distanza all apoastro di Giove Periodo (giorni) Io Europa Ganimede Callisto satellitiM (Kg) T(Km) Dist. al periastro. (*10 3 Km) Dist. apoa. (*10 3 Km) Periodo (minuti) Sputnik I Sputnik II Explorer I Vanguard I ExplorerIII Sputnik III I satelliti artificiali (della Terra)

6 A.A prof. Savrié Mauro 6 Conseguenze importanti della 2 a e 3 a legge approssimazioneorbite circolari Nellapprossimazione delle orbite circolari La forza è centripeta, e per il sistema Terra-Sole vale:....è una forza inversamente proporzionale al quadrato del raggio. Per azione e reazione questa forza è uguale a quella esercitata dalla Terra sul Sole ed è proporzionale alla massa della Terra, per simmetria Con la stessa approssimazione ( ma si potrebbe dimostrare che vale sempre): dalla III legge

7 A.A prof. Savrié Mauro 7 azione e reazione Per il principio di azione e reazione : Che valgono contemporaneamente se: Cosa fece realmente Newton? confrontò le accelerazioni della luna e di un grave ( vedremo come ) considerò le masse puntiformi ( non era evidente nel caso generale!) Ed ipotizzò……………. Definendo la nuova costante: Per simmetria quindi: modulo della forza

8 A.A prof. Savrié Mauro 8 N.B. Infatti se nella legge ricavata prima indichiamo con G una costante di proporzionalità: G G= costante di gravitazione universale Dimensioni: Valore: La legge di gravitazione universale E prima abbiamo visto che: È una costante che non dipende nè da M né da r

9 A.A prof. Savrié Mauro 9 Dimostrazione della III legge Usiamo il sistema Terra-Luna nell aprossimazione dell orbita circolare ( ma è sempre vera!!!): M m c ω ω centro di massa rivisto finqui 07 febbraio 2007

10 A.A prof. Savrié Mauro 10 Come fece Newton per verificare la validità della legge di Gravitazione Universale? (forse....) consideriamo il sistema Terra-Luna ed assumiamo che si possa fare l approssimazione di masse puntiformi (scopriremo che è vero!!!) Confrontiamo le accelerazioni della Luna e di un grave sulla superficie della Terra. nell ipotesi di lavorare in un sistema di riferimento inerziale: lo aveva misurato Eratostene si conoscevano (r L era inizialmente errato): in accordo con i dati!!!

11 A.A prof. Savrié Mauro 11 se g=9.81 ms -1 : misurato!!! coincide entro l 1% con il rapporto inverso del quadrato delle distanze inoltre: Calcolare la variazione di g con la quota l accelerazione della Luna la possiamo calcolare in base al suo T ed alla sua distanza se è vero che l accelerazione del grave e della Luna seguono la stessa legge: Cavendish

12 A.A prof. Savrié Mauro 12 Misura di Gcon la Bilancia di Cavendish

13 A.A prof. Savrié Mauro 13 Massa inerziale e massa gravitazionale MASSA da esperimenti di dinamica da esperimenti gravitazionali ma sono uguali le quantità che si misurano? siano dati tre corpi: #M in M gr distanza AM A,in M A,gr d AC =r CM C,in M C,gr d CB =r BM B,in M,gr ma in un esperimento inerziale:

14 A.A prof. Savrié Mauro 14 Bisogna fare un esperimento! Newton solo se: m in. =m gr. 1.Eötvos (1909): m in. =m gr. con 1/ Dicke (1964) : m in. =m gr. con 1/10 10 Baricentro e centro di Massa? Bessel: misure accurate con pendoli:

15 A.A prof. Savrié Mauro 15 Campo Gravitazionale m3m3 mimi m1m1 m2m2 m0m0 campo: funzione vettoriale della posizione ( e del tempo?) campo: è un intermediario 1.regione di spazio sede di forze gravitazionali 2.è una grandezza vettoriale 3.il campo di una massa non è perturbato dalle altre masse 4.caratterizzato da un vettore tipico:

16 A.A prof. Savrié Mauro 16 il segno meno indica che per x>0 il campo è verso sx come va il campo per x>>a?

17 A.A prof. Savrié Mauro 17 verifichiamo che è conservativo: Essendo centrale (radiale), in coordinate polari si ha che: O x y z A B

18 A.A prof. Savrié Mauro 18 funzione solo del punto dalla definizione di potenziale: per una distribuzione continua di massa: N.B. 1.la forza di Newton è corretta solo se M ha una distribuzione di massa sferica o se è puntiforme altrimenti vale per gli elementi dm 2.per i sistemi legati gravitazionalmente <0 per r finito =0 per R= F g è attrattiva W>0 se m viene da U(r) vale per qualunque cammino dalla definizione di energia potenziale:

19 A.A prof. Savrié Mauro 19 consideriamo infatti un corpo di massa m (satellite) orbitante attorno ad un corpo di massa M(pianeta). Sia M fisso nell origine di un sistema di riferimento inerziale e l orbita di m sia circolare. nel approssimaione di orbita circolare: per tutti i sistemi legati per orbite ellittiche a= semi asse magg.

20 A.A prof. Savrié Mauro 20 si può dimostrare che per unorbita qualunque : orbitaellissecerchioparabolaiperbole Eccent. 01 En.totale <0 =0>0

21 A.A prof. Savrié Mauro 21 Riordiniamo le idee sul potenziale gravitazionale Per come avevamo definito il potenziale: Che per l energia potenziale del P.M. in b: a In cui Lenergia potenziale di a può essere arbitrariamente scelta arbitrariamente. Per una particella rispetto al campo terrestre la poniamo uguale a zero sulla superficie terrestre: Nei casi generali:

22 A.A prof. Savrié Mauro 22 m Per una particella di massa m che si muove verso la Terra in direzione radiale la forza che agisce sulla particella (forza del campo): sistema Quindi l energia e una proprietà del sistema di masse di masse e non di una delle masse del sistema. Per la forza:

23 A.A prof. Savrié Mauro 23 Esempio Velocità di fuga Il lavoro necessario per portare la massa all infinito partendo dalla superficie terrestre, è dato da: Quale dovrebbe essere la sua velocità iniziale? Lenergia potenziale di un corpo di massa m sulla superficie terrestre vale il lavoro, cambiato di segno, che le forze del campo compiono per trasportare il corpo di massa m dall infinito (ove F g =0; U g =0) fin sulla superficie terrestre:

24 A.A prof. Savrié Mauro 24 2) Periodo massimo di un pendolo Esempio ???

25 A.A prof. Savrié Mauro 25 Sistemi di particelle Se due particelle sono a distanza r la loro energia potenziale è: Lavoro compiuto dalla forza gravitazionale per portare le particelle da distanza infinita a distanza r Energia potenziale di un sistema=lavoro che forze esterne devono compiere per costituire il sistema a partire da una configurazione di riferimento Nel campo terrestre noi ( forza esterna) dovremmo compiere il lavoro : per separare il P.M dalla Terra : per portarlo dall infinito a r:

26 A.A prof. Savrié Mauro 26 E per un sistema di più masse... m1m1 m2m2 m3m3 ox y E lenergia potenziale del sistema: Mentre per separare i corpi:

27 A.A prof. Savrié Mauro 27 E lenergia potenziale del sistema è la somma: Mentre per separare i corpi: E per un sistema di più masse...

28 A.A prof. Savrié Mauro 28 Esempio Energia potenziale (di legame)del sistema Terra-Sole: Avendo considerato:

29 A.A prof. Savrié Mauro 29 Dimostrazione della I legge di Keplero o x y α il moto avviene nel piano: dalla conservazione dell energia: ma il momento angolare si conserva:

30 A.A prof. Savrié Mauro 30 ma dato che ci interessa solo la relazione tra r e l anomalia φ si può integrare ( non tanto facilmente!!!!) equazione di un ellisse di assi a ( maggiore) e b ( minore) I pianeti si muovono intorno al Sole su orbite ellittiche φ 0 =cost. di integ. 0

31 A.A prof. Savrié Mauro 31 equazione di un ellisse con centro nell origine

32 A.A prof. Savrié Mauro 32 equazione di un ellisse con centro nell origine cerchio ausiliario o eccentrico

33 A.A prof. Savrié Mauro 33 equazione di un ellisse con centro nell origine eq. cartesiana dell ellisse eq. parametrica dell ellisse

34 A.A prof. Savrié Mauro 34 equazione di un ellisse con centro nell origine dal teorema di Pitagora:

35 A.A prof. Savrié Mauro 35 fattore di scala L equazione della nostra orbita era:

36 A.A prof. Savrié Mauro 36 quando il punto P coincide con A:

37 A.A prof. Savrié Mauro 37 Domanda da 10 punti!!!! Cosa succede se aumentiamo o diminuiamo di poco il raggio dell orbita? φ P x y descriviamo il moto in sistema di riferimento non inerziale con origine nel Sole ed un asse diretto da S verso P. Il sistema ruota con velocità angolare ω: La componente radiale del risultante delle forze: costante in generale ( orbite ellittiche ) ma il mom. angolare: costante è conservativa

38 A.A prof. Savrié Mauro 38 U(r) r U eff. (r) -GMm/r U(r) r r0r0 forza di richiamo: esiste quindi un forza di richiamo: r* nell intorno di r 0 l energia potenziale è ben approssimanta da una funzione del tipo

39 A.A prof. Savrié Mauro 39 Rappresentazione grafica dei campi di forza linee di forza 1.Il vettore del campo ha la direzione della tangente alla linea di forza in ogni punto 2.iniziano e finiscono sulle sorgenti del campo 3.la loro densità è proporzionale all intensità del campo 4.la loro distribuzione nello spazio in genere rispecchia le simmetrie delle sorgenti

40 A.A prof. Savrié Mauro 40 Linee di forza che indicano il campo gravitazionale vicino ad una massa puntiporme. La direzione delle L.d.F. indica la direzione del campo in ogni punto; la densità delle linee è proporzionale all intensità del campo

41 A.A prof. Savrié Mauro 41 Esempio 41 o RTRT r x y MTMT Dove:

42 A.A prof. Savrié Mauro 42 Campo di una distribuzione a simmetria sferica nel caso di uno strato sferico cosa succede fuori e dentro la distribuzionedi massa? e se la distribuzione è piena?

43 A.A prof. Savrié Mauro 43 Per un punto che dista r dal centro:

44 A.A prof. Savrié Mauro 44 Quesito Ad una distanza r dal centro: Cosa ci ricorda?

45 A.A prof. Savrié Mauro 45 Distribuzione di massa a simmetria sferica come puntiforme. Consideriamo per ora uno strato sferico Consideriamo una fetta dell strato ( anello): La forza esrecitata dall anello sulla massa m di prova in P:

46 A.A prof. Savrié Mauro 46 ma dato che: come se tutta la massa fosse concentrata in un punto

47 A.A prof. Savrié Mauro 47 Vale assumendo: 1.Simmetria sferica 2.E se ρ=ρ(r)? 3.Vale per la F G che agisce su m ma viceversa Possiamo dimostrare che F=0 dentro lo strato? Siamo sempre ricondotti ad un integrale del tipo: Ma ora:


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