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1 Esperienza n. 11 Filtri passa-basso e passa-alto. Studio della loro risposta ad unonda quadra Filtri elettrici ideali: sono quadrupoli che trasmettono.

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1 1 Esperienza n. 11 Filtri passa-basso e passa-alto. Studio della loro risposta ad unonda quadra Filtri elettrici ideali: sono quadrupoli che trasmettono un segnale di ingresso in un certo intervallo di frequenze ovvero esiste una banda di pulsazioni tale che la funzione di trasferimento: |A( )| = 1 per 1 < < 2 |A( )| = 0 altrove con 1 e 2 pulsazioni di taglio o critiche del filtro in corrispondenza delle quali si ha una discontinuità di A( ). Per esempio, questo è il caso del filtro passa-banda. I 2 tipi fondamentali di filtri ideali sono: 1) Filtro passa-basso ideale2) Filtro passa-alto ideale = 0 2 è la frequenza di taglio superiore 1 è la frequenza di taglio inferiore 2 =

2 2 Esperienza n. 11 Filtri passa-basso e passa-alto Un filtro non dissipativo (che nella banda passante [ 1, 2 ] ha attenuazione nulla, cioè |A( )| = 1) è un esempio di filtro ideale. Non dissipativo vuol dire che è costituito solo da elementi reattivi (C, L). 1)Filtro passa-basso ideale 2) Filtro passa-alto ideale Z 1 = j L e Z 2 = 1/(j C) LC Z 1 = 1/(j C) e Z 2 = j L A = j A = j j > 0 A 0 > 0 A 1 I circuiti LC e CL sono risonanti (frequenza di risonanza 0 ) A( ) = V u /V i = Z 2 /(Z 1 +Z 2 ) = 1/(1+Z 1 /Z 2 ) A( ) è un numero reale

3 3 Esperienza n. 11 Filtri passa-basso e passa-alto L = 10 H C = 1 nF FFiltro passa-basso LC 2) Filtro passa-alto CL Z 1 = j L e Z 2 = 1/(j C) LC Z 1 = 1/(j C) e Z 2 = j L A = j A = j j > 0 A 0 > 0 A 1 I circuiti LC e CL sono risonanti (frequenza di risonanza 0 )

4 4 Esperienza n. 11 Filtri passa-basso e passa-alto Nella realtà si possono costruire includendo elementi passivi (R ) filtri reali che approssimano il comportamento di filtri ideali. A( ) = V u /V i = 1/(1+Z 1 /Z 2 ) Se Z 1 /Z A( ) 1 passa-basso A( ) 0 passa-alto Esempi di filtri passa-basso: Z 1 = R Z 2 = 1/(j C) Z 1 /Z 2 = j RC Per 0 Z 1 /Z 2 = j RC 0 A( ) 1 Z 1 = j L Z 2 = R Z 1 /Z 2 = j LC Per 0 Z 1 /Z 2 = j LC 0

5 5 A( ) = 1/[1 + Z 1 /Z 2 ] = 1/[1+ j RC] = (1-j RC)/[1+ ( RC) 2 ] |A| = 1/[1+ ( RC) 2 ] 1/2 tan = - RC Poiché |A| ha un andamento diverso dal caso del filtro ideale ed essendo graduale il passaggio da |A| = 1 a |A| = 0 è necessario definire la pulsazione di taglio come il valore tale che |A( t )| = 1/ 2 = 1/[1+(RC t ) 2 ] 1/2 t =1/RC = 1/ dove = RC è la costante di tempo del circuito Quindi: |A| = 1/[1+( / t ) 2 ] 1/2 tan = - t Esperienza n. 11 Filtri passa-basso e passa-alto Filtro passa-basso RC: 1 = 0 e 2 0 con 2 pulsazione critica o di taglio superiore Se 0 |A| 1 V u V i 0° |A| 0 V u 0 -90° Se

6 6 Esperienza n. 11 Filtri passa-basso e passa-alto Filtro passa-basso: |A| = 1/ 2 Il filtro passa-basso attenua le alte frequenze ( >> t ) 0 Andamento teorico Filtro ideale Meglio in scala semi-log!

7 7 Esperienza n. 11 Filtri passa-basso e passa-alto Filtro passa-alto CR: 1 0 pulsazione critica o di taglio inferiore e 2 = A( ) = 1/[1+ Z 1 /Z 2 ] = 1/[1+ 1/(j RC)] = 1/[1-j/( RC)] = [1+j/( RC)]/[1+1/( RC) 2 ] |A| = 1/ [1+ 1/( RC) 2 ] 1/2 tan = 1/( RC) Anche in questo caso, t =1/RC |A| = 1/ [1+ ( t / ) 2 ] 1/2 tan = ( t / ) Se 0 Se |A| 1 V u V i 0° |A| 0 V u 0 90°

8 8 Esperienza n. 11 Filtri passa-basso e passa-alto Filtro passa-alto: |A| = 1/ 2 Il filtro passa-alto attenua le basse frequenze ( << t ) filtro ideale Andamento teorico Scala semi-log

9 9 Esperienza n. 11 Filtri passa-basso e passa-alto Strumentazione: oscilloscopio, generatore di forme donda (utilizzato con onde sinusoidali e nella seconda parte dellesperienza con onde quadre), 2 sonde, basetta, componenti R,C Componenti dei circuiti da realizzare: C = 22 nF (±10%) R = 1 k (±1%) Misure da effettuare: Visualizzare il segnale di ingresso e di uscita (ai capi di C per il passa-basso e di R per il passa-alto) sui canali A e B Si mantenga la tensione di alimentazione al valore picco-picco = 4 V (R int = 50 ) Si verifichi che landamento qualitativo del segnale di uscita sia quello atteso prima di cominciare a prendere le misure Il valore atteso della pulsazione critica o di taglio è t = 1/(RC) = rad/sec, = RC = 22 s corrispondente alla frequenza t = 1/(2 RC) = 7.23 kHz. Lerrore è determinato dalle tolleranze di R e C:

10 10 Esperienza n. 11 Filtri passa-basso e passa-alto Tabella dei dati (in rosso sono indicate le quantità da misurare, in verde da calcolare): V i (V) f.s. (V) T (s) f.s. (s) (Hz) (rad /s) V o (V) f.s. (V) A=V o /V i V/V 0 t (s) f.s. (s) (deg) Si calcolino gli errori su : |A| e Si effettui un test del 2 per |A| e calcolando la probabilità che i dati siano compatibili con le predizioni relative alle risposte dei circuiti Intervallo di frequenze in cui effettuare le misure: ~100 Hz – ~5 MHz

11 11 Esperienza n. 11 Filtri passa-basso e passa-alto Misura della frequenza critica: è la frequenza (in realtà potrebbe essere un piccolo intervallo di frequenze) in cui |A| = 1/ 2 e = -45° per il passa-basso e = 45° per il passa-alto Per il passa-basso: una stima più precisa si ottiene mediante un fit lineare di tan nella regione / t ~[1/5, 5] ponendo y = tan e x = y = A x + B e quindi il valore misurato è t = -1/A con relativo errore del fit e B~0 Si osservi che dalla misura di t si possono ottenere C supponendo R nota e R supponendo C nota Diagrammi di Bode: si fattorizza la funzione di trasferimento e se ne considerano i fattori al numeratore e denominatore, quelli costanti, quelli corrispondenti a poli (1+j / p ) -1, quelli corrispondenti a zeri in origine (j ) L e quelli corrispondenti a zeri (1+j / z ) Si rappresenta il guadagno logaritmico G = 20 log 10 |A| (in decibel) in funzione di u=log 10 quindi lintervallo unitario dellasse delle u corrisponde a una decade in Si rappresenta anche la fase.

12 12 Esperienza n. 11 Filtri passa-basso e passa-alto Diagrammi di Bode: Per il passa-basso: A = 1/[1+ j t ] t è un polo Per il passa-alto A = j / t /[1+ j / t ] la funzione di trasferimento presenta un polo in t, uno zero in origine (L=1) e un termine costante 1/ t Analoghe rappresentazioni si ottengono per lo sfasamento = arg(funzione di trasferimento) vs log 10 polo

13 13 Esperienza n. 11 Filtri passa-basso e passa-alto

14 14 Esperienza n. 11 Risposta dei filtri passa-alto e passa-basso ad un segnale onda quadra Abbiamo verificato che se un segnale sinusoidale è applicato in ingresso ad una rete formata da elementi lineari il segnale in uscita in regime stazionario è sinusoidale lazione del circuito è definita da A 0 = ampiezza segnale in uscita/ampiezza segnale in ingresso e dallo sfasamento tra di essi. Gli altri segnali (scalino, impulso rettangolare, onda quadra, rampa, esponenziale) non conservano la loro forma attraverso una rete lineare. Si studino la risposta del passa-basso e del passa-alto ad un segnale in ingresso del tipo onda quadra: si osservi leventuale distorsione della forma donda in uscita rispetto a quella in ingresso e si osservino le variazioni della distorsione con la frequenza. Si considerino i 3 intervalli di frequenze tali che << t = 1/(2 RC) = 7.23 kHz frequenza di taglio inferiore t >> t Si effettuino le stesse osservazioni aggiungendo un offset continuo al segnale in ingresso (usare la manopola offset del generatore di forme donda e spostare su DC lapposito tasto delloscilloscopio per ciascun canale) Si trascrivano le proprie osservazioni che verranno approfondite alla luce delle prossime lezioni.

15 15 Esperienza n. 11 Risposta dei filtri passa-alto e passa-basso ad un segnale onda quadra La risposta di passa-alto e passa-basso ad unonda quadra può essere meglio capita se si considerano segnali di ingresso a scalino e a impulso. Passa-alto Passa-basso V i = E V u = E e -t/(RC) Se il condensatore C è inizialmente scarico, poiché la tensione ai suoi capi non può cambiare istantaneamente, quando lingresso sale al valore E improvvisamente, luscita cambia in modo discontinuo dello stesso valore. Per t luscita deve essere nulla perché C non lascia passare una corrente continua. Per limpulso, dopo la decrescita esponenziale, luscita diminuisce istantaneamente della stessa quantità dellingresso perché la tensione sulla capacità non può variare istantaneamente. Quindi la tensione in uscita diviene negativa e tende esponenzialmente a zero. Le aree al di sopra e al di sotto dellasse sono uguali. scalino EE impulso V i = E V u = E(1-e -t/(RC) ) Anche per il passa-basso, la risposta allo scalino è un esponenziale con costante di tempo RC. Poiché la tensione non varia istantaneamente su C, V u parte da zero e tende al valore di regime E. Durante limpulso, si accumula carica su C che non può sparire istantaneamente, quindi V u decresce esponenzialmente.

16 16 Esperienza n. 11 Risposta dei filtri passa-alto e passa-basso ad un segnale onda quadra Risposta del passa-alto ad unonda quadra Unonda quadra assume un valore costante nel tempo T 1 ed un diverso valore costante nel tempo T 2. E un segnale periodico di periodo T 1 +T 2 (talvolta se T 1 T 2 è chiamata onda rettangolare) Caratteristiche della risposta del passa-alto: 1.il valore medio del segnale di uscita è nullo (il segnale in uscita avrà la stessa area nella regione positiva e in quella negativa delle tensioni). Luguaglianza delle aree è dovuta al fatto che ingresso ed uscita sono separati da un condensatore è quindi, indipendentemente dal livello di tensione continua dellingresso, il livello medio di tensione continua delluscita deve essere nullo. 2. Se lingresso cambia in modo discontinuo di un certo valore, luscita presenta una discontinuità dello stesso valore e segno perché la tensione sul condensatore non può variare istantaneamente. 3. Durante ogni intervallo di tempo in cui lingresso si mantiene costante, luscita va esponenzialmente a zero. Inoltre il termine di offset continuo in ingresso non viene trasmesso in uscita. Questa è una conseguenza della presenza del condensatore che blocca la continua (Z C = 1/(j C) ovvero il condensatore equivale a un circuito aperto per 0)

17 17 Esperienza n. 11 Risposta dei filtri passa-alto e passa-basso ad un segnale onda quadra Risposta del passa-alto ad onda quadra La forma donda duscita riproduce quella in ingresso se RC/T 1 e RC/T 2 >>1 ma in caso lingresso presenti un livello di continua esso scompare in uscita Peaking: se RC/T 1 e RC/T 2 <<1 luscita è costituita da picchi positivi e negativi e lampiezza picco-picco è 2 volte lampiezza picco-picco del segnale in ingresso. Per RC<

18 18 1.Esperienza n. 11 Risposta dei filtri passa-alto e passa-basso ad un segnale onda quadra Risposta del passa-basso ad unonda quadra Caratteristiche della risposta del passa-basso: 1.la distorsione del segnale di ingresso è minimizzata se RC<> T 1,T 2 il circuito si comporta come un integratore: la tensione ai capi di C è molto piccola rispetto a quella ai capi di R e la corrente è praticamente determinata solo dalla resistenza i V i /R e V u = V C q/C = idt/C = V i dt /(RC) luscita è proporzionale allintegrale dellingresso. Per londa quadra, lintegrale di una costante è una funzione lineare in accordo con quanto si osserva per RC >> T

19 19 Esperienza n. 11 Risposta dei filtri passa-alto e passa-basso ad un segnale onda quadra Livello medio nullo sia per lingresso che per luscita. Se in ingresso si aggiunge un livello di offset continuo questo viene trasmesso inalterato in uscita e si somma al segnale alternato. Per RC>>T i tratti costanti dellonda quadra vengono integrati e diventano in uscita termini lineari


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