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Test di ipotesi X variabile casuale con funzione di densità (probabilità) f(x; ) parametro incognito. Test Statistico: regola che sulla base di un campione.

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Presentazione sul tema: "Test di ipotesi X variabile casuale con funzione di densità (probabilità) f(x; ) parametro incognito. Test Statistico: regola che sulla base di un campione."— Transcript della presentazione:

1 Test di ipotesi X variabile casuale con funzione di densità (probabilità) f(x; ) parametro incognito. Test Statistico: regola che sulla base di un campione di numerosità n (X 1, …,X n ) consente di decidere tra due ipotesi sul valore di Il campione è una variabile casuale n-pla a componenti indipendenti e identicamente distribuite come X. : ipotesi nulla ( 0 1 = : ipotesi alternativa ( 0 1 = La regola consiste nel determinare una partizione dello spazio dei campioni in due sottoinsiemi A (regione di accettazione) e R (regione di rifiuto) tale che se il campione (X 1, …,X n ) A si accetta, se il campione (X 1, …,X n ) R si accetta (si rifiuta ). La partizione dello spazio dei campioni è spesso determinata sulla base di una funzione del campione t(X 1, …,X n ) detta statistica-test. vera vera accetto errore seconda specie rifiuto errore prima specie probabilità di commettere un errore prima specie (ampiezza del test) probabilità di commettere un errore seconda specie (1- ) potenza del test

2 Test di ipotesi Probabilità di errore vera vera accetto rifiuto Si fissa un valore per la probabilità di commettere un errore di prima specie. Il test migliore minimizza la probabilità di commettere un errore di seconda specie Il test di ipotesi sul valor medio consiste nel determinare un insieme di valori della media campionaria (statistica-test) che conducono a rifiutare lipotesi nulla e un insieme di valori della media campionaria che conducono ad accettare lipotesi nulla.

3 Ipotesi Unipotesi può essere: semplice, quando specifica un singolo valore per il parametro incognito sia per che per composta, specifica un intervallo di valori per il parametro incognito Sia allora è unipotesi semplice, mentre è unipotesi composta. Unipotesi composta può essere: unidirezionale, specifica valori del parametro in una sola direzione bidirezionale, quando specifica intervalli di valori in più direzioni è unidirezionale, mentre bidirezionale.

4 Test di ipotesi sul valor medio X variabile casuale con valore medio E(X)= incognito e varianza nota Var(X)= 2 =225. Verificare le seguenti ipotesi sul valore medio di X: H 0 : =40= H 1 : =45= =0.05 campione di numerosità n=36:

5 40 45 H 0 H 1 0 = = 1

6 Test di ipotesi sul valor medio

7 40 45 H 0 H 1 zona di accettazione di H 0 zona di rifiuto di H = = 1 appartiene alla zona di Rifiuto di H 0 livello di significatività osservato <

8 0 2 zona di accettazione di H 0 zona di rifiuto di H = = 1 H 0 H 1 appartiene alla zona di Rifiuto di H 0

9 40 45 H 0 H 1 zona di accettazione di H 0 zona di rifiuto di H = = 1 Potenza del test

10 Funzione di potenza Si chiama funzione di potenza del test la funzione che descrive la probabilità, al variare di, di rifiutare e viene indicata con Se lipotesi alternativa è composta la potenza del test è una funzione

11 Funzione di potenza H0: = 0 H1: > 0 n numerosità campionaria, ampiezza del test ( ) 1 ( )

12 Test del rapporto delle massime verosimiglianze Un test con livello di significatività pari a e una funzione di potenza è detto uniformemente più potente a livello se: per ogni altro test con uguale livello di significatività e funzione di potenza. Test uniformemente più potenti possono essere individuati mediante lapproccio basato sul rapporto delle massime verosimiglianze. Dato un problema di verifica dipotesi: la statistica rapporto delle massime verosimiglianze è: è la stima di massima verosimiglianza di con il vincolo è la stima di massima verosimiglianza non vincolata. R={(X 1, X 2,.,X n ) tali che (X 1, X 2,.,X n ) k} A={(X 1, X 2,.,X n ) tali che (X 1, X 2,.,X n ) >k} k tale che lampiezza del test sia

13 Test di ipotesi sul valor medio X variabile casuale con valore medio E(X)= incognito e varianza Var(X)= 2 =225. H 0 : =40= H 1 : =35= =0.05 campione di numerosità n=36:

14 35 40 H 1 H 0 zona di rifiuto di H 0 zona di accettazione di H = = 0 appartiene alla zona di Accettazione di H 0

15 Test di ipotesi sul valor medio X variabile casuale con valore medio E(X)= incognito e varianza Var(X)= 2 =225. H 0 : =40= H 1 : 40 =0.1 campione di numerosità n=36:

16 H 1 H 0 H 1 zona di rifiuto di H 0 0 = appartiene alla zona di Rifiuto di H 0 zona di accettazione di H 0

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18 Test di ipotesi sul confronto tra 2 valori medi: campioni indipendenti X 1 variabile casuale con valore medio E(X 1 )= incognito e varianza nota Var(X)= 2. X 2 variabile casuale con valore medio E(X 2 )= incognito e varianza nota Var(X)= 2. campione di numerosità n 1 di X 1 campione di numerosità n 2 di X 2 H 0 : = H 1 : >(<, ) =0.05

19 2 1

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21 zona di accettazione di H 0 zona di rifiuto di H 0 H 0 H 1

22 Le valutazioni di un indice di affidabilità effettuate su due distinti ed indipendenti gruppi di prodotti hanno fornito i seguenti risultati: gruppo I: gruppo II: I=20 s 2 I=22.66II=13.4 s 2 II=12.24 Verificare lipotesi che il valor medio dellindice di affidabilità nel gruppo I è significativamente superiore rispetto a quello del gruppo II con probabilità di errore di primo tipo =0.025 (varianze incognite e uguali). H0: I II =0 H1: I II >0 I=20 s 2 I= II= 13.4 s 2 II= t 20,0.025 =2.086 s 2 =[(12* )+10*12.24)/20]=20.2 s 2 *(1/12+1/10)=4.45* (1/12+1/10)=1.91 R={ tali che I- II/1.91> 2.086} A={ tali che I- II / } Poiché ( )/1.91=3.46, lipotesi nulla è rifiutata.

23 Test di ipotesi sul confronto tra 2 valori medi: campioni appaiati X1 variabile casuale Normale con valore medio E(X1)= incognito e varianza Var(X1)= 2. X2 variabile casuale Normale con valore medio E(X2)= incognito e varianza Var(X2)= 2. H0: = ( H0: d = con d=X1-X2) H1: > oppure d < d test basato su t di Student di parametro n-1: (x 11,….,x 1n ) campione di ampiezza n generato da X1 (x 21,….,x 2n ) campione di ampiezza n generato da X2

24 zona di accettazione di H 0 zona di rifiuto di H 0 H 0 H 1

25 I seguenti dati rappresentano gli errori commessi da 8 lettori ottici, in due prove distinte, prima e dopo linserimento di un dispositivo: Prima: Dopo: Verificare lipotesi che che il dispositivo abbia migliorato in modo significativo le prestazioni del lettore con una probabilità di errore di primo tipo =0.01. H0: d = con d=Xprima-Xdopo H1: d > Prima: Dopo: d=P-D d =10/8=1.25 s d = 0.83 t 7,0.01 =2.99 R={ tali che ( d -0)/( s d / n-1) > 2.99} A={ tali che ( d -0)/( s d / n-1< 2.99} Poiché (1.25-0)/(0.83/ 7)=3.99, lipotesi nulla è rifiutata.

26 Test di ipotesi sul valor medio (ANOVA). Caso di k>2 campioni indipendenti: Analisi della Varianza ad 1 fattore X1 variabile casuale Normale con valore medio E(X1)= incognito e varianza Var(X1)= 2. X2 variabile casuale Normale con valore medio E(X2)= incognito e varianza Var(X2)= 2. X3 variabile casuale Normale con valore medio E(X3)= incognito e varianza Var(X3)= 2. H0: = H1: almeno due medie diverse

27 H0: = H1: almeno due medie diverse Test basato su F di Fisher: (x 11,….,x 1n1 ) campione di ampiezza n1 generato da X1 (x 21,….,x 2n2 ) campione di ampiezza n2 generato da X2 (x 31,….,x 3n3 ) campione di ampiezza n3 generato da X3 media campionaria del campione generato da X1 varianza campionaria del campione generato da X1 F k-1, n-k = F 3-1, n-3 = Test di ipotesi sul valor medio (ANOVA). Caso di k>2 campioni indipendenti: Analisi della Varianza ad 1 fattore

28 ANOVA processo 1processo 2processo VARIABILE tempo di vita di un circuito

29 H0: = H1: almeno due medie diverse 1=5.7 2=3.3 3=2.7 =3.9 s 2 1=0.9 s 2 2=1.22 s 2 3=1.22 F 2,15,0.01 =6.36 n1=n2=n3=6 n=18 k=3 1. F=11.2>6.36 = F 2,15,0.01 si rifiuta lipotesi nulla. 2. La media della variabile è maggiore nel gruppo 1 3. La distribuzione della variabile deve essere ipotizzata normale. 4. Omoschedasticità ANOVA 29,778214,88911,167,001 20,000151,333 49,77817 Fra gruppi Entro gruppi Totale Somma dei quadratidf Media dei quadratiFSig. GRUPPI 3,002,001,00 Media della VARIABILE NEI GRUPPI 6,0 5,5 5,0 4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 0,00 0,05 0,10 0, F 2,15 Accetto H0 Rifiuto H0 H0H0

30 Test di indipendenza H0: X e Y indipendenti n ij = n i0 n 0j / n i=1,.., r ; j=1,.., s H1: X e Y non indipendenti almeno un n ij n i0 n 0j / n Test chi quadro basato su: Rifiuto

31 Con riferimento alla seguente distribuzione di un collettivo di individui secondo il sesso (X) e lopinione sulla liberalizzazione dei servizi di telecomunicazioni TLC (Y), eseguire il test chi quadrato ( 2 ) con una probabilità di errore di primo tipo =0.05, commentare il risultato (relazione tra sesso e opinione sulla liberalizzazione dei servizi di telecomunicazioni: quali modalità si attraggono e quali si respingono). Ridistribuire le frequenze in modo da avere massima dipendenza tra le variabili. a favorecontrariindecisi femmine maschi H0: sesso e opinione liberalizzazione servizi TLC indipendenti H1: sesso e opinione liberalizzazione servizi TLC dipendenti 2 (2-1)*(3-1),0.05 =5.991 R={ 2 > 5.991} A={ Si rifiuta lipotesi nulla. 0,00 0,05 0,10 0,0 Accetto H0 Rifiuto H H0H0

32 Test di correlazione Si consideri una v.c. doppia (X,Y) di cui si osserva un campione di numerosità n. Ogni osservazione è costituita da una coppia (X i,Y i ) (i=1,..n) e pertanto lintero campione sarà costituito dalle n coppie di v.c. (X 1,Y 1 ),… (X n,Y n ).Si suppone che vi sia indipendenza tra le osservazioni campionarie, cioè tra le coppie di v.c. relative a osservazioni differenti, mentre ovviamente le due v.c. (X i,Y i ) (i=1,..n) non sono in generale indipendenti poiché tra esse intercorre la stessa relazione che vi è tra X e Y. Il coefficiente di correlazione campionario è dato dalla: dove la quantità: è la covarianza campionaria tra le v.c. X e Y, mentre le: sono le varianze campionarie corrette della varianza di X e della varianza di Y

33 Se =0, ossia le componenti la v.c. normale doppia (X,Y) sono indipendenti, si può provare che: ha esattamente distribuzione t di Student con (n-2) gradi di libertà. Se 0 si può operare con una trasformazione di variable (trasformata z di Fisher): che ha distribuzione approssimativamente Normale con media e varianza date da: Test di correlazione

34 Campione di numerosità n=8 generato da una v.a. (X,Y) normale doppia: (0.68, 2.7), (1.73, 3.51), (1.51, 3.62), (2.67, 4.51), (1.32, 3.28), (0.52, 2.71), (1.71, 3.95), (0.83, 3.01). Si supponga di voler verificare ad un livello di significatività 0.05 le ipotesi seguenti: H 0 : =0 H 1 : 0 La regione di accettazione è data da (t 6, =2.447) A: Il coefficiente di correlazione campionario r vale Si rifiuta lipotesi nulla. Tra X e Y esiste una significativa correlazione positiva f(t, n-2) H0H0

35 Campione di numerosità n=8 generato da una v.a. (X,Y) normale doppia: (0.68, 2.7), (1.73, 3.51), (1.51, 3.62), (2.67, 4.51), (1.32, 3.28), (0.52, 2.71), (1.71, 3.95), (0.83, 3.01). Si supponga ora di voler verificare ad un livello di significatività 0.05 le ipotesi seguenti: H 0 : =0.5 H 1 : 0.5 La regione di accettazione è data da (z =1.96) A: Il coefficiente di correlazione campionario r vale Si rifiuta lipotesi nulla. Tra X e Y esiste una significativa correlazione superiore a f(Z) H0H0

36 Test per la verifica di ipotesi sul modello distributivo

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