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Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06.

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Presentazione sul tema: "Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06."— Transcript della presentazione:

1 Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06

2 Stratificazione e diffusione turbolenta Effetto della stratificazione (numero di Richardson) Coefficienti (definizione mediata)

3 Esercizi mix verticale: mezzo stratificato (cuneo salino) scarico caldo Temperatura come tracciante passivo (mix trasversale): scarico caldo

4 Moti stratificati (4/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06

5 Onde interne onde di superfici isopicne (denistà costante) stratificazione continua: onde interne stratificazione a gradino (strati): onde di interfaccia, onde di superficie Rif. bibl.: dispense di Socolofsky & Jirka, Special Topics in Mixing and Transport Processes in the Environment, 2005 (cap. 10)

6 Onde di interfaccia ipotesi: fluidi immiscibili contorni superiori e inferiori rigidi moto piano moto inviscido (viscosità nulla, Re grande) moto irrotazionale in ogni strato onde di piccola ampiezza interfaccia contorno rigido superiore contorno rigido inferiore

7 Equazioni Potenziale di velocità (moto irrotazionale) Equazione di continuità strato superiore strato inferiore Equazione del moto (inviscido)

8 Condizioni al contorno interfaccia: Condizione cinematica: in superficie ( z=-h 1 ) e al fondo ( z=-h 2 ) Onda periodica nello spazio ( x ) e nel tempo Condizione dinamica:(le tensioni tangenziali sono nulle)

9 Adimensionalizzazione e linearizzazione ampiezza dellondalunghezza donda onde di piccola ampiezza Condizione cinematica semplificata:

10 Condizione allinterfaccia (linearizzata) Equazione del moto semplificata (in ogni strato) Teorema di Bernoulli non stazionario costante lungo una linea di corrente Lungo linterfaccia (linea di corrente)

11 Sistema da risolvere Equazioni Condizioni allinterfaccia ( z=0 ) Struttura della soluzione (notazione complessa) Condizioni al contorno

12 Soluzione per lo strato j=1,2 allinterfaccia ( z=0 ) soluzione generale al contorno ( z= z c ) Condizioni al contorno per determinare C j e D j sistema di 4 equazioni in 4 incognite C 1, C 2, D 1, D 2

13 Soluzione potenziale: velocità nei due strati: posizione interfaccia: le intensità rimangono indeterminate

14 Relazione di dispersione condizione dinamica allinterfaccia relazione tra frequenza e numero donda frequenza- periodo numero-lunghezza donda celerità di propagazione

15 Casi particolari: dominio non limitato frequenza onde di superficie celerità frequenza celerità onde di Boussinesq frequenza celerità la celerità dipende da k lunghezze donda diverse si separano

16 Casi particolari: acqua bassa frequenzacelerità onde di superficie frequenza celerità onde di Boussinesq frequenza celerità la celerità non dipende da k onde non dispersive

17 Effetto della superficie libera condizione in superficie libera relazione di dispersione onde lunghe (acqua bassa) di Boussinesq: due soluzioni semplificate modo esterno - veloce (onda di superficie) modo interno - lento (interfaccia) moto barotropico moto baroclinico parallelo ainclinato rispetto a

18 Onde stazionarie effetto della dimensione finita del bacino: numero finito di semi-lunghezze donda numeri donda possibilicelerità periodo modo esterno modo interno (lento)

19 Onde di sessa (seiche) vento eccita unonda stazionaria con n =1 wind set-up: sollevamento equilibrio mentre soffia il vento spinte idrostatiche set-up superficie equilibrio tra le pressioni al fondo set-up interfaccia

20 Stratificazione continua Equazioni linearizzate, ip. Boussinesq continuità q.d.m. orizzontale incomprimibilità q.d.m. verticale 3 equazioni in 4 incognite la quarta equazione viene dallincomprimibilità

21 Stratificazione continua: relazione di dispersione modi verticali modi orizzontali equazioni + condizioni al contorno relazione di dispersione onde non possono esserci onde (frequenza di eccitazione maggiore dellautofrequenza - Eigenfrequency)

22 Moti stratificati (5/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06

23 Instabilità Analisi di stabilità idrodinamica: 1.soluzione in moto laminare delle equazioni 2.perturbazione della soluzione con piccoli disturbi (sinusoidali nel tempo e nello spazio) 3.sostituzione della soluzione perturbata nelle equazioni e linearizzazione problema agli autovalori (eigenvalues) 4.soluzione delle equazioni perturbate: a.disturbo che cresce nel tempo instabilità assoluta b.disturbo che cresce nello spazio instabilità convettiva c.disturbo che decade stabilità Riferimenti bibliografici: - Socolofsky & Jirka, Special Topics in Mixing and Transport Processes in the Environment, 2005 (dispense, cap. 11) - Drazin & Reid, Hydrodynamic stability (Second edition), Cambridge Mathematical Library, 2004

24 Instabilità di Kelvin-Helmholtz

25 Lavoro delle forze di galleggiamento forze di galleggiamento particella 1 particella 2 lavoro totale lavoro

26 Variazione di energia cinetica prima dopo velocità media variazione di energia cinetica

27 Instabilità: approccio euristico instabilità: quando lenergia cinetica persa è più grande del lavoro richiesto dalle forze di galleggiamento nello spostamento delle particelle di fluido (senza viscosità)

28 Instabilità di Kelvin-Helmholtz moto irrotazionale fluido ideale piccole perturbazioni …

29 Formulazione del problema Condizione dinamica:(le tensioni tangenziali sono nulle) Equazioni Condizione cinematica allinterfaccia ( z= ) Condizioni al contorno Teorema di Bernoulli non stazionario (z= ):

30 Soluzione del moto base Perturbazione della soluzione interfaccia Linearizzazione costanti del trinomio di Bernoulli

31 Sistema per le perturbazioni (linearizzato) Equazioni Condizioni allinterfaccia ( z=0 ) Struttura della soluzione (notazione complessa) Condizioni al contorno

32 Relazione di dispersione numero donda totale soluzione trovata con Maple

33 Coefficiente di amplificazione stabilità neutrale instabilità >= < curva marginale 2 =1000, 1 =995

34 Casi particolari Onde di gravità Onde interne Instabilità dovuta alle tensioni sempre stabili stabili onde instabili sempre instabili

35 Effetto della tensione superficiale x z p1p1 p2p2 esempio: onde generate sul mare velocità del vento minima, lunghezza donda (Kelvin, 1871; Chandrasekhar, 1961) soluzione trovata con Maple curva marginale k crit U ) 2 crit (condizione dinamica allinterfaccia)


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