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Test 02 - 1 / 83 Lezione 7 i Test statistici. Test 02 - 2 / 83 Nella parte 1 … test sullipotesi principale H 0 : prestazioni del criterio decisionale.

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1 Test / 83 Lezione 7 i Test statistici

2 Test / 83 Nella parte 1 … test sullipotesi principale H 0 : prestazioni del criterio decisionale rischio di errore di 1 specie; fiducia del criterio decisionale significatività del test

3 Test / 83 parte 2 i test sulla media: H 0 e H 1

4 Test / 83 per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi: 1. scelta della numerosità del campione; 2.costruzione della variabile casuale X 3.individuazione della ipotesi principale H 0 ; 4.eventuale definizione di ipotesi alternative H 1, H 2 ; 5.scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ; 6.definizione della affidabilità richiesta ; 7.definizione della eventuale potenza minima richiesta ; 8.determinazione del valore del/dei discriminanti ; 9.verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna allinizio e si aumenta la numerosità del campione ; formulazione di test con H0 e H1 sulla media

5 Test / 83 3.si individua lipotesi H 0 (ipotesi principale) che deve essere sottoposta a test. esempio: H 0 : = 0 ; oppure: H 0 : 0 ; 4.si definisce, in contrasto alla ipotesi principale, una (o più di una) ipotesi alternativa H 1 (, H 2 ); esempio: H 1 : 1 ; oppure: H 1 : 1 ; formulazione di test con H0 e H1 sulla media

6 Test / 83 per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi: 1. scelta della numerosità del campione; 2.costruzione della variabile casuale X 3.individuazione della ipotesi principale H 0 ; 4.eventuale definizione di ipotesi alternative H 1, H 2 ; 5.scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ; 6.definizione della affidabilità richiesta ; 7.definizione della eventuale potenza minima richiesta ; 8.determinazione del valore del/dei discriminanti ; 9.verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna allinizio e si aumenta la numerosità del campione ; formulazione di test con H0 e H1 sulla media

7 Test / 83 5.si sceglie la variabile campionaria idonea a svolgere il test: se la varianza 2 è nota e se il campione è numeroso (n 30) si possono usare indifferentemente: - la media campionaria che ha distribuzione normale con media e varianza 2 / n ; - la variabile che ha distribuzione normale standard. formulazione di test con H0 e H1 sulla media

8 Test / 83 5.si sceglie la variabile campionaria idonea a svolgere il test: se la distribuzione è normale e la varianza 2 è incognita si usa: - la variabile che ha distribuzione t di Student con n - 1 g.d.l. se il campione è numeroso ( n > 30) la T può essere approssimata con la: che ha distribuzione normale standard formulazione di test con H0 e H1 sulla media

9 Test / 83 per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi: 1. scelta della numerosità del campione; 2.costruzione della variabile casuale X 3.individuazione della ipotesi principale H 0 ; 4.eventuale definizione di ipotesi alternative H 1, H 2 ; 5.scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ; 6.definizione della affidabilità richiesta ; 7.definizione della eventuale potenza minima richiesta ; 8.determinazione del valore del/dei discriminanti ; 9.verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna allinizio e si aumenta la numerosità del campione ; formulazione di test con H0 e H1 sulla media

10 Test / 83 6.si stabiliscono i valori del rischio di errore di 1 ª specie che si è disposti a correre e 1 - del livello di fiducia richiesto. criterio di scelta: la scelta del valore di rischio accettabile richiede considerazioni di vario tipo, non solamente tecniche ma, molto spesso, economiche, di politica aziendale, di immagine, ecc. La probabilità di commettere un errore di 1 ª specie viene chiamata livello di significatività al quale si intende condurre il test. formulazione di test con H0 e H1 sulla media

11 Test / 83 6.si stabiliscono i valori del rischio di errore di 1 ª specie che si è disposti a correre e 1 - del livello di fiducia richiesto. formulazione di test con H0 e H1 sulla media

12 Test / 83 per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi: 1. scelta della numerosità del campione; 2.costruzione della variabile casuale X 3.individuazione della ipotesi principale H 0 ; 4.eventuale definizione di ipotesi alternative H 1, H 2 ; 5.scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ; 6.definizione della affidabilità richiesta ; 7.definizione della eventuale potenza minima richiesta ; 8.determinazione del valore del/dei discriminanti ; 9.verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna allinizio e si aumenta la numerosità del campione ; formulazione di test con H0 e H1 sulla media

13 Test / 83 7.si stabilisce il valore minimo accettabile della potenza contro lipotesi alternativa che si vuole contrapporre alla ipotesi fondamentale (nel caso di più ipotesi alternative si stabilisce la potenza contro ciascuna di esse). Questa scelta equivale a fissare il massimo valore del rischio di errore di 2 ª specie che si intende accettare nella conduzione del test. Il valore del rischio di errore di 2 ª specie risulta funzione: –della differenza fra le due ipotesi H 0 e H 1, –di (valore del rischio di errore di 1ª specie) –della numerosità del campione su cui è stato condotto il test. formulazione di test con H0 e H1 sulla media

14 Test / 83 7.si stabilisce il valore minimo accettabile della potenza contro lipotesi alternativa che si vuole contrapporre alla ipotesi fondamentale (nel caso di più ipotesi alternative si stabilisce la potenza contro ciascuna di esse). Questa scelta equivale a fissare il massimo valore del rischio di errore di 2 ª specie che si intende accettare nella conduzione del test. formulazione di test con H0 e H1 sulla media

15 Test / aumentare la numerosità del campione provoca una riduzione della varianza dello stimatore media campionaria che consente di aumentare la potenza del test senza diminuire la sua affidabilità. formulazione di test con H0 e H1 sulla media

16 Test / 83 per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi: 1. scelta della numerosità del campione; 2.costruzione della variabile casuale X 3.individuazione della ipotesi principale H 0 ; 4.eventuale definizione di ipotesi alternative H 1, H 2 ; 5.scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ; 6.definizione della affidabilità richiesta ; 7.definizione della eventuale potenza minima richiesta ; 8.determinazione del valore del/dei discriminanti ; 9.verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna allinizio e si aumenta la numerosità del campione ; formulazione di test con H0 e H1 sulla media

17 Test / 83 8.in base a ciò che si è stabilito nei punti precedenti, si identifica il valore critico (o la coppia di valori critici) del parametro campionario che individua nel dominio la regione di rifiuto dellipotesi principale H 0 formulazione di test con H0 e H1 sulla media

18 Test / 83 per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi: 1. scelta della numerosità del campione; 2.costruzione della variabile casuale X 3.individuazione della ipotesi principale H 0 ; 4.eventuale definizione di ipotesi alternative H 1, H 2 ; 5.scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ; 6.definizione della affidabilità richiesta ; 7.definizione della eventuale potenza minima richiesta ; 8.determinazione del valore del/dei discriminanti ; 9.verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna allinizio e si aumenta la numerosità del campione ; formulazione di test con H0 e H1 sulla media

19 Test / 83 9.si stimano quindi i valori del rischio di errore di seconda specie a cui il test verrà condotto e, se tali valori non rispettano le scelta fatte per la potenza del test si modificano i parametri del test da cui tale rischio dipende (in particolare la numerosità minima del campione. ) formulazione di test con H0 e H1 sulla media

20 Test / 83 Significato della potenza contro H 1 regione di rifiuto per H 0 regione di non accettazione per H 1 100

21 Test / 83 Significato della potenza contro H 1 regione di rifiuto per H 0 regione di esclusione per H 1

22 Test / 83 conduzione di test con H 0 e H 1 sulla media 10. dopo aver formulato il test: - si procede alla composizione del campione con numerosità pari a quella stabilita, -si conducono le prove sperimentali, -si determina il valore dello stimatore campionario precelto,

23 Test / 83 conduzione di test con H 0 e H 1 sulla media 10.se la stima cade nella regione di rifiuto si respinge lipotesi principale H 0 con un rischio pari ad di commettere un errore: -il valore 1 - della probabilità di non accettare le ipotesi alternative H 1 quando esse sono realmente false viene detto: potenza del test

24 Test / 83 la determinazione di e usando la variabile casuale X n

25 Test / 83 Per meglio comprendere il significato ed il metodo di calcolo del rischio di errore di seconda specie esaminiamo il caso di una ipotesi fondamentale H 0 e di due ipotesi alternative: H 1 e H 2 H 0 : = 0 ; H 1 : = 1 ; H 2 : = 2 con 2 < 0 < 1 Come è semplice notare le tre ipotesi sono formalmente identiche: in tutti i casi si ipotizza che la media della variabile casuale X possa assumere un prestabilito valore. Come vedremo fra poco, però, lipotesi fondamentale H 0 viene trattata in maniera ben diversa dalle due ipotesi alternative H 1 e H 2 la determinazione di e con X n

26 Test / 83 La figura mostra la distribuzione della media campionaria nel caso in cui lipotesi fondamentale H 0 : = 0 sia vera: Le due regioni campite (cioè colorate) in giallo individuano la regione di rifiuto per H 0 : la determinazione di e con X n

27 Test / 83 Se lo stimatore campionario risulta oppure se risulta rifiuteremo lipotesi principale H 0 la determinazione di e con X n

28 Test / 83 Sappiamo però che, qualora H 0 sia vera, cè una probabilità pari ad /2 che lo stimatore campionario risulti per effetto del caso con cui si estrae il campione dalla popolazione (regione 1). la determinazione di e con X n Se lo stimatore campionario risulta oppure se risulta rifiuteremo lipotesi principale H 0

29 Test / 83 Analogamente sappiamo che, con H 0 vera, cè una probabilità pari ad /2 che lo stimatore campionario risulti per effetto del caso con cui si estrae il campione dalla popolazione (regione 2). la determinazione di e con X n Se lo stimatore campionario risulta oppure se risulta rifiuteremo lipotesi principale H 0

30 Test / 83 Se lo stimatore campionario risulta il test non fornisce informazioni tali da consentirci di rifiutare H 0 Chiediamoci però, nel caso in cui H 0 sia falsa ed H 1 sia vera, quale sia la probabilità di trovare un valore dello stimatore compreso nellintervallo a causa della aleatorietà con cui si estrae il campione. la determinazione di e con X n

31 Test / 83 La regione 3 campita in viola rappresenta la probabilità che, malgrado sia vera lipotesi alternativa H 1 : = 1, il valore della media campionaria risulti. la determinazione di e con X n

32 Test / 83 E evidente che, anche se lipotesi fondamentale H 0 : = 0 e lipotesi alternativa H 1 : = 1 sono espresse nella stessa forma, lo studio che si conduce è diverso tra luna e laltra. la determinazione di e con X n

33 Test / 83 Un analogo ragionamento viene poi condotto in relazione alla seconda ipotesi alternativa: H 2 : = 2 Chiediamoci, nel caso in cui H 0 sia falsa ed H 2 sia vera, quale sia la probabilità di trovare un valore dello stimatore compreso nellintervallo a causa della aleatorietà con cui si estrae il campione. la determinazione di e con X n

34 Test / 83 Un analogo ragionamento viene poi condotto in relazione alla seconda ipotesi alternativa: H 2 : = 2 La regione 4 campita in viola nella figura successiva rappresenta la probabilità che, malgrado sia vera lipotesi alternativa H 2 : = 2, il valore della media campionaria risulti la determinazione di e con X n

35 Test / 83 se H 1 : = 1 vera se H 2 : = 2 vera la distribuzione di X n per H 0, H 1, H 2 se H 0 : = 0 vera

36 Test / 83 la determinazione di e usando la variabile casuale T

37 Test / 83 la determinazione di e con T se H 0 : = 0 vera se H 1 : = 1 vera

38 Test / 83 0,05 -1,753 0,05 1,753 la determinazione di e con T Facciamo due considerazioni generali: 1) dal valore di desiderato si ricava il valore critico T 0c che individua la regione di rifiuto della H 0 dal valore critico T 0c si ricava il corrispondente valore critico per la media campionaria:

39 Test / 83 La seconda considerazione generale è la seguente: 2) il valore assunto da T per uno stesso valore della media campionaria dipende dal valore ipotizzato per la media della popolazione. la determinazione di e con T

40 Test / 83 la determinazione di e con T di conseguenza: il valore critico assunto da T in corrispondenza del valore critico per la media campionaria dipende dal valore ipotizzato per la media della popolazione.

41 Test / 83 la determinazione di e con T di conseguenza: il valore assunto da T in corrispondenza del valore critico per la media campionaria dipende dal valore ipotizzato per la media della popolazione.

42 Test / 83 la determinazione di e con T dato che : possiamo anche scrivere:

43 Test / 83 0,05 -1,753- 2,387 0,015 la determinazione di e con T 0,05 1,753 dal valore che si è stabilito di poter accettare per il rischio di errore di prima specie:

44 Test / 83 la determinazione di e con Z dato che : possiamo anche scrivere:

45 Test / 83 5° test sulla media: H 0 con H 1 varianza nota, rischio di errore di seconda specie

46 Test / 83 Test di ipotesi sulla media (con 2 nota) Si è riprogettato un OpAmp in produzione da tempo e si è realizzata una preserie del nuovo dispositivo. Ci si interroga sulla possibilità che il valore tipico della corrente di offset sia passato dai 50 nA del vecchio progetto a meno di 40 nA.

47 Test / 83 formulazione del test per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi: 1. scelta della numerosità del campione; 2.costruzione della variabile casuale X 3.individuazione della ipotesi principale H 0 ; 4.eventuale definizione di ipotesi alternative H 1, H 2 ; 5.scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ; 6.definizione della affidabilità richiesta ; 7.definizione della eventuale potenza minima richiesta ; 8.determinazione del valore del/dei discriminanti ; 9.verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna allinizio e si aumenta la numerosità del campione ;

48 Test / 83 Test di ipotesi sulla media (con 2 nota) 1.Stabiliamo di operare con un campione di 36 amplificatori. 2.Costruiamo la variabile casuale X stabilendo che essa assuma valore uguale a quello della corrente di offset di ciascun elemento della popolazione misurata in nA. La varianza 2 della X per lintera popolazione si suppone nota: 2 = H 0 : < 0 40 ; 4.H 1 : = 1 = 50 ; 5.scegliamo come variabile campionaria la media campionaria che, se n è sufficientemente elevato, segue la distribuzione normale con varianza pari a 2 / n ;

49 Test / 83 Test di ipotesi sulla media (con 2 nota) 6.fissiamo il livello accettabile per il rischio di errore di prima specie: = 0,10 ( che comporta un livello di fiducia del 90% );; 7.stabiliamo un valore richiesto della potenza non inferiore a 99% ; 8.calcoliamo il valore critico della variabile campionaria che individua la regioni di rifiuto della ipotesi principale H 0 in funzione del valore di prestabilito (0,10); 0,10

50 Test / 83 Test di ipotesi sulla media (con 2 nota) abbiamo utilizzato la distribuzione a una coda in quanto lipotesi principale viene rigettata solo se la media è maggiore di 0 ; 0,10

51 Test / 83 Test di ipotesi sulla media (con 2 nota) regione di rifiuto di H 0 : 0,10

52 Test / 83 Test di ipotesi sulla media (con 2 nota) regione di rifiuto di H 0 : quale è il valore del rischio di errore di II specie determinato da H 1 : = 1 = 50

53 Test / 83 Test di ipotesi sulla media (con 2 nota) 0,003 rischio di errore di II specie : 0,003 potenza contro H 1 : 99,7% regione di rifiuto di H 0 :

54 Test / 83 Test di ipotesi sulla media (con 2 nota) riassumendo: regione di rifiuto di H 0 : rischio di errore di I specie : 0,10 rischio di errore di II specie : 0,003 0,10 0,003

55 Test / 83 0,10 0,003 Test di ipotesi sulla media (con 2 nota) riassumendo: regione di rifiuto di H 0 : rischio di errore di I specie : 0,10 rischio di errore di II specie : 0,003

56 Test / 83 Test di ipotesi sulla media (con 2 nota) non cade nella regione di rifiuto di H 0 : 0,10 0,003

57 Test / 83 Test di ipotesi sulla media (con 2 nota) non cade nella regione di rifiuto di H 0 : devo non rifiutare lipotesi principale: H 0 : 40,0 ; 0,10 0,003

58 Test / 83 Test di ipotesi sulla media (con 2 nota) non cade nella regione di rifiuto di H 0 : devo non rifiutare lipotesi principale: H 0 : 40,0 ; il test ha un livello di fiducia del 90% per H 0 0,10 0,003

59 Test / 83 Test di ipotesi sulla media (con 2 nota) non cade nella regione di rifiuto di H 0 : devo non rifiutare lipotesi principale: H 0 : 40,0 ; il test ha un livello di fiducia del 90% per H 0 ed una potenza del 99,7% nei confronti di H 1 0,10 0,003

60 Test / 83 0,10 0,003 Test di ipotesi sulla media (con 2 nota) non cade nella regione di rifiuto di H 0 : devo non rifiutare lipotesi principale: H 0 : 40,0 ; il test ha un livello di fiducia del 90% per H 0 ed una potenza del 99,7% nei confronti di H 1 Ripetiamo il test imponendo un livello di fiducia più alto per esaminare le conseguenze di questa scelta.

61 Test / 83 6° test sulla media: H 0 con H 1 varianza nota, rischio di errore di seconda specie

62 Test / 83 formulazione del test per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi: 1. scelta della numerosità del campione; 2.costruzione della variabile casuale X 3.individuazione della ipotesi principale H 0 ; 4.eventuale definizione di ipotesi alternative H 1, H 2 ; 5.scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ; 6.definizione della affidabilità richiesta ; 7.definizione della eventuale potenza minima richiesta ; 8.determinazione del valore del/dei discriminanti ; 9.verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna allinizio e si aumenta la numerosità del campione ;

63 Test / 83 Test di ipotesi sulla media (con 2 nota) 1.Stabiliamo di operare con un campione di 36 amplificatori. 2.Costruiamo la variabile casuale X stabilendo che essa assuma valore uguale a quello della corrente di offset di ciascun elemento della popolazione misurata in nA. La varianza 2 della X per lintera popolazione si suppone nota: 2 = H 0 : < 0 40 ; 4.H 1 : = 1 = 50 ; 5.scegliamo come variabile campionaria la media campionaria che, se n è sufficientemente elevato, segue la distribuzione normale con varianza pari a 2 / n ;

64 Test / 83 Test di ipotesi sulla media (con 2 nota) 6.fissiamo il livello accettabile per il rischio di errore di prima specie: = 0,05 ( che comporta un livello di fiducia del 95% ); 7.stabiliamo un valore richiesto della potenza non inferiore a 99% ; 8.calcoliamo il valore critico della statistica campionaria che individua la regioni di rifiuto della ipotesi principale H 0 in funzione del valore di prestabilito (0,05); 0,05

65 Test / 83 Test di ipotesi sulla media (con 2 nota) abbiamo utilizzato la distribuzione a una coda in quanto lipotesi principale viene rigettata solo se la media è maggiore di 0 ; 0,05

66 Test / 83 Test di ipotesi sulla media (con 2 nota) regione di rifiuto di H 0 : 0,05

67 Test / 83 Test di ipotesi sulla media (con 2 nota) regione di rifiuto di H 0 : quale è il valore del rischio di errore di II specie determinato da H 1 : = 1 = 50

68 Test / 83 Test di ipotesi sulla media (con 2 nota) 0,0093 rischio di errore di II specie : 0,0093 potenza contro H 1 : 99,07% regione di rifiuto di H 0 :

69 Test / 83 Test di ipotesi sulla media (con 2 nota) riassumendo: regione di rifiuto di H 0 : rischio di errore di I specie : 0,05 rischio di errore di II specie : 0,0093 0,05 0,0093

70 Test / 83 Test di ipotesi sulla media (con 2 nota) aver voluto portare il livello di fiducia del test dal 90% al 95% per H 0, senza cambiare il numero di elementi del campione, ha fatto diminuire la potenza nei confronti di H 1 ed aumentare il rischio di errore di II specie fino a sfiorare il limite prefissato!!! 0,05 0,0093

71 Test / 83 Test di ipotesi sulla media (con 2 nota) se invece aumentassi da 36 a 45 il numero degli elementi del campione potrei portare il livello di fiducia del test al 95% per H 0 senza diminuire la potenza nei confronti di H 1 : il rischio di errore di II specie scenderebbe a meno di 0,0025 0,05 0,0093 0,05 0,0023

72 Test / 83 7° test sulla media varianza incognita variabile T di Student rischio di errore di seconda specie

73 Test / 83 Test di ipotesi sulla media ( 2 incognita ) In base alla scheda tecnica del costruttore, linduttore HQL ha un valore del fattore di merito Q maggiore di 75 (valore tipico). Un altro costruttore afferma che tale valore non è raggiunto e sostiene che il valore tipico dellHQL prodotto dal suo concorrente è uguale a quello tipico del modello TL da lui prodotto (Q = 60). Dato che linduttore HQL ha un prezzo di acquisto maggiore del TL, si desidera verificare lipotesi che il valore tipico del fattore di merito Q dellinduttore HQL sia effettivamente maggiore o uguale di 75 contro lipotesi che sia uguale a 60. Tramite un acquirente non conosciuto dal venditore (per non ricevere un campione selezionato ad hoc) si acquista un lotto di induttori modello HQL per procedere ad un test di ipotesi sulla media.

74 Test / 83 Test di ipotesi sulla media ( 2 incognita ) 1.costruiamo la variabile casuale X il cui valore coincide con quello del fattore Q degli induttori Mod. HQL 2.H 0 : 0 = 75 ; 3.H 1 : = 1 = 60 ; 4.dato che 2 è incognita si ricorre alla statistica che segue la distribuzione t di Student con n -1 gradi di libertà;

75 Test / 83 Test di ipotesi sulla media ( 2 incognita ) 5.fissiamo il livello accettabile per il rischio di errore di prima specie: = 0,05 ( che comporta un livello di fiducia del 95% ); 6.stabiliamo di operare con un campione di 16 induttori HQL ; 7.fissiamo il livello accettabile per < 2%; 8.il nostro scopo è quello di individuare il valore critico della statistica campionaria che individua la regione di rifiuto della ipotesi principale H 0 in funzione del valore di che è stato prestabilito (0,05); per fare ciò utilizzeremo la t di Student ad una coda in quanto lipotesi principale (H 0 : 0 = 75) è falsa solamente se la media della popolazione risulta minore di 0

76 Test / 83 Test di ipotesi sulla media ( 2 incognita ) individuiamo, dai dati del problema, il valore critico della T : n = 16 ; g.d.l. = 15 = 0,05 ; distribuzione ad una coda ( inferiore ) dalle tabelle si ricava:

77 Test / 83 Test di ipotesi sulla media ( 2 incognita ) valore critico : regione di rifiuto di H 0 : 0,05 -1,753

78 Test / 83 9.composto il campione si misura il valore del fattore di merito Q degli induttori Mod. HQL - si calcolano poi i valori degli stimatori campionari : Test di ipotesi sulla media ( 2 incognita )

79 Test / 83 3,247 9.composto il campione si misura il valore del fattore di merito Q degli induttori Mod. HQL - si calcolano poi i valori degli stimatori campionari : Test di ipotesi sulla media ( 2 incognita )

80 Test / 83 -1,753 3,247 < 0,005 0,05 Test di ipotesi sulla media ( 2 incognita )

81 Test / 83 Test di ipotesi sulla media ( 2 incognita ) riassumendo: regione di rifiuto di H 0 : regione di non accettazione di H 1 : rischio di errore di I specie : 0,05 rischio di errore di II specie : < 0,005 -1,753 3,247 < 0,005

82 Test / 83 Test di ipotesi sulla media ( 2 incognita ) riassumendo: regione di rifiuto di H 0 : regione di non accettazione di H 1 : rischio di errore di I specie : 0,05 rischio di errore di II specie : < 0,005 determiniamo infine il valore assunto dalla variabile T 0 in corrispondenza dei valori degli stimatori media campionaria e varianza campionaria corretta:

83 Test / 83 -1,753 3,247 < 0,005 Test di ipotesi sulla media ( 2 incognita ) regione di rifiuto di H 0 : regione di non accettazione di H 1 : rischio di errore di I specie : 0,05 rischio di errore di II specie : < 0,005

84 Test / 83 Test di ipotesi sulla media ( 2 incognita ) non cade nella regione di rifiuto di H 0 : devo quindi astenermi dal rifiutare lipotesi principale: H 0 : 75 ; il test ha un livello di significatività del 5% per H 0 ed una potenza superiore al 99,5% nei confronti di H 1 -1,753 3,247 < 0,005


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