Studio della evoluzione temporale del numero di individui di una popolazione mediante il programma Excell Con i simboli Si indica il numero di individui.

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2 Studio della evoluzione temporale del numero di individui di una popolazione mediante il programma Excell Con i simboli Si indica il numero di individui allinizio, dopo un periodo di tempo (es. 1 mese, o 1 anno), dopo un periodo doppio,ecc.

3 Modello geometrico o modello malthusiano E quello secondo il quale laumento della popolazione in un periodo unitario di tempo è proporzionale alla popolazione presente al momento in cui si calcola la variazione cioè

4 Critica al modello di crescita malthusiano Sono stati raccolti i dati della popolazione degli USA negli anni dal 1790 al 1950. Data la tabella di crescita effettiva della popolazione degli USA si può verificare se il modello malthusiano descrive correttamente la variazione di popolazione nel corso degli anni. La formula del modello malthusiano dipende dalla costante di crescita r : tannopopolazione effettiva 017903.929.000 118005.308.000 218107.240.000 318209.638.000 4183012.866.000 5184017.069.000 6185023.192.000 7186031.443.000 8187038.558.000 9188050.156.000 10189062.948.000 11190075.995.000 12191091.972.000 131920105.711.000 141930122.775.000 151940131.669.000 161950150.697.000

5 Calcolando la popolazione utilizzando la formula di crescita del modello malthusiano si constata che i valori della popolazione fino al 7° periodo sono simili mentre dall8° periodo iniziano a differire con notevoli errori. tannopopolazione effettivarr mediopopolazione con leggeerrore assoluto errore percentuale 017903.929.0000,350980,3460383.929.00000,00% 118005.308.0000,363979 5.288.582-19.418-0,37% 218107.240.0000,331215 7.118.630-121.370-1,68% 318209.638.0000,334924 9.581.943-56.057-0,58% 4183012.866.0000,326675 12.897.65631.6560,25% 5184017.069.0000,35872 17.360.730291.7301,71% 6185023.192.0000,355769 23.368.195176.1950,76% 7186031.443.0000,226282 31.454.47011.4700,04% 8187038.558.0000,300794 42.338.8993.780.8999,81% 9188050.156.0000,255044 56.989.7506.833.75013,62% 10189062.948.0000,207266 76.710.34613.762.34621,86% 11190075.995.0000,210238 103.255.01027.260.01035,87% 12191091.972.0000,149382 138.985.12647.013.12651,12% 131920105.711.0000,161421 187.079.20681.368.20676,97% 141930122.775.0000,072441 251.815.645129.040.645105,10% 151940131.669.0000,144514 338.953.326207.284.326157,43% 161950150.697.000 456.243.921305.546.921202,76%

6 Grafico popolazione effettiva e popolazione calcolata con modello malthusiano

7 Il modello logistico Si deve sostituire alla costante r una funzione che rappresenti il rapporto di crescita Bisogna fare alcune ipotesi. Lambiente in cui vive la popolazione può sostenere un numero massimo di individui L. Se A n >L non ci sono abbastanza risorse e il numero di morti supera quello dei nati Se A n <L la popolazione aumenta Se A n è molto piccolo in rapporto a L, allora la funzione di crescita è simile al fattore r

8 Individuare una funzione che abbia le caratteristiche descritte Sapendo che il modello di crescita dipende dalla funzione si deve individuare la funzione che si comporti secondo le caratteristiche precedentemente descritte. Individuiamo la funzione:

9 Con questa funzione si ottiene che e quindi, possiamo ora calcolare con la nuova formula la popolazione secondo il modello logistico. annopopolazione effettivar mediocon modello logisticoLerroreerrore percentuale 17903.929.0000,3460383.929.000195.000.00000,00% 18005.308.000 5.261.188 -46.812-0,88% 18107.240.000 7.032.637 -207.363-2,86% 18209.638.000 9.378.428 -259.572-2,69% 183012.866.000 12.467.636 -398.364-3,10% 184017.069.000 16.506.067 -562.933-3,30% 185023.192.000 21.734.310 -1.457.690-6,29% 186031.443.000 28.416.935 -3.026.065-9,62% 187038.558.000 36.817.274 -1.740.726-4,51% 188050.156.000 47.152.009 -3.003.991-5,99% 189062.948.000 59.522.995 -3.425.005-5,44% 190075.995.000 73.832.975 -2.162.025-2,84% 191091.972.000 89.708.332 -2.263.668-2,46% 1920105.711.000 106.469.932 758.9320,72% 1930122.775.000 123.196.485 421.4850,34% 1940131.669.000 138.894.065 7.225.0655,49% 1950150.697.000 152.722.759 2.025.7591,34%

10 Confrontando la popolazione effettiva con quella calcolata con il modello logistico possiamo vedere dal grafico che coincidono.

11 Prendendo un qualsiasi valore della popolazione iniziale e calcolando la crescita con il modello logistico si nota che tutte le curve si stabilizzano quando raggiungono il numero massimo di individui L.

12 Rapidità di crescita ovvero come e quando la curva cresce e decresce rapidità di crescita crescente rapidità di crescita decrescente 1.332.18816.726.553 1.771.44915.697.580 2.345.79113.828.694 3.089.20811.457.743 4.038.4318.979.162 5.228.2436.711.116 6.682.6254.829.096 8.400.3383.375.963 10.334.7352.310.941 12.370.9861.558.582 14.309.9801.040.462 15.875.357689.782 16.761.600455.178 299.441 196.588 128.890 84.430 55.275 36.174 23.667 Guardando il grafico si nota che la curva raggiunge il massimo della rapidità e inizia a decrescere circa a metà tra il punto di partenza della popolazione e il numero massimo di individui.