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3.1 Introduzione 3.2.1 Conseguenze di una lotteria 3.2.1 Conseguenze di una lotteria 3.2.2 Utilità, e utilità attesa 3.2.2 Utilità, e utilità attesa 3.3.1.

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1 3.1 Introduzione Conseguenze di una lotteria Conseguenze di una lotteria Utilità, e utilità attesa Utilità, e utilità attesa Assicurarsi o correre il rischio? Assicurarsi o correre il rischio? Chi vuole fare il mestiere dellassicuratore? 3 Scegliere quando il mondo è incerto 3.2 Scelta sotto incertezza come scelta tra lotterie 3.2 Scelta sotto incertezza come scelta tra lotterie 3.3 Storie 3.3 Storie Esci Avversione e propensione al rischio Avversione e propensione al rischio Scelte sul mercato finanziario Scelte sul mercato finanziario Ancora delitto e castigo Ancora delitto e castigo Tassazione progressiva come assicurazione

2 Una lotteria è una situazione nella quale un individuo paga una somma per avere la possibilità di ottenere uno tra i possibili guadagni alternativi, che dipendono dalla realizzazione di diversi eventi casuali. Par Una scelta in condizioni di incertezza può essere pensata come la scelta tra diverse lotterie alle quali un individuo può partecipare.

3 Par Per decidere se partecipare a una lotteria e a quale lotteria partecipare un individuo deve conoscere le possibili conseguenze delle diverse lotterie le possibili conseguenze delle diverse lotterie le proprie preferenze relativamente alle possibili conseguenze di ogni lotteria le proprie preferenze relativamente alle possibili conseguenze di ogni lotteria

4 Par Le conseguenze di una lotteria possono essere descritte da una variabile casuale, cioè da una variabile che può assumere uno solo tra valori alternativi, ciascuno con una certa probabilità.

5 Par Vincita Probabilità 036X 36/371/37 … e la probabilità che si vinca una somma pari a 36X è 1/37. Alla roulette si punta una somma X su un numero: se esce quel numero si vince 36 X, se non esce quel numero non si vince nulla. Quindi, poiché alla roulette possono uscire 37 numeri, cioè i numeri da 0 a 36, la probabilità che la vincita sia 0 è 36/37... Come sono fatte le variabili che descrivono lesito di queste lotterie? Consideriamo, per esempio, le conseguenze di una puntata alla roulette e della scommessa sul lancio di una moneta.

6 Par Vincita Probabilità 02X 1/21/2 Supponiamo che si punti la somma X sul fatto che dal lancio di una moneta non truccata esca testa: se esce croce non si guadagna nulla, se esce testa si guadagna 2X. … e la probabilità che la vincita sia 2X è 1/2. La probabilità che non si vinca nulla è 1/2...

7 Par Per valutare le conseguenze di una lotteria possiamo calcolare due caratteristiche della variabile casuale che descrive il suo esito: il valore atteso il valore atteso la varianza la varianza

8 Media = ( ) Supponete di avere ottenuto questi 9 voti Come calcolate la vostra media ? / 9 / 9 = 24 = 24 Solitamente sommate i voti e li dividete per il numero dei voti. Par

9 Voto Frequenza /92/91/93/91/91/9 Calcolate la frequenza con la quale avete ottenuto ciascun voto. 20 · 1/9 21 · 2/9 23 · 1/9 24 · 3/9 29 · 1/9 30 · 1/9 Moltiplicate ciascun voto per la sua frequenza. Considerate i diversi voti che avete preso Per calcolare la media dei vostri voti, però, potete procedere in questo modo. Media 24 Sommate i risultati di questi prodotti... … e otterrete la media. Par

10 Media = ( ) / 9 / 9 = 24 = 24 Media = 20 ·1/ ·2/ ·1/ ·3/ ·1/ ·1/9 = 24 Media = ( 20 · · · · · ·1) / 9 = 24 Media = ( ) / 9 = 24 Considerate, infatti, come calcolate solitamente la media … Il risultato non cambia se ordinate i voti in ordine crescente... … e dividete ogni addendo per il numero dei voti. … raggruppate i voti tra loro uguali... Par

11 Voto Probabilità /92/91/93/91/91/9 Supponete ora che vi dicano che in un esame potete prendere uno di questi voti... … e che la probabilità di prendere questi voti è … La probabilità di un evento, comunque sia stata calcolata, esprime una convinzione sulla frequenza con la quale quellevento si verificherà. Dunque, se calcolate la media dei possibili esiti interpretando le probabilità come loro possibili frequenze, otterrete una valutazione delle prospettive di voto offerte da questo esame. Come potete valutare le prospettive di voto offerte da questo esame? Valore atteso 24 Par Questa misura è chiamata valore atteso della lotteria.

12 Consideriamo nuovamente lesempio della roulette. Vincita Probabilità 036X 36/371/37 Qual è il valore atteso di questa lotteria? Moltiplichiamo ciascuna possibile vincita per la sua probabilità /37 X Valore atteso 36/37 X Poiché il valore atteso di questa lotteria, 36/37 X, è inferiore al costo che si deve sostenere per parteciparvi, X, si dice che questa lotteria non è equa. Par … e sommiamo i risultati così ottenuti.

13 Vincita Probabilità 02X 1/21/2 Qual è il valore atteso di questa lotteria? Moltiplichiamo ciascuna possibile vincita per la sua probabilità... 0X Valore atteso X Consideriamo ora lesempio della moneta. Par Poiché il valore atteso di questa lotteria, X, è uguale al costo che si deve sostenere per parteciparvi, X, si dice che questa lotteria è equa. … e sommiamo i risultati così ottenuti.

14 Vincita Probabilità 010 1/2 Consideriamo ora due lotterie, che rappresentano due scommesse sul risultato del lancio di una moneta. Lotteria 1 Lotteria 1 Lotteria 2 Lotteria 246 1/21/21/2 Nella prima lotteria non si guadagna nulla se esce croce e si guadagna 10 se esce testa. Nella seconda lotteria si guadagna 4 se esce croce e si guadagna 6 se esce testa. Naturalmente, poiché la moneta non è truccata, la probabilità che esca croce oppure testa è sempre 1/2. Come si può facilmente calcolare moltiplicando per ogni lotteria il prodotto di ciascuno dei possibili esiti per la corrispondente probabilità e sommando i risultati, entrambe le lotterie sono caratterizzate dallo stesso valore atteso, Valore atteso Tuttavia, anche se hanno lo stesso valore atteso, le due lotterie sono chiaramente diverse. La prima lotteria, infatti, mi consente di guadagnare meno se le cose vanno male e di guadagnare di più se le cose vanno bene. Quindi, per valutare le conseguenze di una lotteria è utile avere anche una misura della variabilità dei suoi risultati, cioè della sua rischiosità. Par In altri termini, poiché i risultati che si possono ottenere dalla prima lotteria sono più variabili, cioè sono più lontani dal valore atteso, la prima lotteria è più rischiosa.

15 00 Vincita Probabilità 010 1/2 Un modo per calcolare la variabilità dei risultati potrebbe essere quello di calcolare la media degli scostamenti di ciascun possibile esito dal valore atteso. 46 1/21/21/2 Par Per la prima lotteria questa misura risulterebbe uguale a (0 - 5) ·1/2 + (10 - 5) ·1/2 = - 5/2 + 5/2 = 0. Anche per la seconda lotteria, però, questa misura risulterebbe uguale a 0, perché sarebbe uguale (4 - 5) ·1/2 + (6 - 5) ·1/2 = - 1/2 + 1/2 = 0. Questo modo di misurare la rischiosità di una lotteria, quindi, è inadeguato. Infatti queste due lotterie, che sono caratterizzate da una diversa rischiosità perché i possibili risultati hanno una variabilità diversa, risulterebbero ugualmente rischiose. 25 Il rischio che comporta una lotteria, però, può essere valutato calcolando la media dei quadrati degli scostamenti di ciascun possibile risultato dal valore atteso atteso della lotteria. 1 Per la seconda lotteria, invece, questa misura è uguale a (4 - 5) 2 ·1/2 + (6 - 5) 2 ·1/2 = 1/2 + 1/2 = 1. Questa misura, che è chiamata varianza, è dunque adeguata a misurare la rischiosità di una lotteria: quanto più alta è la varianza, tanto più rischiosa è la lotteria. Varianza 5 5 Valore atteso Lotteria 1 Lotteria 1 Lotteria 2 Lotteria 2 Per la prima lotteria, infatti, questa misura è uguale a (0 - 5) 2 ·1/2 + (10 - 5) 2 ·1/2 = 25/2 + 25/2 = 25.

16 Da cosa deriva la diversa attitudine al rischio di individui diversi? Allora, se non partecipa a questa lotteria, questo individuo di fatto partecipa a unaltra lotteria, dalla quale può avere 0 con probabilità 0 e 25 con probabilità 1. Un individuo può partecipare a una lotteria che prevede un costo pari a 25, ma promette con probabilità 1/2 una vincita pari a 10 e con probabilità 1/2 una vincita pari a 40. Se un individuo, invece, sceglie di partecipare alla prima lotteria è propenso al rischio: tra due lotterie con lo stesso valore atteso egli sceglie quella più rischiosa, cogliendo lopportunità di vincere molto e accettando il rischio di perdere molto. Se un individuo sceglie di non partecipare alla prima lotteria è avverso al rischio: tra due lotterie con lo stesso valore atteso egli sceglie quella meno rischiosa, rinunciando allopportunità di guadagnare molto ed evitando di perdere molto. Par Vincita Probabilità / / Valore atteso 0 Le due lotterie, dunque, hanno lo stesso valore atteso, 25, ma comportano un rischio diverso. Lotteria 1 Lotteria 2 Varianza Poiché il valore atteso è 25 e la varianza è 225, questa è una lotteria equa, anche se rischiosa. Per sapere se un individuo deciderà di partecipare a una lotteria non è sufficiente conoscere il valore atteso di quella lotteria e la sua varianza. Consideriamo, infatti, questa situazione. E neutrale rispetto al rischio, infine, un individuo che è indifferente tra due lotterie che hanno lo stesso valore atteso ma comportano un diverso rischio. 0 La decisione, ovviamente, dipende dallattitudine verso il rischio di chi deve scegliere. Se non partecipa a questa lotteria questo individuo non può vincere nulla, ma è sicuro di avere la somma che avrebbe dovuto pagare per partecipare alla lotteria. Chi deve scegliere deciderà di non correre alcun rischio, rinunciando a partecipare alla prima lotteria oppure deciderà di partecipare alla prima lotteria, affrontando il rischio di ottenere un risultato deludente?

17 Lutilità che un individuo può aspettarsi di ottenere dalla partecipazione a una lotteria, cioè lutilità attesa della lotteria, è uguale alla media delle utilità che egli può ottenere da ciascuno dei possibili esiti della lotteria. Nella lotteria che stiamo considerando la probabilità di ottenere unutilità pari a 3,162 è 1/2, perché la probabilità di una vincita pari a 10 è 1/2... Par Vincita Probabilità /2 3,162 1/21/2 4,743 4,743 Utilità attesa 1/2SommeUtilità6,325 … e la probabilità di ottenere unutilità pari a 6,325 è 1/2, perché la probabilità di una vincita pari a 40 è 1/2. Lutilità attesa della lotteria, quindi, è pari a 3,162 ·1/2 + 6,325 ·1/2 = 1, ,162 = 4,743. Supponiamo di poter misurare lutilità che un individuo ottiene da ciascuna somma. Supponiamo, per esempio, che la funzione di utilità sia x. Ciò significa semplicemente che lutilità che un individuo ottiene dalla somma x è misurata da un numero uguale alla radice quadrata di x. … e lutilità di una vincita pari a 40 è 40, cioè è circa 6,325. Lutilità di una vincita pari a 10 è 10, cioè è circa 3, A ciascuna somma, quindi, possiamo far corrispondere un numero che misura lutilità che ne ottiene un individuo. La regola che fa corrispondere un numero allutilità ottenuta da ciascuna somma è chiamata funzione di utilità. Qual è lutilità che si può ottenere da ciascun esito della prima lotteria che abbiamo considerato, che comporta questi possibili esiti?

18 Quindi, lutilità che lindividuo può aspettarsi di ottenere dalla seconda lotteria è 5. Par Vincita Probabilità Utilità attesa 0SommeUtilità5 Poiché lutilità di una vincita pari a 0 è 0 = 0, in questa lotteria vi è la probabilità 0 di ottenere unutilità pari a 0. Poiché lutilità di una vincita pari a 25 è 25 = 5, vi è la probabilità 1 di ottenere unutilità pari a 5. Qual è invece lutilità attesa della seconda lotteria, cioè della lotteria alla quale un individuo di fatto partecipa se non partecipa alla prima lotteria?

19 Par Varianza Chi valuta questa situazione non è interessato alle somme che può guadagnare: è interessato allutilità che può ottenere dalle somme che può guadagnare. 0 Possiamo concludere, quindi, che un individuo che ha la funzione di utilità x è avverso al rischio, perché tra due lotterie che hanno lo stesso valore atteso sceglierà quella meno rischiosa. Lotteria 1 Lotteria 2 Dunque abbiamo la seguente situazione. Utilità attesa 4,743 Valore atteso La partecipazione alla prima lotteria, però, comporta un rischio, perché la prima lotteria offre la possibilità di ottenere una vincita più alta, ma comporta anche la possibilità di ottenere una vincita più bassa. Un individuo può aspettarsi di ottenere la stessa somma se decide di partecipare alla prima lotteria oppure se decide di non parteciparvi, perché le due lotterie sono caratterizzate dallo stesso valore atteso. Allora, se la funzione di utilità di chi deve scegliere è x, costui preferirà partecipare alla seconda lotteria, perché lutilità attesa della seconda lotteria è superiore a quella della prima lotteria. Un individuo, quindi, sceglierà di partecipare alla lotteria dalla quale si aspetta di ottenere lutilità maggiore.

20 Supponiamo, però, che la funzione di utilità sia x 2 : lutilità che un individuo ottiene dalla somma x è misurata da un numero pari al quadrato di x. Par Vincita Probabilità / /21/ Utilità attesa 1/2SommeUtilità1600 Quale sarà in queste circostanze lutilità attesa della prima lotteria? … e lutilità di una somma pari a 40 è 40 2 = … lutilità attesa di questa lotteria è 100 ·1/ ·1/2 = = 850. Poiché la probabilità di ottenere unutilità pari a 100 è 1/2 e la probabilità di ottenere unutilità pari a 1600 è 1/2... Lutilità di una somma pari a 10 ora è 10 2 =

21 Par Vincita Probabilità Utilità attesa 0SommeUtilità625 Vediamo ora qual è lutilità attesa della seconda lotteria. Lutilità attesa di una vincita pari a 0 ora è 0 2 = 0... … e lutilità attesa di una vincita pari a 25 è 25 2 = 625. Poiché vi è la certezza di ottenere da questa lotteria unutilità pari a … lutilità attesa di questa lotteria è 0 · ·1 = = 625.

22 Par Varianza Valore atteso Lotteria 1 Lotteria 2 Utilità attesa 850 Allora, se la funzione di utilità è x 2, abbiamo la seguente situazione. In questo caso, però, chi deve scegliere, preferirà partecipare alla prima lotteria, perché lutilità attesa della prima lotteria, se la funzione di utilità è x 2, è superiore a quella della seconda lotteria. Possiamo concludere, quindi, che un individuo che ha la funzione di utilità x 2 è propenso al rischio, perché tra due lotterie che hanno lo stesso valore atteso sceglierà quella più rischiosa. Anche in questo caso chi deve scegliere deciderà di partecipare alla lotteria dalla quale si aspetta di ottenere lutilità maggiore.

23 Par Vincita Probabilità /2 20 1/2 Utilità attesa SommeUtilità80 Supponiamo, infine, che la funzione di utilità sia 2x, cioè che lutilità che un individuo ottiene dalla somma x sia misurata da un numero pari al doppio di x... … e riconsideriamo, per lultima volta, la prima lotteria. Lutilità di una somma pari a 10 ora è 10 ·2 = … e lutilità di una somma pari a 40 è 40 ·2 = 80. Poiché la probabilità di ottenere un utilità pari a 20 è 1/2 e la probabilità di ottenere unutilità pari a 80 è 1/2... 1/21/ … lutilità attesa di questa lotteria è 20 ·1/ ·1/2 = = 50.

24 Par Vincita Probabilità Utilità attesa 0SommeUtilità50 Vediamo ora qual è lutilità attesa della seconda lotteria. Lutilità attesa di una vincita pari a 0 ora è 0 ·2 = 0... … e lutilità attesa di una vincita pari a 25 è 25 ·2 = 50. Poiché vi è la certezza di ottenere da questa lotteria unutilità pari a … lutilità attesa di questa lotteria è 0 · ·1 = = 50.

25 Par Varianza Valore atteso Lotteria 1 Lotteria 2 Utilità attesa 50 Allora, se la funzione di utilità è 2x, abbiamo la seguente situazione. In questo caso per chi deve scegliere è indifferente partecipare alla prima oppure alla seconda lotteria, perché le due lotterie hanno la stessa utilità attesa. Dunque, un individuo che ha la funzione di utilità 2x è neutrale rispetto al rischio, perché per costui due lotterie che hanno lo stesso valore atteso ma un rischio diverso sono ugualmente interessanti.

26 Par In conclusione la propensione, lavversione e la neutralità rispetto al rischio dipendono dalla funzione di utilità di chi deve scegliere. Funzione di utilitàAttitudine al rischio AvversionePropensione Neutralità x x x2x2x2x2 2x In particolare, abbiamo visto che vi sono queste corrispondenze tra funzioni di utilità e attitudine al rischio. Perché vi sono queste corrispondenze tra funzioni di utilità e attitudini verso il rischio?

27 0 Somma Attitudine al rischio Par Inoltre, questa curva deve essere crescente: quanto più alta è la somma che possiedo, tanto più alta è lutilità che ottengo dal denaro. Questa curva è una retta se lutilità addizionale che ottengo da un euro addizionale non cambia quando aumenta la somma che possiedo. Infine questa curva è concava se lutilità addizionale che ottengo da un euro addizionale, cioè lutilità marginale del denaro, è tanto più piccola quanto più alta è la somma che già possiedo. Possiamo quindi tracciare una curva che rappresenta la funzione di utilità. Questa curva deve passare per lorigine degli assi, perché non ottengo nessuna utilità dal denaro se non ho denaro. La funzione di utilità consente di associare a ogni somma lutilità che può ottenere da quella somma chi la possiede. Questa curva è convessa se lutilità addizionale che ottengo da un euro addizionale è tanto più grande quanto più alta è la somma che già possiedo. Utilità 1 11

28 Valoreatteso E A F C G Utilità Par B D Utilitàattesa 0 Somma Attitudine al rischio Allora, se la funzione di utilità del denaro è concava, cioè se lutilità marginale del denaro è decrescente, un individuo è avverso al rischio, perché tra due lotterie con lo stesso valore atteso sceglie quella meno rischiosa. Se partecipa alla lotteria, invece, vi è una probabilità pari a 1/2 che egli vinca la somma OA... Se decide di partecipare alla lotteria, invece, vi è una probabilità pari a 1/2 che ottenga unutilità pari a OE, perché vi è una probabilità pari a 1/2 che vinca OA... … e una probabilità pari a 1/2 che egli vinca la somma OC. Se decide di non partecipare alla lotteria, però, Rossi può aspettarsi di ottenere unutilità pari a OD, perché è sicuro di ottenere la somma OB. … e vi è una probabilità pari a 1/2 che ottenga unutilità pari a OF, perché vi è una probabilità pari a 1/2 che vinca OC. Supponiamo che la la curva che definisce lutilità del denaro per un individuo che si chiama Rossi sia concava, cioè che lutilità marginale del denaro sia decrescente. Lutilità attesa della lotteria, quindi, è OE ·1/2 + OF ·1/2 = OG. Rossi dunque sceglierà di non partecipare alla lotteria, perché lutilità che egli si aspetta di ottenere dalla lotteria, OG, è inferiore allutilità che egli ottiene se non partecipa alla lotteria, OD. Se non partecipa alla lotteria Rossi non ha alcuna probabilità di vincere qualcosa, ma è sicuro di avere la somma OB. Supponiamo, inoltre, che Rossi debba scegliere se partecipare a una lotteria equa che costa la somma OB. Poiché OA ·1/2 + OC ·1/2 = OB, indipendentemente da ciò che deciderà di fare Rossi può aspettarsi di ottenere in media la somma OB... … perché questo è sia il valore atteso della lotteria che gli è stata proposta, sia il valore atteso della lotteria alla quale di fatto partecipa se decide di non partecipare alla lotteria che gli è stata proposta.

29 A M C N P Utilità Par B L 0 Somma Attitudine al rischio Supponiamo che la la curva che definisce lutilità del denaro di un altro individuo, che si chiama Verdi, sia convessa, cioè supponiamo che per Verdi lutilità marginale del denaro sia crescente. Quindi, se la funzione di utilità del denaro è convessa, cioè se lutilità marginale del denaro è crescente, un individuo è propenso al rischio, perché tra due lotterie con lo stesso valore atteso sceglie quella più rischiosa. Se non partecipa alla lotteria, Verdi ottiene unutilità pari a OL, perché ha la certezza di avere la somma OB che non spende per partecipare alla lotteria. … e una probabilità pari a 1/2 di ottenere lutilità ON, perché ha una probabilità pari a 1/2 di vincere la somma OC. Se partecipa alla lotteria, invece, ha una probabilità pari a 1/2 di ottenere lutilità OM, perché ha una probabilità pari a 1/2 di vincere la somma OA... Supponiamo, inoltre, che Verdi debba decidere se partecipare alla stessa lotteria alla quale Rossi ha deciso di non partecipare. Allora, poiché lutilità che Verdi può aspettarsi dalla partecipazione alla lotteria, OP, è superiore allutilità che egli ottiene se non partecipa alla lotteria, OL, Verdi sceglierà di partecipare alla lotteria. Utilitàattesa Dunque, lutilità che Verdi può aspettarsi di ottenere dalla lotteria è OM ·1/2 + ON ·1/2 = OP.

30 A C R S Q Utilità Par B Utilitàattesa 0 Somma Attitudine al rischio Supponiamo inoltre che Bianchi debba decidere se partecipare alla stessa lotteria alla quale Rossi non ha voluto partecipare e alla quale Verdi ha scelto di partecipare. Supponiamo infine che la funzione di utilità di un individuo che si chiama Bianchi sia lineare, cioè supponiamo che lutilità marginale del denaro per Bianchi sia costante. Anche Bianchi, se non partecipa alla lotteria, può aspettarsi di ottenere la somma OB, dalla quale ottiene lutilità OQ. Se partecipa alla lotteria, però, anche Bianchi ha una probabilità pari a 1/2 di vincere la somma OA, dalla quale otterrebbe lutilità OR... … e una probabilità pari a 1/2 di vincere la somma OC, dalla quale otterrebbe lutilità OS. Per Bianchi, dunque, lutilità attesa della lotteria, è OR ·1/2 + OS ·1/2 = OQ. Allora, poiché lutilità che Bianchi può aspettarsi dalla partecipazione alla lotteria, OQ, è uguale allutilità che egli ottiene se non partecipa alla lotteria, per Bianchi è indifferente partecipare oppure non partecipare alla lotteria. Quindi, se la funzione di utilità del denaro è lineare, cioè se lutilità marginale del denaro è costante, un individuo è propenso al rischio, perché per costui due lotterie con lo stesso valore atteso sono ugualmente interessanti, indipendentemente dal rischio che comportano.

31 Par Avversione Propensione Neutralità Concava Convessa Lineare Funzione di utilitàAttitudine al rischioEsempio x x x2x2x2x2 2x Se ogni euro addizionale è sempre più apprezzato da un individuo, cioè se la funzione di utilità del denaro è convessa, lindividuo è propenso al rischio. Se ogni euro addizionale è apprezzato da un individuo nella stessa misura, cioè se la funzione di utilità del denaro è lineare, lindividuo è neutrale rispetto al rischio. In conclusione la propensione, lavversione e la neutralità rispetto al rischio dipendono dalla forma della funzione di utilità di chi deve scegliere. Se ogni euro addizionale è sempre meno apprezzato da un individuo, cioè se la funzione di utilità del denaro è concava, lindividuo è avverso al rischio.

32 Utilitàattesa P Utilità Par A B C L M N 0 Ricchezza Come si diventa criminali Quindi, se Verdi commette il crimine e non è punito, ottiene unutilità pari a ON. Supponiamo che un individuo propenso al rischio, che si chiama Verdi, consideri la possibilità di commettere un crimine. La ricchezza posseduta da Verdi è OA. Quindi, se Verdi non commette il crimine, la sua ricchezza rimane uguale a OA ed egli può avere unutilità pari a OL. Se Verdi commette il crimine e non è punito, la sua ricchezza diventa OC, perché egli ottiene la somma AC. Poiché lutilità che Verdi si aspetta di ottenere se commette il crimine, OP, è superiore allutilità che ottiene se non commette il crimine, OL, Verdi deciderà di commettere il crimine. Se la probabilità che il crimine rimanga impunito è 1/2, cosicché la probabilità che sia punito è 1/2, lutilità attesa del crimine è OP = ON ·1/2 + OM ·1/2. Quindi, se Verdi commette il crimine ed è punito, ottiene unutilità pari a OM. Se Verdi però commette il crimine ed è punito, la sua ricchezza diventa OB, perché egli deve restituire il guadagno ottenuto illegalmente, AC, e deve inoltre pagare la multa AB.

33 G Utilità Par A B C D E F 0 Ricchezza Come si diventa criminali Se anche Rossi ha una ricchezza iniziale pari a OA, se non commette il crimine ottiene unutilità pari a OD. Se Rossi commette il crimine e non è punito, la sua utilità è OF... … ma se commette il crimine ed è punito, la sua utilità è OE. Possiamo pensare, dunque, che un individuo avverso al rischio sia meno propenso a delinquere di un individuo propenso al rischio. Allora, poiché Rossi si aspetta di ottenere dal crimine unutilità inferiore a quella che ottiene se non commette il crimine, Rossi non commetterà questo crimine. Naturalmente ciò non significa che un individuo avverso al rischio sceglierà sempre di comportarsi onestamente. Utilitàattesa Supponiamo che Rossi, che è avverso al rischio, consideri la possibilità di commettere lo stesso crimine che ha deciso di commettere Verdi. Quindi, poiché la probabilità che il crimine rimanga impunito è 1/2 e la probabilità che sia punito è 1/2, lutilità attesa del crimine è OG = OE ·1/2 + OF ·1/2.

34 G Utilitàattesa G Utilitàattesa UtilitàattesaHUtilità Par A B C D E F 0 Ricchezza Come si diventa criminali Supponiamo, per esempio, che la probabilità che il crimine sia punito diventi 1/5 e la probabilità che non sia punito diventi 4/5. Infatti, se diminuisce la probabilità che il crimine sia punito, lutilità attesa del crimine aumenta. Quindi, se la probabilità di essere punito è abbastanza bassa, anche un individuo avverso al rischio deciderà di commettere il crimine. Allora lutilità attesa non è più OG = OE ·1/2 + OF ·1/2. Ora lutilità attesa è OH = OE ·1/5 + OF ·4/5.

35 B E H Utilità Par AC F 0 Ricchezza Come si diventa criminali K LUtilitàattesa Un individuo avverso al rischio, inoltre, potrà decidere di commettere il crimine se il crimine è punito poco severamente. Supponiamo, infatti, che la punizione del crimine diventi meno severa. D Supponiamo, per esempio, che la ricchezza di Rossi, se egli commette il crimine ed è punito, diventi OK... … cosicché lutilità che Rossi ottiene se il crimine è scoperto è OL. Ora, anche se la probabilità che il crimine sia punito è 1/2, lutilità che Rossi si aspetta dal crimine è OH = OL ·1/2 + OF·1/2 In queste circostanze Rossi, anche se è avverso al rischio, sceglierà di commettere il crimine.

36 Cap. 2.8 Lutilità attesa del crimine, però, dipende dalla probabilità che il crimine sia punito e dalla severità con la quale è punito. Quanto più bassa è lutilità attesa di un crimine, tanto meno un potenziale criminale sarà interessato a commettere il crimine. Per prevenire il crimine, dunque, le autorità possono modificare sia la probabilità che il crimine sia punito, sia la severità con la quale è punito. Come possono essere usate questi strumenti di prevenzione del crimine in relazione allattitudine verso il rischio del potenziale criminale?

37 (OF - OG) x Utilità Par GH L L L L M 0 Ricchezza Come si previene il crimine? B F Poiché OF è inferiore a OG, la variazione dellutilità attesa, cioè (OF - OG) x, è negativa: quando aumenta la probabilità che il crimine sia punito, lutilità attesa del crimine diminuisce. Se Verdi commette il crimine ed è punito, la sua ricchezza è OB e la sua utilità è OF, ma se commette il crimine e non è punito la sua ricchezza è OC e la sua utilità è OG. Lutilità attesa del crimine, quindi, aumenta di OF ·x e diminuisce di OG · x, cioè cambia di un ammontare pari a OF · x - OG · x = (OF - OG) x. Come cambia lutilità attesa se aumenta la probabilità che il crimine sia punito? Lutilità attesa del crimine diminuisce ancora di OG ·x e cresce di OF ·x, cioè diminuisce ancora di OF ·x - OG ·x = (OF - OG) x. Supponiamo che lutilità attesa del crimine sia OH. Se la probabilità che il crimine sia punito aumenta di x, la probabilità che il crimine non sia punito diminuisce di x. In generale, quindi, se aumenta la probabilità che il crimine sia punito lutilità attesa del crimine diminuisce. Inoltre, ad uguali aumenti della probabilità che il crimine sia punito corrispondono uguali riduzioni dellutilità attesa del crimine. C Cosa succede se la probabilità che il crimine sia punito aumenta ancora di x e la probabilità che non sia punito diminuisce di x? Riconsideriamo anzitutto il caso di Verdi, che è propenso al rischio.

38 B FUtilità Par C G KHL E D 0 Ricchezza Come si previene il crimine? Consideriamo ora cosa succede se aumenta la severità della pena. Dunque, lutilità che Verdi ottiene se commette il crimine ed è punito non è più OF, ma è solamente OE. Lutilità attesa del crimine, invece, è diminuita in misura minore rispetto a quanto era diminuita in precedenza, perché è diminuita solamente di KL che è inferiore a HK. Quindi, se aumenta la severità della pena lutilità attesa del crimine diminuisce. Inoltre, ad uguali aumenti della severità della pena corrispondono diminuzioni sempre più piccole dellutilità attesa del crimine. Perché? La ricchezza che Verdi ottiene se è punito, però, è diminuita nella stessa misura nella quale era diminuita in precedenza, cioè è diminuita di OD = DB. Supponiamo, per esempio, che la ricchezza di Verdi, se egli commette il crimine ed è punito, non sia più OB ma sia solamente OD, cioè diminuisca di un ammontare pari a DB. Se aumenta la severità della pena, diminuisce la ricchezza che si ottiene se si commette il crimine ed il crimine è punito. Cosa succede se la severità della pena aumenta ancora, nella stessa misura nella quale era aumentata precedentemente? La ricchezza che Verdi può avere se commette il crimine ed è punito diminuisce ancora di OD = DB. Poiché è diminuita lutilità che si ottiene se il crimine è punito, diminuisce lutilità attesa del crimine, che diventa uguale a OK, cioè a metà fra OE e OG. Quindi se Verdi è punito ora non avrà più alcuna ricchezza. Allora, poiché lutilità che Verdi ottiene se è punito è diminuita, anche lutilità attesa del crimine diminuisce ancora e diventa OL, cioè a metà fra O e OG.

39 Utilità Par Ricchezza Come si previene il crimine? Quindi successivi aumenti della severità della pena, che comportano uguali diminuzioni della ricchezza ottenuta da Verdi se commette il crimine ed è punito, comportano diminuzioni sempre più piccole dellutilità che egli ottiene se commette il crimine ed è punito. Se Verdi è propenso al rischio, uguali riduzioni della sua ricchezza … … comportano diminuzioni sempre più piccole della sua utilità. Uguali aumenti della severità della pena, dunque, comportano diminuzioni sempre più piccole dellutilità attesa del crimine.

40 A Probabilità della pena Par Severità della pena della pena BC Come si previene il crimine? Consideriamo ora tutte le combinazioni di probabilità e severità della pena che garantiscono a Verdi la stessa utilità attesa dal crimine. Queste combinazioni di probabilità e severità della pena sono rappresentate da una curva come questa... Questa curva è decrescente perché quando diminuisce la probabilità della pena lutilità attesa del crimine non cambia solo se aumenta la severità della pena. Inoltre, questa curva è convessa perché uguali diminuzioni della probabilità della pena comportano aumenti sempre uguali dellutilità attesa del crimine, mentre successivi aumenti della severità della pena determinano diminuzioni sempre più piccole dellutilità attesa del crimine. Successive riduzioni della probabilità della pena, quindi, devono essere compensate da aumenti sempre più grandi della severità della pena. Infatti, le combinazioni A e B prevedono una pena ugualmente severa, ma la combinazione A comporta una probabilità più alta che il crimine sia punito... … e le combinazioni C e B prevedono una pena ugualmente probabile, ma la combinazione C comporta una pena più severa. Infine, curve poste più in alto rappresentano combinazioni di probabilità e severità della pena che garantiscono unutilità attesa del crimine inferiore rispetto a quelle che stanno su una curva posta più in basso.

41 Utilità Par C G H L L L L M 0 Ricchezza Come si previene il crimine? B F Poiché OF è inferiore a OG, la variazione dellutilità attesa, cioè (OF - OG) x, è negativa: quando aumenta la probabilità che il crimine sia punito, lutilità attesa del crimine diminuisce. Lutilità attesa del crimine, quindi, aumenta di OF ·x e diminuisce di OG · x, cioè cambia di un ammontare pari a OF · x - OG · x = (OF - OG) x. Supponiamo che lutilità attesa del crimine sia OH. Se la probabilità che il crimine sia punito aumenta di x, la probabilità che il crimine non sia punito diminuisce di x. Se Rossi commette il crimine ed è punito la sua ricchezza è OB e la sua utilità è OF, ma se commette il crimine e non è punito la sua ricchezza è OC e la sua utilità è OG. Se la probabilità che il crimine sia punito aumenta ancora di x, lutilità attesa del crimine diminuisce ancora di OG ·x e cresce di OF ·x, cioè diminuisce ancora di OF ·x - OG ·x = (OF - OG) x. Anche in questo caso, quindi, se aumenta la probabilità che il crimine sia punito lutilità attesa del crimine diminuisce. Inoltre, ad uguali aumenti della probabilità che il crimine sia punito corrispondono uguali riduzioni dellutilità attesa del crimine. Riconsideriamo ora cosa succede se aumenta la probabilità che il crimine sia punito oppure se aumenta la severità della pena nel caso di Rossi, che è avverso al rischio.

42 B H FF K LUtilità Par C G D E 0 Ricchezza Come si previene il crimine? Consideriamo ora cosa succede se aumenta la severità della pena. Se aumenta la severità della pena, diminuisce la ricchezza che si ottiene se si commette il crimine e il crimine è punito. Perché? Supponiamo, per esempio, che la ricchezza di Rossi, se egli commette il crimine ed è punito, ora diventi OD. Allora, poiché lutilità che Rossi ottiene se è punito è diminuita, anche lutilità attesa del crimine diminuisce ancora e diventa OL. Lutilità attesa del crimine, invece, è diminuita in misura maggiore rispetto a quanto era diminuita in precedenza, perché è diminuita di KL che è superiore a HK. Quindi, se aumenta la severità della pena lutilità attesa del crimine diminuisce. Inoltre, ad uguali aumenti della severità della pena corrispondono diminuzioni sempre più grandi dellutilità attesa del crimine. Poiché è diminuita lutilità che si ottiene se il crimine è punito, diminuisce lutilità attesa del crimine, che diventa uguale a OK. La ricchezza che Rossi ottiene se è punito, quindi, è diminuita nella stessa misura nella quale era diminuita in precedenza, cioè è diminuita di OD = DB. Dunque, lutilità che Rossi ottiene se commette il crimine ed è punito non è più OF, ma è solamente OE. Cosa succede se la severità della pena aumenta ancora nella stessa misura nella quale era aumentata precedentemente? La ricchezza che Rossi può avere se commette il crimine ed è punito diminuisce ancora di OD = DB. Quindi, se commette il crimine ed è punito, Rossi non ha più alcuna ricchezza e non ottiene alcuna utilità.

43 Utilità Par Ricchezza Come si previene il crimine? … comportano diminuzioni sempre più grandi della sua utilità. Quindi successivi aumenti della severità della pena, che comportano uguali diminuzioni della ricchezza ottenuta da Rossi se commette il crimine ed è punito, comportano diminuzioni sempre più grandi dellutilità che egli ottiene se commette il crimine ed è punito. Se Rossi è avverso al rischio, uguali riduzioni della sua ricchezza … Per questa ragione uguali aumenti della severità della pena comportano diminuzioni sempre più grandi dellutilità attesa del crimine.

44 Probabilità della pena Par Severità della pena della pena Come si previene il crimine? Per Rossi, però, questa curva è concava, perché uguali diminuzioni della probabilità della pena comportano aumenti sempre uguali dellutilità attesa del crimine, mentre successivi aumenti della severità della pena determinano diminuzioni sempre più grandi dellutilità attesa del crimine. Consideriamo ora tutte le combinazioni di probabilità e severità della pena che garantiscono a Rossi, che è propenso al rischio, la stessa utilità attesa dal crimine. Queste combinazioni di probabilità e severità della pena sono rappresentate da una curva come questa... Anche per Rossi questa curva è decrescente, perché quando diminuisce la probabilità della pena lutilità attesa del crimine non cambia solo se aumenta la severità della pena. Infine, anche per Rossi curve poste più in alto rappresentano combinazioni di probabilità e severità della pena che assicurano unutilità attesa del crimine inferiore rispetto a quelle che stanno su una curva posta più in basso. Successive riduzioni della probabilità della pena, quindi, devono essere compensate da aumenti sempre più piccoli della severità della pena.

45 Probabilità della pena Par Severità della pena della pena Come si previene il crimine? Linteresse del potenziale criminale per un crimine dipende dallutilità attesa del crimine. Lutilità attesa del crimine, però, dipende dalla probabilità che il crimine sia punito e dalla severità con la quale è punito. Per rendere probabile la punizione del crimine e punire il crimine, però, le autorità devono sostenere un costo. Quindi, per prevenire il crimine, le autorità devono scegliere opportunamente sia la probabilità che il crimine sia punito, sia la severità con la quale è punito. Allora, data la somma della quale le autorità dispongono per prevenire il crimine, quale probabilità e severità della pena possono scegliere? Le combinazione di probabilità e severità della pena che le autorità possono scegliere, perché sono quelle compatibili con la somma che può essere spesa per prevenire il crimine, sono rappresentate da una curva come questa... Si tratta di una curva decrescente perché per aumentare la spesa necessaria per rendere più probabile la punizione si deve ridurre la spesa che si deve sostenere per punire il crimine. Linclinazione di questa curva, inoltre, misura di quanto deve diminuire la probabilità della pena quando aumenta la severità della pena se si deve rispettare il vincolo di bilancio. Quando aumenta la severità della pena, la spesa aumenta del costo, P S, che si deve sostenere per aumentare la severità della pena. Allora, se la spesa complessiva deve rimanere invariata, la spesa per rendere probabile la pena deve diminuire di P S. Quindi, se il costo che si deve sostenere per rendere probabile la pena è P P, la probabilità della punizione deve diminuire di P S / P P. Dunque, se supponiamo che i costi P S e P P siano costanti, linclinazione della curva è costante e la curva è una retta.

46 Probabilità della pena Par Severità della pena della pena Come si previene il crimine? A D C B Se la combinazione di probabilità e severità della punizione inizialmente è A, a parità di spesa le autorità possono rendere meno interessante il crimine riducendo la probabilità della pena e aumentandone la severità. Infatti, se le autorità scelgono la combinazione C, lutilità attesa del crimine diminuisce. Se la combinazione di probabilità e severità della punizione, invece, inizialmente è B, a parità di spesa le autorità possono rendere meno interessante il crimine riducendo la severità della pena e aumentandone la probabilità. Infatti, se le autorità scelgono la combinazione D, lutilità attesa del crimine diminuisce. Quindi, se il potenziale criminale è propenso al rischio, le autorità possono prevenire più efficacemente il crimine aumentando, secondo i casi, la severità della pena oppure la probabilità della pena. Vediamo ora in quale posizione si trovano le autorità se il potenziale criminale è propenso al rischio. Consideriamo le curve che rappresentano le combinazioni di probabilità e severità della pena che garantiscono la stessa utilità attesa del crimine, ricordando che alle combinazioni rappresentate da curve poste più in alto corrisponde unutilità attesa del crimine più bassa.

47 Probabilità della pena Par Severità della pena della pena Come si previene il crimine? D B Infatti, se le autorità scelgono la combinazione B, lutilità attesa del crimine diminuisce. Se la combinazione di probabilità e severità della punizione inizialmente è D, a parità di spesa le autorità possono rendere meno interessante il crimine riducendo la probabilità della pena e aumentandone la severità. Quando la combinazione di probabilità e severità della punizione, invece, inizialmente è B, se le autorità a parità di spesa rendono meno severa la punizione e ne aumentano la probabilità il crimine diventa più interessante. Se il potenziale criminale, invece, è avverso al rischio, lefficacia deterrente della probabilità e della severità della pena cambiano. Quindi, se il potenziale criminale è propenso al rischio, si può ridurre lincentivo a delinquere solamente aumentando la severità della pena. Infatti, se le autorità scelgono la combinazione D, lutilità attesa del crimine aumenta.

48 Fine del capitolo Esci


Scaricare ppt "3.1 Introduzione 3.2.1 Conseguenze di una lotteria 3.2.1 Conseguenze di una lotteria 3.2.2 Utilità, e utilità attesa 3.2.2 Utilità, e utilità attesa 3.3.1."

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