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Io e i Numeri Galimberti Alessandra II anno Scienze della Formazione Università Cattolica del Sacro Cuore, Milano Sintesi dei lavori Matematiche elementari.

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1 Io e i Numeri Galimberti Alessandra II anno Scienze della Formazione Università Cattolica del Sacro Cuore, Milano Sintesi dei lavori Matematiche elementari da un punto di vista superiore

2 I numeri oggi (spunto didattico) Richiami e approfondimenti sullevoluzione dei numeri I numeri cinesi La scuola finlandese vincitrice secondo il rapporto OCSE Contenuti Modalità Lettura del libro Luisa Girelli Noi e i numeri Lettura dei rapporti OCSE di PISA e dei relativi articoli Condivisione delle impressioni personali Ricerche di approfondimento su WEB Modalità Lettura del libro Luisa Girelli Noi e i numeri Lettura dei rapporti OCSE di PISA e dei relativi articoli Condivisione delle impressioni personali Ricerche di approfondimento su WEB I numeri….. un percorso affascinante verso un mondo forse ancora poco conosciuto………

3 Codificare Ordinare Numeri civici Calendario Pagine di un libro … Numeri civici Calendario Pagine di un libro … Contare Soldi Tempo … Soldi Tempo … Classificare Azioni/effetti Classificare Azioni/effetti Che percorso ha permesso tutto questo? E una lunga storia a partire dalla nostra innata capacità di contare... I numeri nella nostra vita Dove sono i numeri oggi?...un semplice esercizio da fare ai bambini per stimolare la loro Osservazione e capacità di classificazione su categorie concettuali. Per poi suscitare curiosità Verso la storia e fare lezioni sulla loro storia storia…. (Spunto didattico) …. Cellulare Telecomando Telefono … Cellulare Telecomando Telefono … Matricola Conto corrente Targa automobile … Matricola Conto corrente Targa automobile …

4 LA NASCITA DEL CONTARE…INNATA Osso di Ishango Scoperto nel 1960 dal belga Jean de Heinzelin de Braucourt durante una campagna esplorazione vicino Ishango vicino al confine tra l'Uganda e il Congo. La popolazione che nel a.C. abitava le rive del lago potrebbe essere stata tra le prime a utilizzare i numeri per contare; purtroppo questa società durò poche centinaia di anni perché fu distrutta da un'eruzione vulcanica1960IshangoUgandaCongoeruzione vulcanica Colonna centrale inizia con tre tacche (leggendo da destra verso sinistra) e subito 6 tacche (il doppio). Lo stesso per il 4, seguito da 8. Poi inverte il sistema 10 seguito dal 5. Questi numeri, quindi, non sonocasuali, ma suggeriscono una qualche comprensione della moltiplicazione e divisione per 2. L'osso può essere stato utilizzato come uno strumento di "calcolo" per semplici procedure matematichemoltiplicazionedivisioneosso Colonna centrale inizia con tre tacche (leggendo da destra verso sinistra) e subito 6 tacche (il doppio). Lo stesso per il 4, seguito da 8. Poi inverte il sistema 10 seguito dal 5. Questi numeri, quindi, non sonocasuali, ma suggeriscono una qualche comprensione della moltiplicazione e divisione per 2. L'osso può essere stato utilizzato come uno strumento di "calcolo" per semplici procedure matematichemoltiplicazionedivisioneosso Le tacche su entrambi i lati della colonna centrale parrebbero indicare una maggiore capacita di "calcolo". Su entrambe le colonne di destra e sinistra sono tutti dispari (9, 11, 13, 17, 19 e 21).dispari nella colonna sinistra sono tutti numeri primi compresi tra 10 e 20numeri primi sulla colonna destra sono composti nella maniera , , e Se si sommano i numeri presenti sulle colonne esterne possiamo ottenere i totali 60 e 48 nella colonna centrale, entrambi divisibili per 12; si ritrovano ancora i concetti di moltiplicazione e divisione Le tacche su entrambi i lati della colonna centrale parrebbero indicare una maggiore capacita di "calcolo". Su entrambe le colonne di destra e sinistra sono tutti dispari (9, 11, 13, 17, 19 e 21).dispari nella colonna sinistra sono tutti numeri primi compresi tra 10 e 20numeri primi sulla colonna destra sono composti nella maniera , , e Se si sommano i numeri presenti sulle colonne esterne possiamo ottenere i totali 60 e 48 nella colonna centrale, entrambi divisibili per 12; si ritrovano ancora i concetti di moltiplicazione e divisione

5 LA NASCITA DEL CONTARE….INNATA Osso di Lartet Un osso istoriato di tacche trasversali e da incisioni di forma circolare proviene da Abri Lartet, regione di Les Eyzies de Tayac sita nel Perigord francese. Questo oggetto, appartenente al Periodo Aurignaziano ( a.C.), presenta serie di incisioni di 29 e 30 segni abbinate a cinque gruppi di tacche. I segni circolari sembrerebbero, anche in questo caso, avere la forma delle varie fasi lunari, riprodotte con la medesima sequenza che appaiono nella realtà. Secondo gli studiosi il conteggio delle lunazioni su questo oggetto venne fatto più volte e rappresenterebbe i giorni contenuti in un mese sinodico.

6 I GETTONI DEI SUMERI Le somme e sottrazioni venivano eseguite aggiungendo o togliendo gettoni, la moltiplicazione veniva eseguita come somma ripetuta (per esempio per moltiplicare 27 per 5 si sommava 27 cinque volte) e la divisione si effettuava tramite "spicciolature" successive e suddivisione in mucchietti La numerazione è additiva, cioè i numeri venivano scritti disponendo uno accanto all'altro i simboli fondamentali occorrenti. Come si vede un ruolo speciale spetta, accanto al 10, al numero 60. le somme e sottrazioni venivano eseguite in modo ovvio e cioè aggiungendo o togliendo gettoni (ne l caso della sottrazione poteva essere necessario prima spicciolare un gettone di valore maggiore in gettoni di valore minore, come facciamo con le monete); la moltiplicazione veniva eseguita tramite somme ripetute (ad esempio per moltiplicare 123 per 32, si sommava il 123 per 32 volte); ed infine anche la divisione si poteva effettuare, tramite "spicciolature" successive e divisione in mucchietti. Per esempio per fare 60: 3 bisognava spicciolare un grosso cono da 60 in 6 bilie da dieci che si potevano dividere in 3 mucchietti uguali, ognuno contenente 2 bilie, da cui si ricavava che 60:3 = 20.

7 I GETTONI DEI SUMERI Esempio di divisione

8 LA NUMERAZIONE BABILONESE il passaggio successivo fu quello di utilizzare, invece dei gettoni, delle tavolette di argilla su cui venivano disegnate le forme dei gettoni stessi, ottenendo così una delle più antiche forme di "scrittura dei numeri", con la nascita di vere e proprie "cifre" scritte, come simboli numerici. Questo metodo di scrittura cambiò successivamente sotto i Babilonesi, che adottarono invece una più evoluta scrittura cuneiforme, sempre su tavolette d'argilla, nella quale il valore dei simboli è posizionale, come nella nostra scrittura, ma in base 60 (con base ausiliaria 10). La mancanza dello zero portava a rischi di ambiguità. il passaggio successivo fu quello di utilizzare, invece dei gettoni, delle tavolette di argilla su cui venivano disegnate le forme dei gettoni stessi, ottenendo così una delle più antiche forme di "scrittura dei numeri", con la nascita di vere e proprie "cifre" scritte, come simboli numerici. Questo metodo di scrittura cambiò successivamente sotto i Babilonesi, che adottarono invece una più evoluta scrittura cuneiforme, sempre su tavolette d'argilla, nella quale il valore dei simboli è posizionale, come nella nostra scrittura, ma in base 60 (con base ausiliaria 10). La mancanza dello zero portava a rischi di ambiguità.

9 LA NUMERAZIONE GRECA i numeri da uno a quattro erano rappresentati da trattini verticali ripetuti. Per il numero cinque si adottava un nuovo simbolo: la prima lettera (o ) della parola cinque, pente. Vi erano poi altri simboli per il dieci e le sue potenze come si vede nel seguente semplice schema riassuntivo Questo sistema di scritture è additivo, in quanto più simboli l'uno accanto all'altro significano la somma dei loro singoli valori, ma anche moltiplicativo, in quanto un simbolo sotto un altro indica il prodotto dei due sistema ionico sistema erodianico V secolo a.C. (anche se c'è chi ipotizza risalga all'VIII secolo a.C.). Il più antico Maiuscole Minuscole

10 LA NUMERAZIONE GRECA sistema ionico utilizza sempre le lettere dell'alfabeto: nove per i numeri interi inferiori a 10, nove per i multipli di 10 inferiori a 100, e nove per i multipli di 100 inferiori a L'alfabeto greco dell'Età classica contiene soltanto ventiquattro lettere; pertanto si dovette far uso di un alfabeto più antico che comprendeva tre lettere arcaiche addizionali, (vau o digamma o stigma), (coppa) e (sampi), in modo da stabilire la seguente associazione di lettere e numeri: Per i primi nove multipli di mille, ricorreva alle prime nove lettere dell'alfabeto; ciò rappresentava un uso parziale del principio di posizione. Ma per maggiore chiarezza queste lettere erano fatte precedere da un trattino o apice in basso (o iota): I caratteri speciali L'uso delle stesse lettere per indicare le migliaia e le unità avrebbe dovuto indurre i greci a fare il passo definitivo verso il principio di posizione dell'aritmetica decimale; non sembra, però, che essi si rendessero conto dei vantaggi offerti da tale innovazione. Questo sistema, rimane a tutti gli effetti un sistema non posizionale

11 I primi esempi noti di una scrittura numerica basata sui seguenti elementi: notazione posizionale, base dieci, presenza dello zero, nove simboli (cifre) oltre lo zero risalgono al V secolo d.C. (nel trattato indiano di cosmologia Lokavibhaga, 485 d.C.); questo metodo si diffuse piuttosto rapidamente in India e in Indocina, come è confermato dai documenti che testimoniano l'uso di tale cifre per eseguire i conti, già nel secolo successivo. Nel 773, arrivò a Bagdad un'ambasciata indiana con un omaggio per il califfo Mansour ed ai suoi saggi: il calcolo e le cifre. Muhammad ibn Musa al-Khuwârizmi scrisse il primo testo in lingua araba presentando la numerazione indiana posizionale nel IX secolo (dal suo nome deriva la parola "algoritmo"). Nel X secolo, il monaco francese Gerbert d'Aurillac apprese il nuovo metodo dai Mori di Spagna e iniziò a introdurlo in occidente, specialmente dopo esser divenuto Papa nel 999, col nome di Silvestro II. Le tracce di uso della numerazione indo-araba in Europa sono comunque scarse fino al XIII secolo, quando il matematico pisano Leonardo Fibonacci (che aveva viaggiato molto fra gli arabi) scrisse il Liber Abaci, che illustra il sistema posizionale ed il suo uso, e che fu il testo che più contribuì alla sua introduzione sistematica in EuropaMuhammad ibn Musa al-KhuwârizmiGerbert d'AurillacLeonardo Fibonacci I primi esempi noti di una scrittura numerica basata sui seguenti elementi: notazione posizionale, base dieci, presenza dello zero, nove simboli (cifre) oltre lo zero risalgono al V secolo d.C. (nel trattato indiano di cosmologia Lokavibhaga, 485 d.C.); questo metodo si diffuse piuttosto rapidamente in India e in Indocina, come è confermato dai documenti che testimoniano l'uso di tale cifre per eseguire i conti, già nel secolo successivo. Nel 773, arrivò a Bagdad un'ambasciata indiana con un omaggio per il califfo Mansour ed ai suoi saggi: il calcolo e le cifre. Muhammad ibn Musa al-Khuwârizmi scrisse il primo testo in lingua araba presentando la numerazione indiana posizionale nel IX secolo (dal suo nome deriva la parola "algoritmo"). Nel X secolo, il monaco francese Gerbert d'Aurillac apprese il nuovo metodo dai Mori di Spagna e iniziò a introdurlo in occidente, specialmente dopo esser divenuto Papa nel 999, col nome di Silvestro II. Le tracce di uso della numerazione indo-araba in Europa sono comunque scarse fino al XIII secolo, quando il matematico pisano Leonardo Fibonacci (che aveva viaggiato molto fra gli arabi) scrisse il Liber Abaci, che illustra il sistema posizionale ed il suo uso, e che fu il testo che più contribuì alla sua introduzione sistematica in EuropaMuhammad ibn Musa al-KhuwârizmiGerbert d'AurillacLeonardo Fibonacci LA NOTAZIONE POSIZIONALE IN BASE 10 Manoscritto indiano del Vi secolo

12 LABACO Esemplare di antico Abaco romano, in metallo con palline scorrevoli in scanalature Strumento per "far di conto" che ebbe la vita più lunga nel continente europeo (e anche altrove, con forme diverse) fu l'Abaco. usato prima dai Greci poi dai Romani rimase in uso in Europa fino quasi al 1700 e oltre. una tavola divisa in sezioni che rappresentano unità, decine, centinaia, ecc. (come le cifre nel nostro sistema posizionale). In tali sezioni si posano dei gettoni con cui eseguire i conteggi; in questo caso i gettoni non hanno un valore assegnato, essi indicano sempre una unità del tipo indicato dalla colonna in cui si trovano. La parola stessa "calcolo" viene dal latino "calculus" = sassolino, nome usato per i gettoni dell'abaco. Versione semplice e Versione modificata

13 LA NUMERAZIONE CINESE Numeri Carattere PronunciaYīèrSānsìwǔliùqībājiǔshíèrshíbaiqianWàn A partire dal III secolo a.C. circa, i Cinesi cominciano a usare 13 segni Gli antichi cinesi avevano sviluppate notazioni basate su corde e nodi, nodi bianchi per i numeri dispari, richiamanti le giornate, nodi neri per i pari, assegnati alle notti. Antichità Verso il moderno Ci sono poi i cosiddetti "numeri-bacchetta" o "numeri-asta" per il lavoro matematico-scientifico, usati dal II secolo a.C. Venivano usate bacchette rosse e nere che rappresentavano numeri positivi e negativi (e per questo motivo la matematica cinese è stata una delle prime ad elaborare motivi algebrici e forse ad influenzare in questo l'India).

14 LA NUMERAZIONE CINESE qi wan jiu qian wu bai liù shi sì = (7x10.000)+(9x1000)+(5x100)+(6x10) sì wan wan ba qian wan qi bai wan san shì wan jiu wan liù bai er shì jiu (4x10.000x10.000)+(8x1000x10.000)+ (7x100x10.000)+(3x10x10.000)+(9x10.000)+(6x100)+(2x10)+9 Ho letto dellesistenza di modi più economici ma anche più ambigui di rappresentazione che non approfondisco

15 LA NOTAZIONE ATTUALE I caratteri normali compaiono nella vita di tutti i giorni, sono quelli insegnati alla scuola elementare. Sono più elaborate, e sono usate allo scopo di evitare frodi (da questo la descrizione cifre finanziarie). In alcune cifre finanziarie vengono riportate 2 versioni: tradizionale (T) e semplificata (S) tale differenza nasce durante la rivoluzione maoista, in cui è stata creata una commissione che semplificasse per quanto possibile i caratteri cinesi Attualmente la versione semplificata è quella usata in Cina, mentre a Taiwan si usa la versione tradizionale Sono più elaborate, e sono usate allo scopo di evitare frodi (da questo la descrizione cifre finanziarie). In alcune cifre finanziarie vengono riportate 2 versioni: tradizionale (T) e semplificata (S) tale differenza nasce durante la rivoluzione maoista, in cui è stata creata una commissione che semplificasse per quanto possibile i caratteri cinesi Attualmente la versione semplificata è quella usata in Cina, mentre a Taiwan si usa la versione tradizionale Esistono anche delle versioni dette guanzi (cifre ufficiali) usate per atti pubblici di acquisto e vendita, o per scrivere gli importi degli assegni. Figura 6: Cifre cinesi usate normalmente e in ambito finanziario (T=versione tradizionale, S=versione semplificata)

16 LO ZERO CINESE Sun Tzu Suan Ching (Sun Tzus ClassicCalculation) scritto da Sun Tzu e datato dal V al III secolo a.C. si parla dellimportanza di conoscere le posizioni e la struttura dei numeri. Fino allVIII secolo d.C., lo zero non era indicato da un simbolo, ma la sua posizione veniva lasciata vuota. Manoscritti Thang delle grotte-tempio di Tunhuang nel rotolo intitolato Li-Cheng Suan Ching vi sono tabelle moltiplicative dove ad esempio il 405 è rappresentato con un 4 e un 5 separati da uno spazio. Il simbolo dello zero appare per la prima volta stampato nel Su Chiu Chang di Chin Chiu-Shao (1247) si ritiene che possa essere stato usato da un secolo almeno, e luso potrebbe essere stato importato dallIndia, ma non vi sono prove. Attualmente lo zero viene indicato come (ling) Originariamente indicava le goccioline di pioggia allesaurirsi della tempesta, o le goccioline che rimangono sugli oggetti in seguito indicò quello che resta Nel rappresentare numeri come 105, lidea era di avere 100, più quello che resta, ovvero altri 5 Lo zero, come cerchio vuoto, somiglia a una gocciolina dacqua, per cui veniva chiamato ling. Sun Tzu Suan Ching (Sun Tzus ClassicCalculation) scritto da Sun Tzu e datato dal V al III secolo a.C. si parla dellimportanza di conoscere le posizioni e la struttura dei numeri. Fino allVIII secolo d.C., lo zero non era indicato da un simbolo, ma la sua posizione veniva lasciata vuota. Manoscritti Thang delle grotte-tempio di Tunhuang nel rotolo intitolato Li-Cheng Suan Ching vi sono tabelle moltiplicative dove ad esempio il 405 è rappresentato con un 4 e un 5 separati da uno spazio. Il simbolo dello zero appare per la prima volta stampato nel Su Chiu Chang di Chin Chiu-Shao (1247) si ritiene che possa essere stato usato da un secolo almeno, e luso potrebbe essere stato importato dallIndia, ma non vi sono prove. Attualmente lo zero viene indicato come (ling) Originariamente indicava le goccioline di pioggia allesaurirsi della tempesta, o le goccioline che rimangono sugli oggetti in seguito indicò quello che resta Nel rappresentare numeri come 105, lidea era di avere 100, più quello che resta, ovvero altri 5 Lo zero, come cerchio vuoto, somiglia a una gocciolina dacqua, per cui veniva chiamato ling.

17 CONCLUSIONI La rappresentazione dei numeri cinese ha una storia, plurimillenaria Alcuni elementi caratterizzanti sono rimasti costanti nel tempo, come : - la base decimale - il sistema posizionale. Nella civiltà cinese sono emerse parecchie idee interessanti in maniera in alcuni casi sicuramente indipendente, in altri, come nellintroduzione dello zero, non del tutto indipendente, ma comunque lo spirito matematico di tale civiltà è stato ben presente fin dalle origini.

18 LA SCUOLA IN FINLANDIA. MOTIVI DI SUCCESSO Secondo il rapporto OCSE di Pisa 2006, la Finlandia si pone al primo posto sui test che dovevano riscontrare le conoscenze dei ragazzi e la loro capacità di comprensione La ricerca compiuta ha messo in luce come il successo sia lesito di uno sforzo organizzativo globale che ha saputo portare ottimi benefici sui diversi aspetti (finanziamenti, struttura, formazione docenza, programmi ecc ) del mondo scuola e incentivare linteresse dei ragazzi. Nella pagine seguenti sintetizziamo : i motivi emersi valutando un poco il sistema scolastico finlandese Alcune testimonianze trovate su blog web di docenti e alunni Attenzione… Come sempre le cose da lontano sembrano più belle…. Certo, alcune cose sono da prendere come esempio, ma molte sono già presenti anche da noi. Basta con il vederci sempre in negativo….. Attenzione… Come sempre le cose da lontano sembrano più belle…. Certo, alcune cose sono da prendere come esempio, ma molte sono già presenti anche da noi. Basta con il vederci sempre in negativo…..

19 Oltre l11 % del bilancio alla scuola (3 miliardi 360 milioni di euro). Libri di testo nel ciclo obbligatorio (7-16 anni, 6 anni di elementari e 3 di media inferiore) sono a carico dello stato. Accesso al liceo (16 anni) facoltativo, ma sempre a spese dello stato SOSTEGNO DALLO STATO Insegnanti (43.000) ben pagati (2.500 euro lordi. Stipendio di ingresso, preside). Ogni ora in più passata in classe viene pagata a parte STIPENDI Addestramento in master post-universitari con la missione di mantenere il primato scolastico del paese FORMAZIONE Possibilità di aumentare le proprie entrate scrivendo libri di testo, facendo consulenze CARRIERA computer collegati ad internet, videoproiettori e schermi televisivi in ogni classe, biblioteche ed emeroteche, giochi educativi per imparare la matematica o la geografia, laboratori aule di musica con tanto di sintetizzatore elettronico, basso, batteria, microfoni, palestre attrezzate, piscine, saune. STRUTTURA LA SCUOLA IN FINLANDIA. MOTIVI DI UN SUCCESSO

20 Sforzo costante dei docenti di attualizzare i programmi Forte spirito di iniziativa dei docenti grazie agli incentivi. Volontà di innovare e progettare DIDATTICA Esigenti con i loro studenti, che sanno che per andare avanti hanno bisogno di conseguire ottimi voti I voti sono considerati utili perché spinge i ragazzi a una sana competizione VALUTAZIONE Insegnante di supporto, specialista formato in duri training post- universitari che segue i ragazzi più fragili, svogliati o meno dotati. Ogni scuola è dotata di un Osservatorio per il benessere dei ragazzi, con tutor e psicologo Il tutor coinvolge anche mamma e papà SOTEGNO Applicazione concreta di concetti astratt Coinvolgimento dei ragazzi, volontà che capiscano davvero lutilità quotidiana, reale, del calcolo matematico MATEMATICA

21 LA SCUOLA IN FINLANDIA. Testimonianze dei docenti Imparare è fare e anche per capire lalgebra o la fisica bisogna usare il cervello, gli occhi, le orecchie e le mani. La forza della nostra scuola è che è gratuita, paritaria, flessibile….e inflessibile Sanna Pakkanen, laureata in fisica e insegnante di matematica e scienze Hiekki Lauttasaaren

22 << Non so se i finlandesi sono i migliori del OCSE – Pisa, ma diciamo che non sarebbe una sorpresa… Specialmente dopo il mio anno in Italia, ho iniziato a apprezzare la nostra sistema di scuola molto di più… Io penso che il problema in Italia è che le persone devono studiare a casa e poi vengono a scuola a fare linterrogazione in cui devono proprio ricordare tutto a memoria parola a parola e poi se gli chiedi perché?, non sanno rispondere perché non hanno davvero capito quello che hanno studiato… in Finlandia invece io a volte non studiavo niente a casa e prendevo otto o nove dal compito soltanto perché avevo capito le cose durante le lezioni… e in Finlandia nel liceo i professori non guardano se io ho fatto i compiti a casa, lì loro pensano che siamo assai adulti per decidere le nostre cose e cmnq fa male a noi se non studiamo perché è la nostra vita. E questo fatto ci dava la possibilità di studiare di più quella materia che per noi era difficile e meno quella che era facile. E ci sono anche altre cose che non mi piacevano nella scuola italiana, per esempio lingelse… Io non ho mai nella mia vita studiato per esempio shakespeare qui in Finlandia, qui è importante che io so parlare inglese, invece in Italia voi studiate 2-3 anni la grammatica e poi iniziate a studiare shakespeare il quale scriveva inglese che nemmeno Samantha, che parla ingelse come la lingua materna, capiva totalmente… quindi come le persone possono imparare a parlare inglese, se studiano quel modo della lingua che è morto cento anni fa…questi sono i miei pensieri LA SCUOLA IN FINLANDIA. Testimonianze degli alunni

23 Livelli di competenza OCSE PISA – Matematica Livello 6 Concettualizzazione, generalizzazione e uso di informazioni basate su situazioni e problemi complessi. Collegamento fra diverse fonti di informazioni e forme di rappresentazione differenti, in seguito combinazione di diversi elementi. Sviluppo di nuove soluzioni e strategie di gestione di situazioni non familiari. Livello 5 Sviluppo e utilizzazione di modelli per situazioni complesse. Scelta, confronto e valutazione di strategie opportune per affrontare problemi complessi. Utilizzazione strategica di forme di rappresentazione adatte e applicazione di conoscenze riferite alle situazioni. Livello 4 Utilizzazione corretta di modelli espliciti per situazioni complesse. Scelta e integrazione di varie forme di rappresentazione e loro collegamento con aspetti di situazioni reali, argomentazione flessibile. Livello 3 Svolgimento di procedure descritte chiaramente, comprese quelle che presuppongono decisioni sequenziali. Utilizzazione e interpretazione di rappresentazioni basate su varie fonti di informazioni e capacità di trarne delle conclusioni dirette. Livello 2 Estrazione di informazioni pertinenti da ununica fonte e comprensione di ununica forma di rappresentazione. Applicazione di algoritmi, formule, procedure o convenzioni fondamentali. Livello 1 Risposte a domande formulate in un contesto familiare, contenenti tutte le informazioni pertinenti e definite chiaramente. Svolgimento di procedimenti di routine secondo istruzioni dirette.


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