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Teoremi di Lieb Phys. Rev. Letters 62, 1201 (1989) Teoremi di Lieb Phys. Rev. Letters 62, 1201 (1989) Consideriamo lo stato fondamentale del modello di.

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1 Teoremi di Lieb Phys. Rev. Letters 62, 1201 (1989) Teoremi di Lieb Phys. Rev. Letters 62, 1201 (1989) Consideriamo lo stato fondamentale del modello di Hubbard repulsivo su un reticolo di dimensione qualsiasi bipartito con |A| siti A e |B| siti B per cella, Gli hopping accoppiano solo siti di un sottoreticolo a quelli dell'altro. Per U<0 e un numero pari di particelle lo spin totale e S=0. Per U>0 a mezzo riempimento sia 1 Permette di stabilire lesistenza di Ferrimagnetismo da elettroni itinearanti, e la dimostrazione e bella e formativa. Elliot H. Lieb (Boston 1932) Allora, 2S=|B|-|A |.

2 This model was considered on a bipartite AB lattice in a famous paper by Lieb and Mattis (J. Mathematical Physics 3, 749 (1962)). They were able to show that in the ground state the spin of the elementary cell is 2S=|B|-|A| where |B| and |A| are the numbers of sites in the two lattices. Abbiamo visto che nel caso U>>t il modello di Hubbard si riduce al il modello di Heisenberg La strategia di Lieb e quella di ricondursi a questo caso mostrando che esiste uno stato fondamentale unico con Sz=0 per ogni U>0; limpossibilita di avere incroci comporta che il teorema validi per il caso di Heisenberg su estende a quello di Hubbard. Relazione col modello di Heisenberg

3 3 Abbiamo visto che gli operatori di spin sono: Trasformazione da U positivo a U negativo E da spin a pseudospin

4 4 diversa da quella di spin giu'. Cosi' uno mappa il problema repulsivo in uno attrattivo. Tranne il caso di un problema originale di half filling pero' ha in generale il problema trasformato ha una configurazione magnetica, con una popolazione Half filling Indicando | con il numero dei siti, specializziamoci allora ad half filling, quando ci sono n elettroni di spin alto e n di spin basso, con spin

5 5 Lieb dimostra che il problema attrattivo ha uno stato fondamentale di singoletto con un ragionamento alla Perron-Frobenius. Poi dimostra che e unico sfruttando il principio variazionale e U<0. Cambiamo notazione, eliminando i tilde, ponendo U<0 e scrivendo semplicemente Questo stato corrisponde nel problema repulsivo ad un solo stato fondamentale che si ottiene dalla trasformazione unitaria. Questo stato non degenere ha la stessa energia; non e in generale di singoletto ma si trova nel settore S z =0 perche nel reticolo ci sono n elettroni per spin.

6 La dimensione del problema da risolvere per trovare lo stato fondamentale e m 2. Il tutto si puo' formulare in termini di una matrice mxm W come segue. La funzione d'onda fondamentale puo' scriversi in termini di configurazioni dei due spin e della matrice mxm W. Sulla base delle configurazioni sui siti, gli elementi diagonali contribuiscono alla funzione d'onda termini del tipo che sono, come si e' visto, di singoletto di spin. 6 Matrice W delle ampiezze

7 7 Lelemento di matrice W va poi reinterpretato nel problema repulsivo nel senso che nello stato fondamentale e la configurazione delle buche secondo lo schema Si tratta, beninteso, di un singoletto di spin per il problema con U attrattivo, che non lo e' necessariamente per il problema repulsivo originario. Infatti nella trasformazione lo spin va nello pseudospin. Se vi sono termini diagonali non nulli in W, lo stato fondamentale del problema attrattivo ha sicuramente almeno una componente di singoletto.

8 8 Esempi

9 9 La matrice W puo' sempre essere presa hermitiana. Infatti, Con W hermitiana, la normalizzazione e' Normalizzazione

10 10 Energia cinetica in termini di W e la matrice dell'energia cinetica sulla base delle configurazioni. Dalla definizione uno puo calcolarsi direttamente le matrici E poiche W e hermitiana,lenergia cinetica risulta espressa in termini dellincognita W:

11 11 Introducendo la matrice del numero di occupazione, che non dipende dallo spin, sfruttiamo di nuovo il fatto che W e hermitiano: Gli indici sembrano messi male, ma non ce problema poiche' n e hermitiano e reale. Poiche la matrice di n e' simmetrica, questo vale dove il 2 viene dalla somma sugli spin. Interazione in termini di W

12 12 Equazione di Schrödinger (SE)

13 13 Definizione Allora anche sulla base delle configurazioni W>0 ha elementi diagonali non nulli, lo stato fondamentale ha almeno una parte di singoletto, avendo termini del tipo Nota Bene: Faremo vedere poi che uno stato fondamentale deve essere semidefinito positivo.

14 14 Supponiamo di conoscere una W dello stato fondamentale. Diagonalizzandola, troviamo gli autovalori w i ed una matrice ortogonale C di autovettori tali che Prendendo i moduli degli autovalori w i e tornando indietro, si ottiene una matrice semidefinita positiva, chiamiamola |W|, tale che: W stato fondamentale implica |W| stato fondamentale. (ragionamento alla Perron-Frobenius)

15 15 Dal momento che |W| e uno stato fondamentale definito positivo, il problema con U<0 ha uno stato fondamentale di singoletto. Infatti, la traccia non nulla implica elementi di matrice diagonali non nulli anche sulla base delle configurazioni dei siti. Poiche' U e' negativo, |W| ha energia non superiore a W, quindi e' essa stessa uno stato fondamentale. (Questo era lo scopo della trasformazione canonica a U negativo). Esiste uno stato fondamentale di singoletto. Bisogna dimostrare che in realta W=|W| e lo stato fondamentale e unico. Faremo vedere che deve essere semidefinito positivo e che tale proprieta non puo essere vera se non e unico. W stato fondamentale implica |W| stato fondamentale.

16 16 Allora a meno di un segno inessenziale, ritroviamo lo stesso stato fondamentale. Se viceversa supponiamo che esista un autovalore nullo, allora dimostramo che tutti sono nulli, cioe R=0, Infatti, dato lautovalore nullo, sia V l'autovettore corrispondente, per il quale RV=0. Allora possiamo mostrare che questa relazione vale per tutto il set completo e R=0. Infatti, mediando l'equazione di Schroedinger per R su V, troviamo (largomento e euristico ma si puo rendere rigoroso) |W| e W sono stati fondamentali, quindi anche R=|W|-W lo e. Inoltre, Si dimostra per assurdo. Se lo stato fondamentale W non e semidefinito, cioe ha autovalori sia positivi che negativi, calcoliamo |W|; W stato fondamentale implica |W| stato fondamentale. Con esso formiamo R=|W|-W. W fondamentale deve essere semidefinito positivo (o negativo)

17 17 Unicita e spin dello stato fondamentale Resta la possibilita' di avere due soluzioni W 1 e W 2 che differiscano anche per i moduli di alcuni autovalori. Pero' il fatto che lo stato fondamentale e definito positivo implica la sua unicita. La combinazione lineare W =W 1 + W 2, che dovrebbe a sua volta essere uno stato fondamentale (da normalizzare) avrebbe traccia Tr (W 1 + W 2 )=0 per una opportuna scelta di, e dovrebbe avere autovalori sia positivi che negativi (con autovalori tutti nulli, W=0); ma come si e' visto, un W non semidefinito positivo (negativo) non puo' essere uno stato fondamentale. Questo dimostra che lo stato fondamentale non e' degenere. In tal modo tutte le configurazioni connesse con V dal termine cinetico sono nel Kernel di R; ma date due configurazioni si possono sempre collegare con una potenza finita di K, e il Kernel si mangia tutto lo spazio di Hilbert. Una matrice che ha un kernel cosi grande e nulla. Quindi R=0, W=|W| e lo stato fondamentale e semidefinito positivo. Per U grandi il modello tende a quello di Heisenberg, che ha 2S=|B|-|A|. Questo deve valere per U qualsiasi, dato che lunicita proibisce incroci di livelli. Un W non semidefinito positivo (negativo) non puo' essere uno stato fondamentale. Nel caso repulsivo lo stato fondamentale si ottiene dal caso attrattivo con la trasformazione canonica; quindi e unico.

18 18 Mielke ferromagnetism (J. Phys. A 24, 1991):the Kagome lattice is ferromagnetic at filling factor 1/6. First case with saturated ferromagnetism (all spins up) at finite U. The lowest band is dispersionless and this is called flat band ferromagnetism.

19 Mielke ferromagnetism (J. Phys. A 24, 1991)

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21 21 Ferrimagnetismo 2S=B-A dove B ed A sono i numeri di siti dei due sottoreticoli ed S e' lo spin totale. Cio' implica S=0 per il modello di Hubbard triviale, S=1/2 per ogni cella del modello a 3 bande (senza interazioni O-O, perche deve essere un reticolo bipartito) etc. Reticolo CuO 2

22 22 In un reticolo di lato L, ci sono A= 2 L 2 O e B= L 2 Cu. Quindi, 2S= L 2 Quindi il sistema senza interazioni O-O e ferrimagnetico: spin opposti su siti vicini, ma prevalenza numerica degli ossigeni e momento magnetico di bulk. In realta il sistema e antiferromagnetico, perche ci sono le interazioni O-O e perche ad essere mezza piena e la banda del Cu, non tutta la valenza. Antiferromagnetismo - modello a 3 bande CuO

23 23 ( review by Hal Tasaki, cond-mat/ , cond-mat/ ) Lavori sul Magnetismo nel modello di Hubbard Teorema di Lieb-Mattis Phys. Rev. 125, 164 (1962 ) Teoremi di Lieb Phys. Rev. Letters 62, 1201 (1989)

24 24 Quantum phases Galileo Transformations One checks that plane wave momentum transforms according to Galileo.

25 25 AC response to DC bias ! SuperconductorThin insulator Superconductor R emf Macroscopic quantum phenomena: Josephson effect

26 26 Gauge Transformations Without the gauge invariance, any theory is untenable. In classical theory, the Hamiltonian of a charged particle is where p is the kinetic momentum and A the vector potential. Both are unobservable. New Schroedinger equation: ; One could have started with new potentials giving the same fields:

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28 28 Consider a Linear Combination of Atomic Orbitals (LCAO) model for a molecule or cluster (or a Hubbard Model, neglecting overlaps ) 28 Peierls prescription for discrete models a b t ab

29 29 In the case of H 2 this can be gauged away, but with three or more atoms the physical meaning is that a magnetic flux φ is concatenated with the molecule; changing φ by a fluxon has no physical meaning, however. By complex hoppings, one can introduce a concatenated magnetic flux 29

30 30 3-site cluster with flux Ground state Energy E gs ( ) has period=2 E gs

31 Aharonov-Bohm effect The electron(s) see no magnetic field. The phase difference between beams on either side of solenoid is 31

32 From Griffiths Introduction to Quantum Mechanics Topologic phases

33 33 Topologic quantum phases Pancharatnam phase The Indian physicist S. Pancharatnam in 1956 introduced the concept of a geometrical phase. Let H(ξ ) be an Hamiltonian which depends from some parameters, represented by ξ ; let |ψ(ξ )> be the ground state. Compute the phase difference Δϕ ij between |ψ(ξ i )> and |ψ(ξ j )> defined by This is gauge dependent and cannot have any physical meaning. Now consider 3 points ξ and compute the total phase γ in a closed circuit ξ1 ξ2 ξ3 ξ1; remarkably, γ = Δϕ 12 + Δϕ 23 + Δϕ 31 is gauge independent! Indeed, the phase of any ψ can be changed at will by a gauge transformation, but such arbitrary changes cancel out in computing γ. This clearly holds for any closed circuit with any number of ξ. Therefore γ is entitled to have physical meaning. There may be observables that are not given by Hermitean operators.


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