GBK G EOMETRY Jordan Johnson. T ODAY ’ S PLAN Greeting Questions on Asg #15? Review Questions Lesson: Algebraic Properties Homework / Questions Clean-up.

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1 GBK G EOMETRY Jordan Johnson

2 T ODAY ’ S PLAN Greeting Questions on Asg #15? Review Questions Lesson: Algebraic Properties Homework / Questions Clean-up

3 C IRCLES & T RIANGLES State the definition of .  is the ratio of circumference to diameter. State the Pythagorean Theorem. In a right triangle, the square of the hypotenuse equals the sum of the squares of the other two sides.

4 A BOUT D EFINITIONS : Copy verbatim! (Changing words changes the meaning.)

5 G EOMETRY & E QUATIONS Ma la dimostrazione per eccellenza per i matematici è sicuramente quella di Euclide, riportata nel primo libro degli Elementi, proposizione 47: Nei triangoli retti il quadrato del lato che sottende l'angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati che contengono l'angolo retto. Questa dimostrazione fa riferimento a una figura (Fig. 24) che è stata battezzata, per la sua forma particolare, mulino a vento, coda di pavone o sedia della sposa. Vediamola nei termini usuali per uno studente, come la ritrova sul suo libro di geometria, nel capitolo dedicato ai teoremi di Euclide. Dato il triangolo rettangolo ABC, costruiamo i quadrati sui suoi lati e tracciamo CL parallelo ad AD. I triangoli FAB e CAD sono uguali per il primo criterio di uguaglianza. Hanno infatti AB = AD perché lati dello stesso quadrato ABDE, inoltre AF = AC, perché lati dello stesso quadrato ACGF e gli angoli FAB e CAD sono uguali perché somma di un angolo retto e di un angolo in comune, l'angolo CAB. Abbiamo perciò: ΔFAB = ΔCAD e 2ΔFAB = 2ΔCAD Inoltre i triangoli CAD e AMD hanno la stessa base AD e la stessa altezza AM, e sono quindi equivalenti: ΔCAD = ΔAMD e 2ΔCAD = 2ΔAMD = ADLM D'altra parte i triangoli FAB e FAC hanno anch'essi la stessa base AF e la stessa altezza AC, quindi sono equivalenti: Il rettangolo ADLM è perciò equivalente al quadrato ACGF. Fig. 24 La sedia della sposa di Euclide.

6 P OSTULATES : P ROPERTIES OF E QUALITY (R ECORD IN YOUR T HMS /P OSTULATES NOTES ) Reflexivity: a = a Substitution: a = b  a can be substituted for b anywhere Addition: a = b  a + c = b + c (for any number c ) Subtraction: a = b  a – c = b – c (for any number c ) Multiplication: a = b  ac = bc (for any number c ) Division: a = b  a/c = b/c (for any number c ≠ 0)

7 R EVIEW : P ROPERTIES OF N UMBERS & E QUATIONS a + b = b + a a(b + c) = ab + ac (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 a 2 – b 2 = (a + b)(a – b)

8 R EVIEW : P ROPERTIES OF N UMBERS & E QUATIONS a + b = b + a a(b + c) = ab + ac (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 a 2 – b 2 = (a + b)(a – b) Commutative property Distributive property Binomial square Difference of squares

9 A NGLE M EASURE – S AMPLE PROBLEM (W HAT JUSTIFIES EACH STEP ?) In triangle ABC, ∠ C = 90º and ∠ B is twice as large as ∠ A. How large is ∠ A? ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180º. If ∠ C = 90º, then ∠ A + ∠ B + 90º = 180º. If ∠ A + ∠ B + 90º = 180º, then ∠ A + ∠ B = 90º. If ∠ A + ∠ B = 90º and ∠ B = 2 ∠ A, then ∠ A + 2 ∠ A = 90º. If 3 ∠ A = 90º, then ∠ A = 30º. A B C 90˚

10 T ASKS Now: Finish adding the equation postulates. (Refer to Ch. 3, Lesson 1.) For Day 2 (tomorrow/Wednesday): Asg #16 For Day 3 (Thursday/Friday): Asg #17

11 C LEAN - UP / R EMINDERS Pick up all trash / items. Push in chairs (at front and back tables). See you tomorrow!