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Storia Euclide (Ευκλείδης), nato ad Alessandria d'Egitto intorno al 365 a.C., fu un matematico greco. Euclide di Alessandria (da non confondere con Euclide.

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2 Storia Euclide (Ευκλείδης), nato ad Alessandria d'Egitto intorno al 365 a.C., fu un matematico greco. Euclide di Alessandria (da non confondere con Euclide di Megara che visse un secolo prima e che era un filosofo) è menzionato in un brano Di Pappo, ma la testimonianza più importante viene da Proclo, che lo colloca tra i pù giovani discepoli di Platone. Della sua vita si conosce ben poco e taluni mettono indubbio che questo nome denoti una persona reale, indicando bensì un gruppo di studiosi che si siano impegnati nella stesura di un trattato rigoroso e relativamente completo. L'opinione prevalente, però, considera Euclide una persona reale. Si dice sia stato discepolo di Platone ad Atene. Trasferitosi in seguito ad Alessandria d'Egitto all'epoca di Tolomeo I, vi fondò una scuola di matematica che rimase illustre per secoli.

3 Aneddoti Su Euclide esistono un paio di aneddoti, i quali pur non avendo un fondamento storico, si avvicinano bene al carattere dellautore de Gli Elementi. Nel primo viene detto che il re Tolomeo I chiese ad Euclide se non vi fosse un mezzo più breve per imparare la geometria ed egli rispose che non esistono vie regie in geometria. Questa storia sottolinea il grande rigore che permea tutta lopera di Euclide. Nel secondo si narra di un discepolo che dopo aver imparato i primi teoremi chiese ad Euclide: Quale utile ricaverò imparando queste cose?. Euclide diede ordine ad un servo di dare le monete al discepolo perché questultimo voleva trarre profitto da quel che imparava. Questultimo aneddoto allude invece al carattere teorico dellopera infatti Euclide non presenta le applicazioni pratiche delle sue teorie.

4 Opere Gli Elementi (in greco Στοιχεα) di Euclide sono la più importante opera sulla matematica giuntaci dalla cultura greca antica. Composti tra il IV e il III secolo a.c., rappresentano un quadro completo e definito dei principi della geometria noti al tempo. La geometria che si studia nelle scuole ancora oggi è la geometria euclidea perché questa è il migliore strumento che abbiamo a disposizione per interpretare la realtà che ci circonda, visto che essa nasce proprio dallosservazione della realtà. L'opera consiste in 13 libri: i primi 6 riguardanti la geometria piana, tre sulla teoria dei numeri, il decimo libro sulla teoria degli incommensurabili e gli ultimi tre sulla geometria solida. Alcune edizioni più antiche attribuiscono ad Euclide anche due ulteriori libri che la critica moderna assegna

5 però ad altri due autori. I diversi libri sono strutturati in definizioni proposizioni (enunciati che potremmo anche chiamare teoremi). Delle proposizioni vengono fornite e dimostrazioni. L'arte del calcolo non è inclusa: questa, infatti, non faceva parte delleducazione superiore. E neppure lo studio neppure lo studio delle coniche o delle curve piane superiori fa parte dellopera, poiché costituiva una branca più avanzata della matematica. Particolarmente importante è questopera per lo studio, basato su un metodo che attraverso il ragionamento logico deduttivo va alla ricerca di regole generali, degli assiomi e dei postulati.

6 Gli assiomi sono proposizioni che enunciano proprietà Che non si possono dimostrare, ma di solito sono così evidenti che nessuno si metterebbe a discutere la loro veridicità. Senza di essi non si potrebbe dimostrare niente, saremmo costretti ad accettare le proprietà affermate dai teoremi credendoci finché ci sostiene levidenza, ma senza poterne garantire una volta per tutte la veridicità in modo inattaccabile e inconfutabile. Essi perciò sono come una vera e propria impalcatura di sostegno per tutto il sistema impalcatura di sostegno per tutto il sistema della geometria. Un assioma che viene considerato indispensabile viene chiamato postulato.

7 Sicuramente il postulato più famoso è il V, detto anche postulato delle rette parallele (anche se l'enunciato non le cita). La negazione di questo postulato ha portato, nel XIX secolo, allo sviluppo delle geometrie non euclidee. Legata al V postulato è la definizione XXXIX del libro I: In un piano, una retta che intersechi due rette parallele forma con esse angoli alterni uguali fra loro, angoli esterni uguali agli angoli interni e opposti, e dalla stessa parte angoli interni la cui somma è uguale a due retti. Euclide scrisse anche altre opere come i Dati e la Divisione della figura, Lottica e la Catottrica però deve la sua celebrità a Gli Elementi, che è unopera davvero importante e che a buon diritto tramanda attraverso i secoli il suo nome.

8 Per saperne di più sui postulati sulle rette parallele In figura 1 la retta r è fissa mentre la retta s può ruotare in senso antiorario attorno al punto P. Indichiamo con Q il punto in cui r ed s si incontrano. Man mano che s ruota si vede che il punto Q si allontana verso est sulla retta r (fig. 2).

9 Il punto Q si muove con continuità su r: piccole rotazioni di s determinano piccoli spostamenti di Q (e viceversa). Q assume via via tutte le posizioni possibili su r, "passa" per tutti i punti di r. Il punto Q dunque si allontana sempre più sulla retta r. Si intuisce però che esiste una (e una sola) situazione in cui sembra proprio che le due rette non si intersechino e quindi Q non esista. In questa situazione le due rette si dicono parallele (fig. 3).

10 Continuando a ruotare s ci accorgiamo che il punto Q ricompare su r, questa volta però Q è a ovest. Eccoci arrivati a un punto cruciale. Nella geometria euclidea si assume, assecondando l'intuizione, che per un punto P non appartenente alla retta r passi una e una sola retta s parallela a r (tale cioè che r e s non si incontrino). Tale assunzione non è altro che il quinto postulato di Euclide.

11 Dimostrazione dellinfinità dei numeri primi Un numero maggiore dell'unità si dice primo se ha solo due divisori distinti: 1 e se stesso. Tra 1 e 10 ci sono 5 numeri primi; Tra 10 e 100 ce ne sono 21; Tra e ce ne sono 9; Tra e ce ne sono 3. Questa è la legge di rarefazione dei numeri primi. Secondo questa legge si può pensare che i numeri primi siano in numero finito, ma non è così, infatti, Euclide dimostrò che i numeri primi sono infiniti.

12 Dimostrazione (metodo indiretto): Si suppone che i numeri primi siano in numero finito. Esiste allora il numero primo più grande di tutti (MAX). Se si esegue il prodotto tra MAX e tutti i numeri primi che lo precedono e si aumenta di 1 il risultato, si ottiene un nuovo numero primo N più grande di MAX: infatti dividendo N per ciascun numero primo si ottiene sempre resto 1. Questa è unassurdità perché è in contrasto con il fatto che MAX sia il più grande numero primo. Perciò si conclude che i numeri primi sono infiniti.

13 Teoremi Primo teorema di Euclide In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per lati l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa. Nel disegno il quadrato Q è equivalente,ossia ha la stessa area, del rettangolo R In formula si ha: AB2 = BC · BH

14 Dimostrazione Prima dimostriamo che il triangolo ABC è uguale al triangolo EBT. Facendo riferimento alla figura, i due triangoli hanno AB=BE, l'angolo ABC uguale all'angolo TBE (perché complementari dello stesso angolo ABT). Per il criterio di congruenza dei triangoli rettangoli i due triangoli sono uguali. Se ne deduce che BC=BT. Il quadrato Q e il parallelogrammo P hanno la stessa base AB e la stessa altezza AD, che è la distanza tra le rette parallele AB e EL, quindi Q e P sono equivalenti. Il parallelogrammo P e il rettangolo R hanno le basi BT e BM uguali e l'altezza BH in comune, perché distanza tra le rette parallele TM e LK. Per la proprietà transitiva dell'equivalenza si ha che Q è equivalente a R.

15 Secondo teorema di Euclide In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei cateti sull'ipotenusaNel disegno Q1 è equivalente a R In formula AH2 = BH · HC

16 Descrizione della figura Il triangolo ABC è rettangolo in A. Q1 è il quadrato costruito sull'altezza AH relativa all'ipotenusa. Q2 è il quadrato costruito sulla proiezione BH del cateto AB. Q3 è il quadrato costruito sul cateto AB. Il rettangolo BHKM ha come lati la proiezione BH del cateto AB sull'ipotenusa e BM=BC. Il rettangolo R ha come lati le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa. LM = BM - BL = BC - BH = HC.

17 Dimostrazione Per il primo teorema di Euclide applicato al triangolo rettangolo ABCQ3 è equivalente a Q2 + R.Per il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo ABHQ3 è equivalente a Q2+Q1Per la proprietà transitiva dell'equivalenza si ottieneQ2+Q1 è equivalente a Q2+RSe ne conclude cheQ1 è equivalente a R

18 Della morte di Euclide si sa ben poco si presume che morì attorno al 275 a.c.

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