Trasformazione dei Grafici

TRASFORMAZIONE DEI GRAFICI Lezioni teoriche Esercizi ringraziamenti

INDICE Fine Traslazione verticale di parametro 1 della funzione y=cosx Traslazione orizzontale in parametro π/4 della funzione y=cosx Deformazione verticale di parametro 2 della funzione y=cosx Deformazione orizzontale di parametro 2 della funzione y=cosx Simmetria della funzione y=x rispetto all’asse y Ribaltamento della funzione y= x rispetto all’asse x Ribaltamento della funzione y= x rispetto all’origine Moduli sulla funzione y=x3-1 Modulo di se sulla funzione y=x3-1 Guarda gli esercizi Fine

Traslazione verticale di parametro b della funzione y = f(x) y = cosx y = cosx-1 y = cosx+1 Osservazioni

Traslazione verticale di parametro b della funzione y = f(x) y = cosx Funzione base y = cosx–1 Traslazione verticale verso l’alto y = cosx+1 Traslazione verticale verso il basso Osservazioni: Questo grafico rappresenta la traslazione verticale di parametro1 della funzione y=cosx che in base al parametro di trasformazione si alza o si abbassa. La formula di traslazione verticale di una funzione di equazione generale y=f(x) è y=f(x)+b. Se b>0 il grafico si sposta verso l’alto, viceversa, se b<0, il grafico si sposta verso il basso. x

Traslazione orizzontale in parametro a della funzione y = f(x) y = cosx y = cos(x-π/4) y = cos(x+ π/4) Osservazioni

Traslazione orizzontale in parametro a della funzione y = f(x) y = cosx Funzione base y = cos(x-π/4) Traslazione orizzontale verso sinistra y = cos(x+ π/4) Traslazione orizzontale verso destra Osservazioni: Questo grafico rappresenta la traslazione orizzontale in parametro /4 della funzione y=cosx che in base al parametro di trasformazione si sposta verso destra o verso sinistra. La formula di traslazione orizzontale di una funzione di equazione generale y=f(x) è y=f(x+a). Se a>0 il grafico si sposta verso sinistra, viceversa, se a<0 il grafico si sposta verso destra. x

Deformazione verticale di parametro h della funzione y = f(x) y = cosx y = 2cosx y = 1/2cosx Osservazioni

Deformazione verticale di parametro h della funzione y = f(x) y = cosx Funzione base y = 2cosx Deformazione verticale, allunga il grafico y = 1/2cosx Deformazione verticale, restringe il grafico Osservazioni: Questo grafico rappresenta la deformazione verticale di parametro 2 della funzione y=cosx che in base al parametro di trasformazione si allunga o si accorcia. La formula di deformazione verticale di una equazione generale y=f(x) è y=h*f(x). Se h>1 il grafico si allunga verticalmente, viceversa, se 0<h<1 il grafico si accorcia. x

Deformazione orizzontale di parametro k della funzione y = f(x) y = cosx y = cos(1/2x) y = cos(2x) Osservazioni

Deformazione orizzontale di parametro k della funzione y = f(x) y = cosx Funzione base y = cos(1/2x) Deformazione orizzontale, allarga il grafico y = cos(2x) Deformazione orizzontale, restringe il grafico Osservazioni: Questo grafico rappresenta la deformazione orizzontale di parametro 2 della funzione y=cosx che in base al parametro di trasformazione si allarga o si restringe. La formula di deformazione orizzontale di una funzione di equazione generale y=f(x) è y=f(k*x). Se 0<k<1 si allarga il grafico, viceversa, se k>1 il grafico si comprime. x

Simmetria della funzione y = x rispetto all’asse x Osservazioni

Simmetria della funzione y = x rispetto all’asse x Funzione base y = - x Ribaltamento della funzione base rispetto all’asse x Osservazioni: Questo grafico rappresenta la simmetria della funzione y=x rispetto all’asse y che cambiando il segno alla funzione della prima equazione, il secondo grafico viene ribaltato nel quarto quadrante. La formula della simmetria di un’equazione generale y=f(x) è y=-f(x). x

Ribaltamento della funzione y = x rispetto all’asse y Osservazioni

Ribaltamento della funzione y = x rispetto all’asse y Funzione base y = -x Ribaltamento della funzione base rispetto all’asse y Osservazioni: Questo grafico rappresenta il ribaltamento della funzione y=x rispetto all’asse y che spostando il segno della x nella prima equazione, il grafico della seconda equazione viene ribaltato nel secondo quadrante . La formula generale del ribaltamento di un’equazione generale y=f(x) è y=f(-x). x

Ribaltamento della funzione y = x rispetto all’origine Osservazioni

Ribaltamento della funzione y = x rispetto all’origine Funzione base y = --x Ribaltamento della funzione base rispetto all’origine Osservazioni: Questo grafico rappresenta il ribaltamento della funzione y=x rispetto all’origine e cambiando di segno sia la funzione sia la x nella prima equazione, il grafico della seconda equazione viene ribaltato nel quadrante opposto. La formula generale del ribaltamento di una funzione di equazione generale y=f(x) è y=-f(-x). x

Modulo sulla funzione y = x^3-1 Osservazioni

Modulo sulla funzione y = x^3-1 Funzione base y = |x^3-1| Ribaltamento della funzione base rispetto all’origine Osservazioni: Questo grafico rappresenta il modulo della funzione y=x3-1(tra le due stelle). Il modulo agisce sulla funzione in due modi differenti: dove la funzione è negativa il grafico della funzione base viene ribaltato, mentre dove la funzione è positiva i due grafici si sovrappongono >>segue x

Modulo sulla funzione y = x^3-1 Funzione base y = |x^3-1| Ribaltamento della funzione base rispetto all’origine In generale , se la funzione y=f(x) è negativa , il grafico del modulo è il simmetrico del grafico della funzione, altrimenti i due grafici si sovrappongono. <<precede x

Modulo di x sulla funzione y = x3-1 Osservazioni

Modulo di x sulla funzione y = x3-1 Funzione base y = (|x|)3-1 Modulo di x sulla funzione base Osservazioni: Da questo grafico si può notare che la funzione modulo applicata solo alla x trasforma le x negative in positive, ribaltando la parte positiva del grafico (tra le due stelline). Nel caso contrario il grafico rimane invariato. >>segue x

Modulo di x sulla funzione y = x3-1 Funzione base y = (|x|)3-1 Modulo di x sulla funzione base In generale se si applica la funzione modulo solo sulla x si ha una trasformazione delle x negative in positive tramite un ribaltamento, altrimenti se le x sono positive, il grafico rimane invariato. <<precede x

INDICE Esempio 1 Esempio 2 Esempio 3 Esempio 4 Guarda la teoria

Trasformazione di una funzione LAVORO DI: Fornaro, Delpero e Agostini

SOVRAPPOSIZIONE DEI GRAFICI y = senx y = sen3x y = sen(3x-/2) y = |sen(3x-/2)|

y = senx Rappresenta la funzione base T=2 D [0; 2] C[-1;1]

y = sen3x T1:Deformazione orizzontale di parametro 3 che comprime il grafico T= 03x2 D[0;] C[-1;1]

y = sen(3x-/2) T2:Traslazione orizzontale di parametro /6 verso destra. T= 03x-/22 D[0+/6;+/6] C[-1;1]

y=|sen (3x-/2)| T3:modulo della funzione che lascia invariato il segno quando è positivo, e quando è negativo ribalta la funzione rispetto all’asse delle x trasformando il segno da negativo a positivo.

Esercizio sulla trasformazione di funzioni Realizzato da: Acucella & Fagnani & Tagliabue

Come sviluppare le trasformazioni Data la funzione dobbiamo : Riconoscere la funzione base Analizzare la successione delle trasformazioni ( traslazioni,deformazioni…) che applicate alla funzione base portano alla funzione richiesta Esempio :

Successione delle trasformazioni applicate

Funzione base :Il grafico di questa funzione è il grafico della funzione coseno senza variazioni Il suo codominio va da –1 a 1 mentre il suo dominio va da -  a +  .

Deformazione orizzontale di parametro :Il grafico di questa funzione è il grafico della funzione coseno deformata orizzontalmente di parametro Osservazioni

Traslazione orizzontale di parametro : Il grafico di questa funzione è il grafico della funzione coseno traslata orizzontalmente di parametro Osservazioni

Osservazioni Sviluppando le trasformazioni della funzione base abbiamo notato che essendo il coseno una funzione pari le trasformazioni che hanno la x positiva e quelle che hanno, invece, la x negativa sono identiche. e e

Trasformazione di un grafico Esercitazione di: Centrone Detto Fabio Catanzaro

Indice Funzione data Funzione base: sen(x). Deformazione orizzontale di parametro x/3. Traslazione orizzontale di parametro

Funzione data Grafico della funzione data Data la funzione l’abbiamo scomposta nelle singole trasformazioni

Funzione base Funzione originaria: Funzione originaria sen(x) con periodo [0;2] e ampiezza di 2.

Trasformazione orizzontale di parametro x/3 Funzione originaria deformata Y=sen(x/3):questa funzione deriva dalla funzione originaria e fa avvenire una deformazione orizzontale di parametro x/3 (funzione in rosso). Il periodo va da [0;6p] con ampiezza 6p

Traslazione orizzontale di parametro Funzione originaria deformata e traslata questa funzione fa avvenire una traslazione orizzontale di parametro /12 verso sinistra con un periodo che va da [ ], cioè [ ]. L’ampiezza è di 6p.

Esercizio sulle trasformazioni delle funzioni

Grafico Y=senx Y=sen 1/3x Y=sen(1/3x+/12) Y=sen[-(1/3x+/12)] -Ringraziamenti-

L’equazione base di questo grafico è y=senx (blu), l’intervallo è [o;2], il suo periodo è 2. Il codominio è [-1;1]. -Ringraziamenti-

All’equazione precedente abbiamo applicato una deformazione orizzontale di parametro 1/3 , che allarga il grafico: y=sen1/3x (viola), l’intervallo è [o;6 ], il suo periodo è 6, il codominio è [-1;1]. -Ringraziamenti-

All’equazione precedente abbiamo applicato una traslazione orizzontale verso sinistra di parametro -: y=sen(1/3x+/12 ), (verde), l’intervallo è [-/4;6-/4], il suo periodo è 6, il codominio è [-1;1]. -Ringraziamenti-

All’equazione precedente abbiamo applicato un ribaltamento rispetto all’asse delle y: y=sen[-(1/3x+/12 )], (rosso), l’intervallo è [ -/4; 6-/4], il suo periodo è 6, il codominio è [-1;1]. -Ringraziamenti-

Lavoro di: Biraghi & Corrieri Invernizzi

Si ringrazia: