Liceo Scientifico “Ven. A. Luzzago” Liceo Scientifico “Ven. A. Luzzago” L’integrale definito e sue applicazioni A.S. 2014/2015

Cenni storici sul concetto di integrale Il calcolo degli integrali definiti prende inizio dalla necessità di determinare le aree di figure piane aventi contorno curvilineo.Il calcolo degli integrali definiti prende inizio dalla necessità di determinare le aree di figure piane aventi contorno curvilineo. Le idee principali che sono alla base del calcolo differenziale si sono sviluppate lungo i secoli; i primi passi furono compiuti dai matematici greci.Le idee principali che sono alla base del calcolo differenziale si sono sviluppate lungo i secoli; i primi passi furono compiuti dai matematici greci. Il primo a muovesi in questa direzioneIl primo a muovesi in questa direzione è Archimede di Siracusa ( a.C.) è Archimede di Siracusa ( a.C.) che mediante il metodo di esaustione che mediante il metodo di esaustione calcola con buona approssimazione calcola con buona approssimazione l’area del cerchio e determina l’area del settore parabolico. l’area del cerchio e determina l’area del settore parabolico. 2

La nascita del calcolo integrale Anche se esistono alcune discussioni sulla paternità originale, Gottfried Wilhellm von Leibniz ( ) è accreditato assieme ad Isaac Newton dell'invenzione, intorno al 1670, del calcolo infinitesimale. 3

Lo sviluppo del calcolo integrale In seguito Augustin Louis Cauchy( ) nel Cours d’analyse da una definizione Rigorosa dell’integrale. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet( ) affermare che condizione necessaria per l'integrabilità sia che l'insieme dei suoi punti di discontinuità sia "rado“. 4

Il problema è ripreso nella memoria di Georg Friedrich Bernhard Riemann( ), in essa, introduce l'integrale che porta il suo nome. Henri Léon Lebesgue( ) rielaborò le nuove idee, ponendole alla base della sua trattazione dell'integrale una nuova idea di integrazione estendendo la classe delle funzioni integrabili 5

Dividiamo l'intervallo in partiDividiamo l'intervallo in parti uguali di ampiezza Consideriamo i rettangoli aventi per base un segmento di suddivisione e per altezza il segmento oConsideriamo i rettangoli aventi per base un segmento di suddivisione e per altezza il segmento o Indichiamo con la somma delle aree di tutti questi rettangoli di altezzaIndichiamo con la somma delle aree di tutti questi rettangoli di altezza Si consideri una funzione positiva nell’intervallo [a;b]. Analogamente si avrà se consideriamo 6

Utilizzando l'ipotesi di continuità della funzione in si riesce a dimostrare, che le due successioni:Utilizzando l'ipotesi di continuità della funzione in si riesce a dimostrare, che le due successioni: convergono allo stesso limite, che viene indicato con il simbolo Tale simbolo si legge “integrale definito da a della funzione “ 7

Proprietà dell’Integrale definito Proprietà di linearità Proprietà di additività

Integrale definito Tuttavia la definizione più generale di integrale definito non richiede questa ipotesi che la funzione sia positiva, in quanto non si collega all'area dei trapezoidi.Tuttavia la definizione più generale di integrale definito non richiede questa ipotesi che la funzione sia positiva, in quanto non si collega all'area dei trapezoidi. Possiamo comunque darePossiamo comunque dare un significato di tipo geometrico, considerando, ad esempio, una funzione come in figura 9

Calcolo dell’integrale definito Il calcolo dell’integrale definito risulta complesso anche se consideriamo una funzione semplice come la parabolaIl calcolo dell’integrale definito risulta complesso anche se consideriamo una funzione semplice come la parabola Come si osserva in alcuni casi particolari, è possibile legare l’integrale definito ai valori della primitiva agli estremi dell’intervallo:Come si osserva in alcuni casi particolari, è possibile legare l’integrale definito ai valori della primitiva agli estremi dell’intervallo: 10

Il teorema della media Se è una funzione continua in, esiste almeno un punto tale che:Se è una funzione continua in, esiste almeno un punto tale che: Significato Geometrico. 11

Teorema di Torricelli-Barrow. Data la funzione continua in un intervallo, la funzione integrale:, la funzione integrale: è derivabile e risulta: 12

Il calcolo dell’integrale definito. Dal teorema di Torricelli-Barrow possiamo ottenere la formula del calcolo dell’integrale definito.Dal teorema di Torricelli-Barrow possiamo ottenere la formula del calcolo dell’integrale definito. 13

Applicazioni dell’integrale definito Determinazione di aree; Calcolo di volumi; Spazio e velocità; Lavoro di una forza. 14

Area racchiusa da due funzioni Siano e due funzioni definite nello stesso intervallo, con per ogni in, i cui grafici racchiudano una superficie chiusa. L’area della superficie è allora data: 15