TRANFER DEFINITION FUNCTION G(s) I(s) U(s) Relationship between input and output of a system in the domain of the complex variable s s - complex variable s  - pulsation (rad/sec )  - phase f - frequency (Hz)

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO Per sistemi lineari G(s) e’ il rapporto tra due polinomi N(s) e D(s) G(s) = N(s) / D(s) Risolvendo le equazioni N(s)=0 e D(s)=0 si trovano le radici e ogni polinomio si puo’ fattorizzare nel seguente modo N(s)=(s-z 1 )(s-z 2 )……. D(s)=(s-p 1 )(s-p 2 )……. (sistema lineare ?) (Fattorizzazione polinomio?)

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO Pertanto la G(s) si puo’ scrivere dove: z 1, z 2,….. (radici del numeratore) sono gli zeri p 1, p 2,….. (radici del denumeratore) sono i poli

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO ZERI : valori della variabile s che annullano il numeratore della G(s) e quindi la G(s) POLI : valori della variabile s che annullano il denumeratore della G(s)

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO Esempio: Risolvo G(s) ha 2 zeri (-1, -2) e 2 poli (-3, -4) e quindi

Dominio del tempo (t) e della s Un sistema lineare (rappresentato in figura) presenta un segnale di uscita u(t) in corrispondenza del segnale di ingresso i(t). u(t) = f(i(t)) (uscita funzione dell’ingresso) i(t)u(t) sistema (sistema lineare ?)

Dominio del tempo (t) e della s Il legame tra il segnale di uscita u(t) e di ingresso i(t) e’ in generale complesso e prevede la soluzione di equazioni integro-differenziali. Il passaggio al dominio s consente una soluzione piu’ semplice oltre a fornire importanti informazioni sul comportamento del sistema. (equazioni integro-differenziali ?)

Dominio del tempo (t) e della s L’operatore matematico che trasforma una funzione del tempo f(t) in una funzione F(s) e’ la trasformata di Laplace f(t) F(s) Trasf. Laplace (Trasformata di Laplace ?)

Dominio del tempo (t) e della s Tra le proprieta’ della trasformata di Laplace quella della derivata e dell’integrale: La derivata nel tempo corrisponde a moltiplicare per s L’integrale nel tempo corrisponde a moltiplicare per 1/s t s

Dominio del tempo (t) e della s L’equazione differenziale che lega uscita e ingresso nel tempo, diventa un’equazione algebrica nelle trasformate. Esempio: Equazione differenziale Equazione algebrica Funzione di trasferimento

Dominio del tempo (t) e della s Lo studio della risposta di un sistema, passando per le trasformate avviene secondo lo schema di figura. Il sistema viene caratterizzato dalla funzione di trasferimento G(s) e l’uscita U(s)=G(s)I(s) i(t)u(t) sistema I(s)U(s)=G(s)I(s) G(s) Laplace AntiLaplace

Dominio del tempo (t) e della s La funzione di trasferimento G(s) fornisce importanti informazioni circa il comportamento del sistema ad esempio la stabilita’. Ponendo s=jω la G(jω) rappresenta la risposta in frequenza del sistema (Stabilita’?) (Risposta in frequenza?)

STABILITA’ Un sistema lineare, tempo invariante e con condizioni iniziali nulle, e’ asintoticamente stabile se la sua risposta (uscita) tende a zero in corrispondenza di un un qualunque ingresso di durata limitata, altrimenti e’ instabile. i(t) u(t) i(t) u(t) i(t) stabileinstabile

STABILITA’ Dalla funzione di trasferimente G(s) si puo’ verificare la condizione di stabilita’ del sistema. La condizione di stabilita’ e’ che tutti i poli della G(s) abbiano parte reale negativa (Giustifica questa proprieta’)

RISPOSTA IN FREQUENZA Ponendo s=jω la G(jω) rappresenta la risposta in frequenza del sistema. La G(jω) e’ una funzione complessa in cui il modulo rappresenta il guadagno in ampiezza di un segnale sinusoidale alla pulsazione ω e la fase il corrispondente sfasamento. Es. Se Acos(ω o t) e’ il segnale in ingresso a un sistema con risposta in frequenza G(jω), l’uscita e’ A| G(jω o )| cos(ω o t+Φ(ω o ))

RISPOSTA IN FREQUENZA Piu’ in generale la risposta in frequenza indica la variazione in ampiezza e sfasamento di ciascuna componente spettrale del segnale. (Spettro di un segnale)

TRASFORMATA DI LAPLACE Data una funzione del tempo f(t), la trasformata di Laplace F(s) e’ definita dove s = α +jω La corrispondenza tra f(t) e F(s) e’ biunivoca, nel senso che a una f(t) corrisponde una F(s) e viceversa f(t) F(s)

TRASFORMATA DI LAPLACE Proprieta’ domino tempo tdominio s f(t) F(s) Kf(t)kF(s) f(t)+g(t)F(s)+G(s) sF(s) F(s)/s Linearita’ derivata integrale

TRASFORMATA DI LAPLACE Principali segnali e trasformate f(t) F(s) Impulso δ(t) 1 Gradino u(t) 1/s Gradino u(t-t o ) (1/s) e -st o Rampa tu(t) 1/s 2 Esponenziale e -kt 1/(s+k) Sinωt ω/(s 2 + ω 2 ) Cosωt s/(s 2 + ω 2 )

TRASFORMATA DI LAPLACE Applicazione ai circuiti elettrici Legame tensione-corrente per componenti elettrici Resistenza: tempo t trasformate Condensatore: tempo t trasformate Induttanza: tempo t trasformate

TRASFORMATA DI LAPLACE Esempio 1: Un sistema con funzione di trasferimento G(s) e’ sollecitato in ingresso da un impulso δ(t); trovare l’uscita u(t) La trasformata dell’ingresso I(s) e’ 1 (vedi tabella) La trasformata dell’uscita U(s)=G(s)I(s); quindi Antitrasformando si ha

TRASFORMATA DI LAPLACE Esempio 2: Dato il circuito RC,calcolare la tensione v o dopo aver chiuso l’interruttore al tempo t=0. La tensione v1 nel tempo ha un andamento a gradino t v1 E

TRASFORMATA DI LAPLACE Esempio 2 La trasformata di Laplace di v1 e’ E/s La funzione di trasferimento del circuito e’ La trasformata di Laplace dell’uscita v o e’ Antitrasformando si ottiene t vo E

FATTORIZZAZIONE DI UN POLINOMIO Dato un polinomio di grado n risolvendo l’equazione si trovano n soluzioni e il polinomio puo’ essere scritto nella forma

SISTEMA LINEARE Un sistema e’ lineare quando il legame tra uscita y e ingresso x e’ un’equazione algebrica di primo grado o differenziale lineare a coefficienti costanti (con la varibile x di primo grado). Es. Proprieta’ dei sistemi lineari: vale il principio di sovrapposizzione degli effetti: l’uscita del sistema in corrispondenza a piu’ ingressi puo’ essere calcolata come somma delle uscite in corrispondenza di ciascun ingresso, annullando gli altri Se l’ingresso e’ una sinusoide a una certa frequenza, anche l’uscita e’ una sinusoide alla stessa frequenza, con ampiezza e fase opportuna

EQUAZIONI INTEGRO DIFFERENZIALI In un’equazione algebrica le soluzioni sono quei valori numerici che soddisfano l’equazione; gli operatori matematici sono quelli algebrici. Es: soluzioni : In un’equazione integro-differenziale le soluzioni sono delle funzioni di una variabile ( ad esempio il tempo) che soddisfano l’equazione: gli operatori matematici, oltre a quelli algebrici, sono quelli di derivata e di integrale Es: La soluzione e’ una particolare funzione x(t)

STABILITA’ Per dimostrare la stabilita’ di un sistema, basta verificare che in corrispondenza a un ingresso finito, ad esempio un segnale impulsivo, l’uscita tenda a 0. Con i(t)= δ(t) I(s)=1 e pertanto U(s)=I(s)G(s)=G(s) La U(s) puo’ essere scomposta nel seguente modo Antitrasformando si ottiene Affinche’ la u(t) tenda a zero, tutti I coefficiente p (poli) devono essere negativi

SPETTRO DI SEGNALE Un generico segnale funzione del tempo puo’ essere considerato come la sovrapposizione di segnali sinusoidali di frequenza, ampiezza e fase opportuna. Ogni sinusoide viene detta componente spettrale o armonica e l’insieme di tali componenti viene detto spettro. Per segnali non periodici lo spettro e’ continuo compreso tra una frequenza minima e una massima. Es. Un segnale vocale ha uno spettro compreso tra 300 Hz e 3400 Hz; mescolando sinusoidi di ampiezza opportuna di frequenza compresa in questa gamma, si puo’ sintetizzare un qualunque tratto vocale