INSIEMI E LOGICA PARTE QUARTA

TAUTOLOGIE Se una formula enunciativa risulta vera qualunque sia il valore di verità delle lettere enunciative che la compongono, si dice che è una tautologia. Per indicare che una formula enunciativa A è una tautologia si scrive Se una formula enunciativa risulta falsa qualunque sia il valore di verità delle lettere enunciative che la compongono, si dice che è una contraddizione. È una tautologia È una contraddizione

Leggi della logica Principio del terzo escluso Proprietà transitiva dell'implicazione. Legge di contrapposizione. Modus Ponens. (È sempre vero che) cammino o non cammino. Se studio apprendo, e studio, dunque apprendo.

Proprietà transitiva dell'implicazione. La proprietà transitiva dell'implicazione materiale si presta a esprimere schematicamente un tipo di ragionamento deduttivo, detto sillogismo ipotetico: questo si compone di due premesse a —> b, b —> e e di una conseguenza a —> e, tutte in forma ipotetica («se... allora...»). «Se studierò sarò promosso e se sarò promosso riceverò un premio: quindi se studierò riceverò un premio». Qui la proprietà transitiva dell'implica­zione viene usata per compiere un ragionamento sillogistico. Quello che conta è lo schema di ragionamento e quindi non ha interesse sapere se le locuzioni a: studierò, o: sarò promosso, e: riceverò un premio sono proposizioni vere o false; interessa invece che, chi compie il ragionamen­to, dalla verità delle premesse a —» b e b —> e, possa dedurre la conseguenza a —> e.

Legge di contrapposizione Dall'essere vero che «se un numero naturale è divisibile per 4, allora è multi­plo di 2» segue che «se un numero naturale non è multiplo di 2, allora non è divisibile per 4». B Com'è noto «se un numero naturale è divisibile per 10, allora la sua rappre­sentazione decimale termina con zero». Ne consegue che «Se un numero natu­rale ha una rappresentazione decimale che non termina con zero, allora non è divisibile per 10».

Leggi della logica Modus Tollens. Reductio ad absurdum (riduzione all'assurdo). Se ho sete bevo, ma non bevo, quindi non ho sete. In questa tautologia,rappresenta un enunciato falso: ad esempio una contraddizione o la negazione di un enunciato di cui sia nota la verità. ciò significa che, se dalla negazione di una proposizione a si deduce una proposizione falsa, non potendosi negare a, la proposizione a deve essere vera.

Regole di deduzione I ragionamenti più usati nella matematica sono basati sul seguente schema. 1) Si presentano alcune affermazioni, dette premesse, la cui verità è già stata accettata (perché già dimostrata oppure perché le affermazioni fatte sono intuitivamente evidenti); 2) si deduce da queste la verità di una nuova affermazione, detta conclusione. Alcune delle tautologie ora viste consentono di chiarire e giustificare questo modo di procedere, permettendo di formulare delle regole di deduzione o regole di inferenza, ossia regole mediante le quali dalla verità di alcune proposizioni (premesse] si può dedurre la verità di una nuova proposizione (conclusione}. Vediamo insieme alcune di queste regole di deduzione, che prendono il nome delle tautologie su cui sono fondate.

Modus ponens se sono vere le proposizioni a —> b e a, dev'essere vera anche la proposizione b. Tavola di verità

Modus tollens se è vera la proposizione a —> b ed è vera la negazione di b (ossia è falsa b), deve essere vera anche la negazione di a (ossia dev'essere falsa a).

Reductio ad absurdum se la negazione di una proposizione a implica una proposizione falsa, a dev'essere vera.

Logica dei predicati Consideriamo ora l'espressione linguistica «x è un numero primo» essendo x N E evidente che non è esattamente una proposizione perché, non conoscendo x, non possiamo dire se è vera o falsa; però, se poniamo 5 al posto di x, diventa una proposizione vera, mentre se poniamo 6 al posto di x, diventa una proposizione falsa. Al variare di x in N la è dunque una proposizione il cui valore di verità dipendedalla variabile x. Scriveremo pertanto: p(x): x è un numero primo x N.

Predicati Le proposizioni dipendenti da una o più variabili, appartenenti a un prefissato dominio, vengono dette predicati (o funzioni proposizionali o funzioni enunciative), Si noti che la parola predicato sta per proprietà; il predicato «essere un numero primo» è una proprietà definita nell'insieme N: alcuni x godono della proprietà, altri no. Per es equazionidi primo grado e disequazioni sono predicati

Operazioni logiche con i predicati Poiché fissando il valore della variabile (o delle variabili), il predicato diventa enunciato vero o falso, si possono definire, per i predicati, operazioni logiche analoghe a quelle viste per le proposizioni.

Insieme di verità Dato un predicato a(x), x e D, chiamiamo insieme di verità di a(x) l'insieme: A D costituito dagli elementi di D per cui a(x) è vero. Consideriamo, per esempio, il predicato a(x):2<x<6 Esso è vero se, al posto di x sostituiamo uno dei numeri naturali 3, 4 o 5, mentre diviene falso se al posto di x sostituiamo un qualsiasi altro numero naturale L'insieme di verità di tale predicato è perciò A = {3; 4; 5}. Si osservi che, per determinare l'insieme di verità di un predicato, è essenziale specificare il dominio. Infatti, se il dominio di a(x) fosse, anziché N, l'insieme Q dei numeri razionali, nel suo insieme di verità dovremmo includere anche infinite frazioni.

Implicazione logica Analizziamo la seguente frase: se un numero è divisibile per 4, allora è divisibile per 2. Allo scopo consideriamo i due predicati p(x): x è divisibile per 4 x e N q(x): x è divisibile per 2. Si può notare che tutti i possibili valori x che rendono vero p(x) rendono vero anche q(x) infatti se è vero che un numero è divisibile per 4, è anche vero che è divisibile per 2. Diremo allora che p(x) implica logicamente q(x), cioè che è una implicazione logica. Considerati due predicati p(x) e q(x), con x appartenente a un opportuno dominio, se ogni valore di x che rende vero p(x) rende vero anche q(x), si dice che p(x) implica logicamente q(x) o che q(x] è conseguenza logica di p(x).

esempi Consideriamo l'affermazione: se un triangolo ha due lati uguali, allora ha due angoli uguali. Essa è una implicazione logica. Posto p(x): x ha due lati uguali q(x): x ha due angoli uguali, con x appartenente all'insieme dei triangoli, risulta Esaminiamo la frase se una persona è cittadino italiano, allora è cittadino milanese. Detto p(x): x è cittadino italiano q(x): x è cittadino milanese, essendo x appartenente all'insieme delle persone, si nota che, in questo caso, e infatti vi sono ovviamente persone x, cittadini italiani, (per le quali dunque p(x) è vero) che non sono cittadini milanesi (per le quali quindi q(x) è falso).

Osservazione Se in una implicazione logica si scambia l'antecedente con il conseguente, non è detto che si ottenga ancora una implicazione logica.

equivalenza logica o coimplicazione logica Due predicati p(x) e q(x) sono logicamente equivalenti, se ogni valore di x che rende vero p(x) rende vero q(x) e se, contemporaneamente, ogni x che rende vere q(x) rende vero anche p(x).

Esempio Consideriamo, per esempio, i predicati p(x): x è un numero pari q(x): x è multiplo di 2. In questo caso risulta e anche e pertanto i due pre dicati si equivalgono logicamente: p(x) <=> q(x). In questo caso l'equivalenza logica è espressa dalla frase «un numero è pari se e solo se è multiplo di 2» o anche da «l'essere pari, per un numero, è equivalente a essere multiplo di 2».

Osservazione I Non bisogna confondere i simboli con i simboli