PROPORZIONI E RAPPORTI

Divisioni Es. di divisioni in problemi. 1)Devo distribuire sei biscotti tra 2 amici; quanti biscotti per ciascun amico?

2.Si divide un campo di 28 ettari tra 4 eredi. Quanti ettari per ciascun erede? Divisioni

Indicazione unitaria Negli esempi di divisione fatti il risultato indicava sempre “quanto ad uno?”. Infatti: Primo problema 3 biscotti ad un amico e Secondo problema 7 ettari ad un erede. In questi casi il quoziente (cioè il risultato della divisione) prende il nome di RAPPORTO.

Allora il rapporto tra due numeri è un quoziente. Il rapporto risponde alla domanda “quanti… per un…..” Indicazione unitaria

Es. Paolo gioca a calcio e ha vinto 6 partite su 10 giocate. Qual è il rapporto? Qual è l’indicazione unitaria data dal rapporto? Risposta: 6 : 10 = 0,6 partite vinte per partita giocata!!! Il rapporto è di 0,6 partite vinte ogni una partita giocata. Indicazione unitaria

Es. A Verona ci sono 7728 alunni e 14 scuole medie. Quanti alunni ci sono mediamente in una scuola? Qual è l’indicazione unitaria data dal rapporto? Risposta: 7728:14 = 552 alunni per scuola. Il rapporto è di 552 alunni per scuola ed indica il numero di alunni in una scuola. Indicazione unitaria

Posso scrivere il rapporto tra due numeri in tre modi: come divisione es. 8:5 (leggi rapporto «8 a 5» o «8 su 5»), come frazione es. 8/5 (leggi «otto quinti»), come numero decimale es. 8:5 = 1,6 Come scrivere il rapporto

Nella divisione: Antecedente e conseguente 12 : 6 = 2 dividendo divisore quoziente

Nel rapporto: Antecedente e conseguente 12 : 6 = 2 antecedente conseguente rapporto

Scambiando l’antecedente con il conseguente il rapporto cambia (come per la divisione che non gode della proprietà commutativa). Es. 8 : 4 = 2 ma 4 : 8 = 0,5. Per questo motivo è importante capire in quale ordine prendere i termini di un rapporto. Antecedente e conseguente Rapporto diretto Rapporto inverso

Un rapporto non cambia moltiplicando o dividendo i termini per lo stesso numero. Es. 4 : 2 = 2ma anche 400 : 200 = 2, cioè (4  100) : (2  100) = 2. Antecedente e conseguente

Due grandezze sono omogenee se si misurano con la stessa unità di misura. Es. Il rapporto tra circonferenza e diametro del cerchio è  = 3,14. Il rapporto tra le due dimensioni di uno schermo è per es. 16/9. Rapporti tra grandezze omogenee

Il rapporto tra due grandezze omogenee è un numero puro (cioè non è seguito da unità di misura). Rapporti tra grandezze omogenee

Le grandezze non omogenee: non si possono misurare con la stessa unità di misura; hanno un rapporto che non è numero puro (cioè è seguito da unità di misura); il rapporto è un’altra grandezza con una sua unità di misura. Rapporti tra grandezze non omogenee

Alcuni interessanti rapporti tra grandezze non omogenee sono: La velocità (km/h) Il peso specifico (kg/dm 3 ). Rapporti tra grandezze non omogenee

Una proporzione è l’uguaglianza tra due rapporti. Proporzioni Es. 10 : 5 = 8 : 4 Infatti 2 = 2

Proporzioni: glossario 12 : antecedenti conseguenti 616 : 8=

Proporzioni: glossario 12 : MEDI ESTREMI 616 : 8=

In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi Proprietà fondamentale Es. 10 : 5 = 8 : 4 Prod. estremi = 10 x 4 =40 Prod. medi = 5 x 8 =40 Quindi 40 = 40

In una proporzione scambiando tra loro i medi o gli estremi si ottiene ancora una proporzione Proprietà permutare 10 : 5 = 8 : 4 Gli estremi: 4 : 5 = 8 : 10 I medi: 10 : 8 = 5 : 4 È ancora una proporzione

In una proporzione scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione Proprietà invertire 10 : 5 = 8 : 4 5 : 10 = 4 : 8 È ancora una proporzione

La somma del primo termine e del secondo sta al primo come la somma del terzo e quarto termine sta al terzo Proprietà comporre 10 : 5 = 8 : 4 La somma del primo termine e del secondo sta al secondo come la somma del terzo e quarto termine sta al quarto (10 + 5) : 10 = (8 + 4) : 8 15 : 10 = 12 : 8 10 : 5 = 8 : 4 (10 + 5) : 5 = (8 + 4) : 4 15 : 5 = 12 : 4

La differenza del primo termine e del secondo sta al primo come la differenza del terzo e quarto termine sta al terzo Proprietà scomporre 10 : 5 = 8 : 4 La differenza del primo termine e del secondo sta al secondo come la differenza del terzo e quarto termine sta al quarto (10 - 5) : 10 = (8 - 4) : 8 5 : 10 = 4 : 8 10 : 5 = 8 : 4 (10 - 5) : 5 = (8 - 4) : 4 5 : 5 = 4 : 4

Per calcolare un medio incognito: 1.Moltiplico i due estremi (10x4) 2.Divido per il medio noto (5). Proporzioni: calcolo termine incognito 10 : 5 = x : 4 Per calcolare un estremo incognito: 1.Moltiplico i due medi (5x8) 2.Divido per l’estremo noto (4). x = 10 ∙ 4 : 5 x = 40 : 5 = 8 x : 5 = 8 : 4 x = 5 ∙ 8 : 4 x = 40 : 4 =10

Per calcolare il medio incognito: 1.Moltiplico i due estremi (25x4) 2.Estraggo la radice del risultato Proporzioni continue: calcolo termine incognito 25 : x = x : 4 Per calcolare l’estremo incognito: 1.Moltiplico i due medi (4x9) 2.Estraggo la radice del risultato. x : 4 = 9 : x