Limite di una funzione 1Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Consideriamo la seguente funzione non definita per x=2 e calcoliamo il valore nelle sue “vicinanze” 2Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Valori per difetto della funzione x→2 - F(x) 16 1,57 1,67,2 1,77,4 1,87,6 1,97,8 1,957,9 1,9957,99 Valori per eccesso della funzione x→2+F(x) 310 2,69,2 2,59 2,28,4 2,18,2 2,018,02 2,00048,0008 2,000018,00002 Più x si “avvicina” a 2 più il valore della funzione tende a Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

4 La funzione f(x) ha come grafico quello della retta y=2(x+2) con la sola eccezione del punto 2 in cui la f(x) non esiste

5Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 Più x si avvicina a 2 più y si avvicina a 8

xF(x)|F(x)-8| 162 1,571 1,67,20,8 1,77,40,6 1,87,60,4 1,97,80,2 1,957,90,1 27,990,01 xF(x)|F(x)-8| 310,02,00 2,69,201,20 2,59,001,00 2,28,400,40 2,18,200,20 2,018,020,02 28,00080, ,000020,00002 Se f(x) si avvicina a 8 vuol dire che la differenza tra f(x) e 8 può diventare più piccola di qualunque valore ε fissato arbitrariamente. 6Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

xF(x)|F(x)-8| 162 1,571 1,67,20,8 1,77,40,6 1,87,60,4 1,97,80,2 1,957,90,1 27,990,01 xF(x)|F(x)-8| 310,002,00 2,69,201,20 2,59,001,00 2,28,400,40 2,18,200,20 2,018,020,02 28,00080, ,000020,00002 Se voglio, ad esempio, una differenza più piccola di 1 basta che x assuma valori più grandi di 1,5 oppure più piccoli di 2,2 7Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

xF(x)|F(x)-8| 162 1,571 1,67,20,8 1,77,40,6 1,87,60,4 1,97,80,2 1,957,90,1 27,990,01 xF(x)|F(x)-8| 310,002,00 2,69,201,20 2,59,001,00 2,28,400,40 2,18,200,20 2,018,020,02 28,00080, ,000020,00002 Se voglio una differenza più piccola, ad esempio, di 0,4 basta che x assuma valori più grandi di 1,8 oppure più piccoli di 2,2 8Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

La precedente situazione si esprime scrivendo Si legge: limite per x tendente a 2 di uguale a 8 9Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Diamo una interpretazione geometrica di quanto affermato 10Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

11 Fissato un intorno di 8 I(8) ε=2 Esiste un intorno di 2 J(2) Per ogni x dell’intorno di 2, escluso il 2, f(x) appartiene all’intorno di 8 e differisce da 8 meno di ε 13 Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

12 Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 I(8) J(2) Se scegliamo ε=0,5 anche l’ampiezza dell’intorno di 2 diminuisce. L’intorno J(2) dipende dall’intorno I(8). Questo vuol dire che l’ampiezza di J(2) resta determinata una volta fissata l’ampiezza I(8) la quale dipende da ε Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Nel limite considerato x tende ad un valore finito (2) e il valore del limite tende ad un valore finito (8). Uno o entrambi possono essere ∞ 13Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Questo significa che possiamo avere 4 casi : 14Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

I 4 casi si possono generalizzare scrivendo : x 0 ed l appartenenti ad 15Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Diamo ora la definizione generale di limite che vale in tutti e 4 i casi precedenti ricordiamo che x 0 ed l appartengono ad 16Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Si legge: Per ogni I intorno di I, esiste J intorno di x 0 tale che, per ogni x appartenente all’intorno J(x 0 ) e al domino della funzione D f, escluso x 0, f(x) appartiene all’intorno I (l) 17Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 Definizione generale di limite

0 x0x0 l I(l) Fissato un intorno I di l dove l può essere un numero o ∞ J(x 0 ) esiste un intorno J di x 0 con x 0 numero o ∞ Per ogni x dell’intorno di x 0,f(x) appartiene all’intorno di I( l) 18Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

La precedente definizione generale di limite (con x 0 ed l appartenti a ) si dovrà modificare per ognuno dei 4 casi particolari: 19Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

1° caso Limite finito per x che tende ad un valore finito Valore finito 20Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

0 x0x0 l I(l) l+ε Fissato un intorno circolare di l la cui ampiezza dipende da ε x0-δ1x0-δ1 x0+δ2x0+δ2 J(x 0 ) Esiste un intorno non necessariamente circolare di x 0 la cui ampiezza dipende da ε Per ogni x dell’intorno di x 0,f(x) appartiene all’intorno di I (l) 21Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

0 x0x0 l x0-δεx0-δε x0+δεx0+δε J(x 0 ) I(l) l+ε Fissato un ε>0 Esiste un δ ε >0 Possiamo rendere circolare l’intorno di x 0 Per ogni x dell’intorno di x 0,|f(x)-l|<ε 22Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

2° caso Limite infinito per x che tende ad un valore finito 23Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

2° caso Limite infinito per x che tende ad un valore finito 24Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Consideriamo la seguente funzione non definita per x=-1 e calcoliamo il valore nelle sue vicinanze 25Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

x→-1 - F(x) ,54 -1,225 -1, , , , x→-1 + F(x) 01 -0,54 -0,66,25 -0, , , , Più x tende a -1 più il valore della funzione tende a +∞ 26Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

x→-1-F(x) ,54 -1,225 -1, , , , x→-1 + F(x) 01 -0,54 -0,66,25 -0, , , , La funzione può superare qualsiasi valore fissato. Ad esempio se fisso il valore 25 è sufficiente che x assuma valori maggiori di -1,2 oppure minori di -0,6 27Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Diamo una interpretazione geometrica 28Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

29Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/ x0x0 M Fissato un M>0 esiste un δ M >0 J(x 0 ) x0-δMx0-δM x0+δMx0+δM Per ogni x dell’intorno di x 0,f(x) >M

2° caso Limite infinito per x che tende ad un valore finito 30Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Consideriamo la seguente funzione non definita per x=-1 e calcoliamo il valore nelle sue vicinanze 31Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

x→-1 - F(x) -2 -1,5-4 -1, , , , , x→-1 + F(x) 0 -0,5-4 -0,6-6,25 -0, , , , Più x tende a -1 più il valore della funzione tende a -∞ 32Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

x→-1 - F(x) -2 -1,5-4 -1, , , , , x→-1 + F(x) 0 -0,5-4 -0,6-6,25 -0, , , , Più x tende a -1 più il valore della funzione tende a -∞ 33Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

x→-1 - F(x) -2 -1,5-4 -1, , , , , x→-1 + F(x) 0 -0,5-4 -0,6-6,25 -0, , , , Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 La funzione può essere inferiore a qualsiasi valore fissato. Ad esempio se fisso il valore -25 è sufficiente che x assuma valori maggiori di -1,1 oppure minori di -0,6

x→-1 - F(x) -2 -1,5-4 -1, , , , , x→-1 + F(x) 0 -0,5-4 -0,6-6,25 -0, , , , Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 La funzione può essere inferiore a qualsiasi valore fissato. Ad esempio se fisso il valore -25 è sufficiente che x assuma valori maggiori di -1,1 oppure minori di -0,6

x→-1 - F(x) -2 -1,5-4 -1, , , , , x→-1 + F(x) 0 -0,5-4 -0,6-6,25 -0, , , , Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 Se fisso il valore -100 è sufficiente che x assuma valori maggiori di -1,1 oppure minori di -0,9

Diamo una interpretazione geometrica 37Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

38 0 x0x0 -M Fissato un M>0 esiste un δ M >0 J(x 0 ) x0-δMx0-δM x0+δMx0+δM Per ogni x dell’intorno di x 0,f(x) <-M

2° caso Limite infinito per x che tende ad un valore finito 39Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

x→-1 - F(x) -2 -1, , , , ,001 -1, x→-1 + F(x) ,5 2 -0,6 2,5 -0, , , , Più x tende a -1 più il valore della funzione tende a ∞ 40Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

x→-1 - F(x) -2 -1, , , , ,001 -1, x→-1 + F(x) ,5 2 -0,6 2,5 -0, , , , Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Diamo una interpretazione geometrica 42Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

x→-1 - F(x) -2 -1, , , , ,001 -1, x→-1 + F(x) ,5 2 -0,6 2,5 -0, , , , Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 Il valore assoluto della funzione può superare qualsiasi valore fissato. Ad esempio se fisso il valore 25 è sufficiente che x assuma valori maggiori di -1,1 oppure minori di -0,6 Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 Più x tende a -1 più il valore della funzione tende a ∞

Consideriamo il valore assoluto della funzione 44Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

45Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/ x0x0 M Fissato un M>0 esiste un δ M >0 J(x 0 ) x0-δMx0-δM x0+δMx0+δM Per ogni x dell’intorno di x 0,|f(x)| >M

Riepilogando 46Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

3° caso Limite finito per x che tende ad un valore infinito 47Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

3° caso Limite finito per x che tende ad un valore infinito 48Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Consideriamo la seguente funzione non definita per x=1 e calcoliamo il valore per x→+∞ 49Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

50

X→+∞F(x) 10-1, , , , , Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

xF(x)|F(x)+1| 10-1, , ,0202 0, ,002 0, ,0002 0, , ,00002 La differenza tra f(x) e -1 può diventare più piccola di qualunque valore ε fissato arbitrariamente. 52Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Diamo una interpretazione geometrica 53Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

54

55Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/ l Fissato un ε>0 l-ε l+εl+ε esiste un δ ε >0 δεδε Per ogni x>δ ε di x 0,|f(x)-l| <ε

3° caso Limite finito per x che tende ad un valore infinito 56Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

57Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/ l Per ogni x<δ ε di x 0,|f(x)-l| <ε esiste un δ ε >0 δεδε l-ε l+εl+ε Fissato un ε>0

3° caso Limite finito per x che tende ad un valore infinito 58Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

59 0 l l-ε l+εl+ε Fissato un ε>0 esiste un δ ε >0 -δ ε δεδε Per ogni |x|>δ ε di x 0,|f(x)-l| <ε

4° caso Limite infinito per x che tende ad un valore infinito 60Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Consideriamo la seguente funzione e calcoliamo il valore per x→-∞ 61Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

X→+∞F(x) Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

63 Fissato un M>0 δMδM Esiste un δ M Per ogni x>δ M f(x)>M M

4° caso Limite infinito per x che tende ad un valore infinito 64Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

65 M Fissato un M>0 Esiste un δ M δMδM Per ogni x>δ M f(x)>M

4° caso Limite infinito per x che tende ad un valore infinito 66Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

67 -M Fissato un M>0 Esiste un δ M δMδM Per ogni x>δ M f(x)<-M

4° caso Limite infinito per x che tende ad un valore infinito 68Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

69 Fissato un M>0 -M Per ogni x<δ M f(x)<-M δMδM Esiste un δ M

4° caso Limite infinito per x che tende ad un valore infinito 70 Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

71

Consideriamo la funzione in valore assoluto Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/201272

Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/ M Fissato un M>0 -δM-δM +δM+δM Esiste un δ M Per ogni x>δ M |f(x)|>M

Limite destro e sinistro Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/201274

Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/ x0x0 l1l1 l2l2 I valori della funzione si stabilizzano intorno a x 0 su due numeri differenti, l 1 a destra di x 0 e l 2 a sinistra di x 0. Il limite, in questo caso, non esiste.

Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/ x0x0 l1l1 l2l2 I(l 1 ) l+ε l-ε Fissato un ε>0 x0+δεx0+δε Esiste un δ ε >0 Per ogni x dell’intorno destro di x 0,|f(x)-l|<ε

Limite di una funzione - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/ x0x0 l1l1 l2l2 I(l 2 ) l+ε l-ε Fissato un ε>0 X0-δεX0-δε Esiste un δ ε >0 Per ogni x dell’intorno sinistro di x 0,|f(x)-l|<ε