Modelli elettromagnetici veloci e paralleli per analisi di instabilità MHD in dispositivi fusionistici Salvatore Ventre DAEIMI, Università degli Studi di Cassino Associaz.EURATOM/ENEA/CREATE con il contributo di Y. Liu, M. Furno Palumbo, R. Palmaccio, G. Rubinacci, F. Villone

Introduzione Sommario Il codice CarMa Metodo Veloce/Parallelo Risultati Conclusioni e prospettive

Instabilità nei dispositivi fusionistici Introduzione Instabilità nei dispositivi fusionistici Plasmi fusionistici descritti da equazioni MHD Modi instabili di plasma con costanti di tempo  microsecondi Le correnti indotte sulle strutture passive dalle perturbazioni di plasma hanno un effetto stabilizzante A causa della resistività finita, le eddy currents decadono  modo ancora instabile ma con costanti di tempo  millisecondi: Resistive Wall Modes (RWM) E’ possibile controllo attivo per stabilizzare il modo E’ necessaria un’analisi dettagliata della struttura conduttrice 3D con solutori nel limite magneto-quasi-statico  richiesta una grossa capacità computazionale

Approccio modellistico Il codice CarMa Approccio modellistico plasma S Resistive wall Si introduce una superficie S: all’interno di S equazioni MHD su S appropriate condizioni di raccordo fuori di S modello delle Eddy Currents: Formulazione integrale in cui la densità di corrente J è l’incognita Si sposa con la geometria tipica dei dispositivi fusionistici con alti rapporti vuoto/pieno (solo i conduttori devono essere discretizzati) Conduttori 3D di forma arbitraria (e.g. no thin-shell approximation) Trattamento automatico di geometrie con topologia complessa Possibile anisotropia resistiva Inclusione nel modello degli elettrodi di alimentazione

Formulazione numerica Il codice CarMa Formulazione numerica Termine dovuto al plasma Tensioni di alimentazione J=T

Il codice CarMa Procedura iterativa per la determinazione di autovalori e autovettori instabili Sistema nella forma stato-vettore Risolto usando metodo iterativo 0, : valori di tentativo

Il “bottleneck” computazionale Il codice CarMa Il “bottleneck” computazionale Assemblare,Immagazzinare,Risolvere un sistema (reale o complesso) denso (# Unknows ~ 200k ) METODO ITERATIVO Risolvere efficacemente Valutare efficacemente il prodotto PRESTAZIONI DIPENDONO DA tempo per costruire ogni termine di A memoria necessaria a immagazzinare ogni termine di A tempo necessario per fare il prodotto di ogni termine di A

Impatto numerico dei singolo termini Il codice CarMa Impatto numerico dei singolo termini TERMINE Assembly Time Memory Required Computation Time R LOW SQ HIGH L HIGH

Metodo Veloce Il problema non è scalabile efficacemente solo utilizzando il parallelo Matrice piena O(N2) Memoria Inversione (metodo diretto) O(N3) (metodo iterativo precondizionato) Ts(N)=O(N2) Tempo seriale di inversione Tempo parallelo di inversione Usando p processori (ideale) Tp(N)=O(N2/p) Ts(Ns)= Tp(Np)

Termine L Metodo Veloce SPARSIFICAZIONE(compressione) IMPROVEMENTS new PARALLELO OBIETTIVO Integrare in maniera efficiente metodo di compressione in una implementazione parallela Fattori determinanti le prestazioni Assembly balancing: assemblare il termine in maniera da equilibrare i tempi di calcolo tra processori Memory balancing: la memoria locale necessaria per contenere il termine deve essere equidistribuita tra i processori Computation balancing: il tempo di calcolo per costruire il prodotto locale deve essere equilibrato tra processori

Metodo Veloce Sparsificazione di L (con complessità quasi lineare) Introduzione di una griglia multilivello che include tutta mesh Decomposizione in parte vicina e lontana Calcolo e compressione della parte lontana, ottenuta secondo una tolleranza assegnata (precisione) Calcolo esatto della parte vicina

Metodo Veloce Introduzione Griglia Multilivello

Basso rango Metodo Veloce approssimata . Decomposizione in parte vicina e lontana Calcolata senza errori Matrice di interazione locale tra due box lontane ib1 e ib2 Basso rango # totale di interazioni lontane approssimata

r rango che dipende dalla errore richiesto (Modified Gram-Schmidt QR) Metodo Veloce Compressione QR approssimata della matrice di interazione Siano me and m (ne and n) rispettivamente il numero degli elementi e delle incognite in ib1 (in ib2). r×n ≈ Q R m×n m×r r rango che dipende dalla errore richiesto (Modified Gram-Schmidt QR) EFFICIENTE (m+n) × r << m×n. Si osservi che Memory Required e ComputationTime sono uguali a (m+n) × r

Costo assemblaggio della matrice di interazione locale Metodo Veloce Implementazione Parallela di LFAR Costo assemblaggio della matrice di interazione locale Costo Totale assemblaggio Assembly balancing Distribuire il carico di in maniera equilibrata su p processori

Metodo Veloce Algoritmo di distribuzione dei carichi Problema con complessità esponenziale risolto usando algoritmo sub-ottimo Costo di assemblaggio del k-simo processore In uscita Int2proc(i) fornisce il processore a cui compete l’interazione i Prestazioni dell’algoritmo sub-ottimo

Metodo Veloce Memory /Computation balancing di Lfar Sono automaticamente verificati se la dimensione del problema è sufficientemente grande (problemi di interesse per il parallelo) Non c’è bisogno di ulteriori comunicazioni Memory/Computation balancing ottenuti automaticamente

Metodo Veloce Precondizionatore Dettagli Implementativi Metodo iterativo: standard gmres Dettagli Implementativi In cui per si intende valutato sulla sparsità di Precondizionatore Come precondizionatore usiamo MUMPS (http://mumps.enseeiht.fr ) (free parallel solver for large sparse matrix) MUMPS supporta l’assemblaggio parallelo Non sono necessarie ulteriori riallocazioni comunicazioni codice è in standard fortran 90 libreria parallela è MPI (http://www.open-mpi.org/) Macchina target Altix System (http://www.bsc.es/index.php) (Shared Memory Machine) In futuro il codice girerà anche su SCOPE (http://www.scope.unina.it/default.aspx) (Grid Computing )

Studio dei RWM in ITER 1/2 Risultati # Nodi 329276 # Elementi 173304 # Incognite 206401 Occupazione necessaria per allocare la matrice completa 298GB La mesh usata copre 360° in direzione toroidale! (Metodo fast/parallel) Occupazione reale 25GB distribuita in maniera uniforme tra 32 processori (circa 780 MB per ogni processore)

Studio dei RWM in ITER 2/2 Risultati Distribuzione di corrente associata al modo instabile includendo i blanket modules (schermi neutronici) Studiati numerosi equilibri di plasma con diverse assunzioni sul livello di dettaglio delle strutture conduttrici

Conclusioni e prospettive Utilizzando il metodo veloce e la sua parallelizzazione è possibile studiare strutture di interesse fusionistico la cui una complessità computazione non è altrimenti affrontabile dai codici attualmente disponibili: dettagliata descrizione della geometria inclusione di loop di controllo riproduzione di risultati sperimentali Attività futura: estensione del metodo (sparsificazione + parallelizzazione) ad altri problemi elettromagnetici descritti da una simile formulazione integrale (e.g. materiali magnetici)

Grazie per l’attenzione ……