Cosa nascondono i numeri naturali? N Loretta Ferrante

Sapresti scrivere immediatamente il risultato di Scoprire regolarità scheda n°1 Osserva: 11+1=12 111+11+1=123 1111+111+11+1=1234 ………………………………. Come proseguiresti? Sapresti scrivere immediatamente il risultato di 111111111+11111111+1111111+111111+11111+1111+111+11+1= ? Loretta Ferrante

Scoprire regolarità scheda n°2 Osserva la seguente sequenza: 1 x 9+2=11 12 x 9+3=111 123 x 9+4=1111 Prosegui scrivendo altri 4 passaggi. ………………………………………………………………………. Quali sono i numeri o le cifre che compaiono in ogni relazione? Sapresti spiegare con tue parole come sono costruite queste relazioni? Senza fare i calcoli sapresti prevedere il risultato di 12345678 x 9 + 9 =   Loretta Ferrante

Scoprire regolarità scheda n°2bis Cerchiamo di capire perché si ottiene questa sequenza analizzando un passaggio, ad esempio: 123 x 9 + 4 = 1111 In base a ciò che hai visto sulla scheda 1 123=111+11+1 Quindi puoi scrivere 123 x 9 + 4 = (111+11+1) x 9 + 4 = = 999+99+9+4 = = 999+99+9+1+1+1+1= = 1000+100+10+1 = 1111 Questo ragionamento vale in generale. Loretta Ferrante

Scoprire regolarità scheda n°3 Come moltiplicare per 9 un numero che ha tutte le cifre uguali? Osserva le seguenti sequenze e cerca di capire il modo in cui si costruiscono i vari passi: 4x9=36 44x9=396 444x9=3996 4444x9=39996 5x9=45 55x9=495 555x9=4995 5555x9=49995 2x9= 22x9= 222x9= 2222x9= 7x9= 77x9= 777x9= 7777x9= Loretta Ferrante

Scoprire regolarità scheda n°3bis Proviamo a scoprire 4 x 9=36 40 x 9+4 x 9=360 + 36 400 x 9 + 40 x 9 + 4 x 9 = 3600 + 360 + 36 4000 x 9 + 400 x 9 + 40 x 9 + 4 x 9 = 36000 + 3600 + 360 + 36 Mi sposto di un posto verso sinistra e la somma delle cifre è 9 Prova a vedere cosa succede con le altre tre sequenze. Loretta Ferrante

Scoprire regolarità scheda n°4 Osserva 12345679 x 9 = 111111111 …………………………………………. Completa scrivendo altri 6 passi. Loretta Ferrante

Scoprire regolarità scheda n°4bis Cerchiamo di dimostrare la correttezza dei risultati ottenuti Calcola il risultato di 12345679 x 9 e verifica che esso è effettivamente 111111111 Oppure puoi pensare che 12345679 x 9 = 12345679 x 10 – 12345679 = 123456790 – 12345679 = 111111111 Gli altri passaggi si hanno moltiplicando il numero 12345679 per i multipli di 9, cioè per i numeri della forma 9n. Quindi il prodotto 12345679 x 9n = =111111111 x n = nnnnnnnnn Si otterrà scrivendo 9 volte la cifra n. Ad esempio 12345679 x 45 = 12345679 x (9 x 5) = (12345679 x 9) x 5 = 111111111 x 5 = 555555555 12345679 x 72 = 12345679 x ( … x … ) Loretta Ferrante

Costruire regolarità Costruzioni di successioni numeriche: racconto come costruirle, cioè spiego la regola al compagno Loretta Ferrante

Regolarità in natura 1, 1, 2, 3, 5, 8, 11, 19, ………….. Loretta Ferrante

Strutture ricorrenti Strette di mano Loretta Ferrante

Strutture ricorrenti Strette di mano Il numero di strette di mano varia in base al numero dei componenti della classe. Per cercare la soluzione generale, concentriamoci prima su un esempio con un numero ridotto di persone in modo da poter costruire uno schema grafico. Notiamo che ogni ragazzo stringe la mano ai 4 rimanenti, quindi essendo i ragazzi 5, possiamo pensare a 5x4 strette di mano. Ma in questo modo abbiamo contato 2 volte ogni stretta di mano, corrispondente alle 2 punte di freccia che ci sono nello schema per ogni linea. Le punte sono 20, le linee sono 10. Quindi le strette di mano sono: Pensiamo ora a n persone che si stringono la mano. Il ragionamento è del tutto simile a quello precedente, ognuno stringe la mano a n.1 persone. Le strette di mano sono dunque: Strette di mano Allora, quante strette di mano diverse sono possibili nella tua classe ? Loretta Ferrante

Strutture ricorrenti Quante diagonali? Ogni studente si posizionerà sui vertici di un poligono. Supponiamo che gli studenti siano 5. Il primo studente avrà in mano 4 nastri (strette di mano) per collegarsi ai rimanenti 4 vertici. Il secondo studente avrà in mano 3 nastri solamente, perché con uno è già collegato. Il terzo avrà in mano 2 nastri, il quarto 1 solo nastro, il quinto automaticamente è già collegato con tutti gli altri. Dunque il numero dei nastri sarà 4+3+2+1=10 somma dei primi 4 numeri naturali Questo numero equivale a strette di mani, si può arrivare alla formula di Gauss Le nostre diagonali saranno allora Loretta Ferrante

Strutture ricorrenti Gauss 1 + 2 + 3 + 4 + …+ 100? Loretta Ferrante

Non era poi così complicato. O no? Strutture ricorrenti Gauss Soluzione dell' Enigma della somma di Gauss Il risultato della somma è 5050. Gauss aveva effettuato rapidamente il calcolo usando il seguente "semplice" procedimento. Si era reso conto di poter scrivere su due righe parallele i 101 numeri che vanno da 0 a 100 e da 100 a 0. Pertanto non era necessaria una lunga somma. Le colonne erano 101 (tutte a valore 100), quindi la somma di tutti i numeri era 101x100=10100. Visto che entrambe le righe contenevano la somma dei numeri da 1 a 100 mentre a Gauss serviva gliene bastava una sola 10100:2=5050 Non era poi così complicato. O no? Loretta Ferrante

Strutture ricorrenti Gauss Loretta Ferrante

Strutture ricorrenti Quadrati di polinomi Loretta Ferrante

Strutture ricorrenti Archi AC AB CB BA BC CA AB BA PUNTI ARCHI 2 3 6 4 12 …. n n(n-1) A stringe la mano a B (AB) arco B stringe la mano ad A (arco BA) Loretta Ferrante

Strutture ricorrenti Settori circolari ACO ABO CBO BAO BCO CAO O O ABO BOA RAGGI SETTORI 2 3 6 4 12 …. n n(n-1) AO stringe la mano a BO (settore ABO) BO stringe la mano ad AO (settore BAO) Loretta Ferrante

Segmenti circolari ad una base Strutture ricorrenti Segmenti circolari ad una base CORDE SEGMENTI 1 2 4 3 6 …. n 2n Loretta Ferrante

Strutture ricorrenti Segmenti circolari CORDE SEGMENTI a una base a due basi 1 2 4 AB stringe la mano a DC 3 6 AB stringe la mano a EF DC stringe la mano a EF 8 …. n 2n Segmenti circolari Loretta Ferrante

Somma dei numeri dispari Generalizzazioni Somma dei numeri dispari = quadrato di quanti ne ho sommati 1+3 = 4 1+3+5 = 9 1+3+5+7= 16 Come dimostrarlo? Somma dei numeri dispari Loretta Ferrante

Somma dei primi n multipli di un numero Generalizzazioni Esempio: Somma dei primi 10 multipli di 2 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 = 110 Somma dei primi n multipli di un numero 22 22 22 22 22 22 = 2 x 1 + 2 x 10 è la somma tra il primo e l’ultimo multiplo di 2 Quante volte si ripete? 10 : 2 = 5 Loretta Ferrante

Somma dei multipli da 1 ad n di un numero Generalizzazioni Quanti multipli di 3 ci sono tra 1 ed 50? 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48 Somma dei multipli da 1 ad n di un numero 50 DIV 3 = 16 3+6+9+12+15+18+21+24+27+30+33+36+39+42+45+48 = 408 51 51 51 51 51 51 51 51 51 = 3 x 1 + 3 x 50DIV3 è la somma tra il primo e l’ultimo multiplo di 3 Quante volte si ripete? 50DIV3 : 2 = 8 Loretta Ferrante

Generalizzazioni Cubi di numeri Nella serie consecutiva dei numeri dispari, il primo è il cubo di 1 la somma dei due numeri successivi è il cubo di 2 (3 + 5 = 8) la somma dei tre numeri successivi è il cubo di 3 (7+ 9 + 11 = 27), e così via.   13+15+17+19 =  64 (43) 21 + 23 + 25 + 27 + 29 =  125 (53)  31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 =  216 (63)   La somma dei numeri di una serie composta da numeri dispari che comincia da un numero qualsiasi è espressa nella formula: Cubi di numeri somma =[(N +n )/2] * [(N-n)/2 ]+1 Esempio: nella serie     15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25     la somma è:  (40/2) * [(10 /2)+1] = 20*6 = 120 La formula è determinata calcolando, nella prima parte, il numero medio della serie (N+n)/2, e nella seconda parte il numero cardinale degli elementi che compongono la serie (N-n)/2 +1. Loretta Ferrante

Generalizzazioni Numeri dispari Ogni numero intero e dispari, maggiore di 5, è sempre la somma di tre numeri primi.                 Esempi: 27 =  3 + 11 + 13              55 =  5 + 19 + 31               117 =  7 + 53 + 57            Loretta Ferrante

Quanti divisori ha un numero naturale? Fattorizzazione                 Esempi: 12 =  22 x 31     6 divisori =  3 x 2       36 =  22 x 32            9 divisori = 3 x 3 96 =  25 x 3           12 divisori = 6 x 2 2+1=3 1+1=2 Loretta Ferrante

Quanti divisori ha un numero naturale? Fattorizzazione                 12 =  22 x 31     6 divisori  3 x 2       2+1=3 1+1=2 20 30 1 31 3 21 2 6 22 4 12 Perché? Loretta Ferrante