CALCOLO DELL'INCERTEZZA DI MISURA PER LE PROVE CHIMICHE E MICROBIOLOGICHE

L’incertezza delle misure È impossibile fare una misura esatta: a ogni misura è associata un’incertezza, che può essere più o meno grande. Questa impossibilità è dovuta a due ragioni: gli strumenti hanno una sensibilità limitata, per cui non sono in grado di distinguere grandezze che differiscono per meno di una certa quantità; nel fare una misura, si compiono inevitabilmente degli errori.

L’incertezza dello strumento La lunghezza di un foglio di carta, misurata con un normale righello, è 29,7 cm. Questa misura ci sembra esatta, ma Il foglio potrebbe essere lungo 29,72 cm o 29,75 cm e il righello, che ha una sensibilità di 1 mm, non è in grado di distinguere i decimi di millimetro.

L’incertezza dello strumento Se usiamo uno strumento più sensibile, misuriamo i decimi di millimetro (29,72 cm), ma restiamo ancora incerti sui centesimi di millimetro.

L’incertezza dello strumento Anche se usassimo il miglior strumento a disposizione, un interferometro laser con una sensibilità inferiore al millesimo di millimetro (10–3 mm), non otterremmo una misura esatta. Quindi l’incertezza può essere ridotta, ma mai eliminata completamente

Errori casuali ed errori sistematici Misuriamo la durata di cinque oscillazioni complete (avanti e indietro) di un pendolo con un cronometro che indica i decimi di secondo. Se ripetiamo la misura alcune volte, difficilmente otteniamo due risultati uguali. Questo accade perché, nonostante tutte le attenzioni, nell’eseguire la misura compiamo degli errori.  

Errori casuali ed errori sistematici All’inizio, facciamo partire il cronometro a volte in ritardo, altre in anticipo rispetto a quando comincia la prima oscillazione.

Errori casuali ed errori sistematici Alla fine, fermiamo il cronometro qualche volta in ritardo, altre volte in anticipo rispetto a quando finisce l’ultima oscillazione.

Errori casuali Questi sono errori casuali, cioè errori che dipendono dal caso: qualche volta possono dare come risultato un tempo maggiore di quello vero, altre volte un tempo minore.  Un altro errore casuale è quello di allineamento quando si fa una misura di lunghezza. Lo zero del righello (figura 1) è qualche volta un po’ a destra, qualche altra volta un po’ a sinistra del punto dove inizia la lunghezza da misurare.

Errori casuali Gli errori casuali variano in modo imprevedibile da una misura all’altra e influenzano il risultato qualche volta per eccesso, qualche altra volta per difetto.

Errori Sistematici Oltre agli errori casuali, possiamo compiere anche errori sistematici, cioè errori che si ripetono sempre nello stesso senso. Per esempio, ciò avviene quando misuriamo una lunghezza con un metro un po’ più lungo (o un po’ più corto) del metro campione. Per esempio, se il metro è più lungo di un centimetro, tutte le misure sono sbagliate per difetto: misuriamo 1,00 m invece di 1,01 m. Se invece il metro è più corto di un centimetro, tutte le misure sono sbagliate per eccesso: misuriamo 1,00 m invece di 0,99 m.

Errori Sistematici Gli errori sistematici avvengono sempre nello stesso senso: o sempre per eccesso, o sempre per difetto. Gli errori sistematici non nascono soltanto dall’uso di strumenti difettosi, ma anche dalla maniera in cui è condotta la misura. Se vogliamo sapere quanto tempo impiega un sasso per giungere sul fondo di un pozzo in cui non possiamo scendere…..

Errore Sistematico misuriamo l’intervallo di tempo tra l’istante in cui lasciamo cadere il sasso e l’istante in cui sentiamo il rumore del sasso che tocca il fondo

Errore Sistematico L’intervallo misurato è in realtà quello che il sasso impiega per cadere più quello impiegato dal suono per giungere dal fondo fino a noi.

Errore Sistematico Nella misura dell’intervallo di tempo, c’è quindi un errore sistematico per eccesso. In linea di principio, esso può essere eliminato calcolando il tempo impiegato dal suono per risalire il pozzo; correggendo il risultato sottraendo a esso la correzione così calcolata. Usando strumenti migliori e applicando al meglio le correzioni si possono ridurre gli errori sistematici. In questo modo la misura avrà un’incertezza minore, ma non sarà mai esatta. Non si può mai essere sicuri che una misura sia priva di errori sistematici perché possono esservi effetti e perturbazioni che non conosciamo. Si possono invece ridurre gli errori casuali che influiscono sulla misura. 

Il valore medio e l’incertezza I valori riportati sono i risultati della misura, ripetuta più volte, di sei oscillazioni complete di un pendolo Misura delle oscillazioni del pendolo     Misura Valore (s) 1 14,6 2 14,7 3 14,4 4 5 14,5 6 14,3

Il valore medio e l’incertezza I tempi non sono tutti uguali, perché nell’eseguire la misura sono stati fatti degli errori casuali: si va da 14,3 s (valore minimo) a 14,7 s (valore massimo). Qual è allora il risultato della misura? Poiché gli errori casuali sono un po’ per eccesso e un po’ per difetto, scegliamo come risultato della misura il valore medio La media dei dati sperimentali è il valore più plausibile per la grandezza che abbiamo misurato e il suo errore casuale è più piccolo di quello di ogni singola misura.

L’errore massimo e l’incertezza Un modo semplice, anche se un po’ grossolano, di stimare l’incertezza della misura, dovuta agli errori casuali, consiste nel calcolare l’errore massimo. L’errore massimo (o semidispersione massima) è uguale alla differenza tra il valore massimo e il valore minimo divisa per due. Se xmax è il valore massimo misurato e xmin è quello minimo, l’errore massimo em è:   

L’errore massimo e l’incertezza Nell’esempio precedente l’errore massimo è 14,7s−14,3s=0,2s. Quanto tempo impiega allora il pendolo per compiere sei oscillazioni complete? Impiega 14,5 s ± 0,2 s = (14,5 ± 0,2) s Il simbolo ±, che si legge «più o meno», indica che il risultato della misura è compreso tra (14,5 – 0,2)s e (14,5 + 0,2)s: Se ripetiamo un’altra misura, è molto probabile che il valore sia compreso nell’intervallo tra 14,3 s e 14,7 s. In alcuni casi, l’errore sperimentale non è dovuto al fatto che abbiamo ottenuto risultati diversi, ma alla sensibilità dello strumento.

Il valore medio e l’incertezza Con un numero n piuttosto grande di misure si può costruire l’istogramma, un grafico con l’asse delle ascisse suddiviso in intervalli di valori, che ha in ordinata il numero di dati che ricadono in tale intervallo. Spesso il profilo dell’istogramma tende a seguire una curva a campana, detta curva di Gauss. In tal caso, l’errore statistico s (SCARTO TIPO) è dato dalla formula:

Il valore medio e l’incertezza Il risultato di una misura si esprime scrivendo il valore medio più o meno l’incertezza: valore medio ± incertezza

INCERTEZZA RELATIVA (CV) La massa di un’automobile, misurata con una bilancia che ha la sensibilità di 5 kg, è (1000 ± 5) kg.

INCERTEZZA RELATIVA (CV) La massa della pasta contenuta in un pacco, misurata con una bilancia che ha la sensibilità di 10 g, è (5,0 ± 0,1) hg.

INCERTEZZA RELATIVA (CV) La massa dell’automobile ha un’incertezza di 5 kg, mentre quella della pasta ha un’incertezza di un centesimo di kilogrammo (10–2 kg). Quale delle due misure è più precisa? Confrontiamo l’incertezza con il valore della misura, calcolando il loro rapporto 5kg/1000kg=5/1000 0,1hg/5,0hg=1/50 Poiché cinque millesimi è un numero minore di un cinquantesimo, concludiamo che la misura della massa dell’automobile è più precisa, anche se ha un’incertezza più grande

INCERTEZZA RELATIVA (CV) L’incertezza relativa o scarto tipo della media  è il rapporto tra l’incertezza e il valore medio e viene espressa in %: CV= S/X(medio)

Le cifre significative La misura della lunghezza di un campo è    Le prime due cifre, 1 e 3 (che indicano rispettivamente le centinaia e le decine) sono certe, cioè esatte. L’ultima cifra 6 (che indica le unità) è invece incerta, perché compresa tra 4 e 8. Diciamo che la lunghezza del campo è conosciuta con tre cifre significative: due certe e una incerta.

Le cifre significative Le cifre significative di una misura sono le cifre certe e la prima cifra incerta. Così, quando scriviamo che la massa di un’automobile è 1148 kg, significa che l’ultima cifra (8) è incerta, cioè non è esatta. Se fossimo sicuri anche di questa cifra, dovremmo scrivere il risultato con cinque cifre significative: 1148,0 kg. In fisica bisogna fare attenzione alla cifra 0: quando è alla fine del numero, è significativa: 32,0 ha tre cifre significative. quando è all’inizio del numero non è significativa: 0,32 ha due cifre significative.

Le cifre significative     Numero Cifre significative 13 2 21,3 3 21,30 4 4720 0,3 1 0,03 400,32 5

Perché valutare l’incertezza L’incertezza definisce un intervallo che contiene il valore “vero”. Il valore “vero” è il valore teoricamente ottenibile da una misurazione perfetta. La valutazione dell’incertezza non richiede la conoscenza pregressa del valore vero.

DEFINIZIONI incertezza (di misura): parametro, associato al risultato della misura, che caratterizza la dispersione dei valori che possono ragionevolmente essere attribuiti al misurando. (ISO/TS 19036:2006) Incertezza tipo (u): incertezza del risultato di una misurazione espressa come scarto tipo (UNI CEI ENV 13005:2000). Nelle statistiche quantitative essa è uguale allo scarto tipo. E’ espressa nella stessa unità di misura del misurando. Fattore di copertura (k): fattore numerico utilizzato come moltiplicatore dell’incertezza tipo composta per ottenere un’incertezza estesa. E’ uguale a 2 in una distribuzione normale in cui il 95% dei risultati è coperto dall’intervallo dell’incertezza estesa. Incertezza estesa (U): grandezza che definisce, intorno al risultato di una misurazione, un intervallo che ci si aspetta comprendere una frazione rilevante della distribuzione di valori ragionevolmente attribuibili al misurando (UNI CEI ENV 13005:2000). Ottenuta moltiplicando l’incertezza tipo composta per il fattore di copertura.