Studio di funzioni Guida base

Insieme di Definizione (Dominio) Funzioni polinomiali,radici di indice dispari ed esponenziali sono definite in tutto R Sono presenti denominatori? Porre: denominatori<>0 Sono presenti radici con indice Pari? Porre: Radicando>=0 Sono presenti logaritmi? Porre: argomento del logaritmo>0 Ricorda che: la base del log è >0 e <>1, la funzione f(x)^g(x) è definita per f(x)>0 Risolvere la disequazione (o il sistema) e rappresentare sul piano cartesiano il Dominio ottenuto evidenziando gli intervalli sull’asse x

Intersezioni con gli assi Lo 0 appartiene al dominio? Si: allora f(0) è l’ordinata del punto di intersezione con l’asse y. Calcola f(0) [sostituisci zero al posto della x] No: il grafico non interseca l’asse y Risolvere l’equazione f(x)=0. Ha soluzioni? Si: Le soluzioni sono le ascisse dei punti di intersezione con l’asse x. No: se non ha soluzioni il grafico non interseca l’asse x Rappresentare gli eventuali punti di intersezione sul grafico

Segno Studiare il segno della funzione se non è difficile Rappresentare le zone del piano in cui la funzione assume valori positivi e quelli in cui assume valori negativi

Asintoti Orizzontali La funzione è illimitata superiormente? Si: studiare il lim per x+infinito -Se il limite esiste finito, chiamiamolo R allora la retta y=R è asintoto orizzontale a destra -Se R è infinito può esistere l’asintoto obliquo -Se il limite non esiste la f può essere periodica No: andare avanti La funzione è illimitata inferiormente? Si: studiare il lim per x-infinito -Se il limite esiste finito, chiamiamolo L allora la retta y=L è asintoto orizzontale a sinistr -Se L è infinito può esistere l’asintoto obliquo -Se il limite non esiste la f può essere periodica Se esistono asintoti tracciare le rette sul grafico

Asintoti Obliqui Studiare il limite di f(x)/x per x+infinito -Se il limite esiste finito, chiamiamolo m, studiare il limite per x+infinito di (f(x)-mx)=q. Allora la retta y=mx+q è asintoto obliquo a destra -Se è infinito non esiste asintoto obliquo a destra Studiare il limite di f(x)/x per x-infinito -Se il limite esiste finito, chiamiamolo m, studiare il limite per x-infinito di (f(x)-mx)=q. Allora la retta y=mx+q è asintoto obliquo a sinistra -Se L è infinito non esiste asintoto obliquo a sx Tracciare sul grafico le rette (parallele all’asse x)

Asintoti Verticali Esiste un punto o più punti che non appartengono al Dominio della funzione ma sono di accumulazione per il Dominio? Si: studiare il limite destro e sinistro per x tendente a questo/i punto/i No: non esistono asintoti verticali Se esistono asintoti tracciare le rette sul grafico

Monotonìa Calcolare la derivata prima f’(x) e studiare il segno per x che varia nel dominio della f Negli intervalli in cui f’(x)>0 la f cresce Negli intervalli in cui f’(x)<0 la f decresce I punti in cui f’(x)=0 sono punti stazionari: -di minimo se … -di massimo se … -di flesso a tangente orizzontale se … Rappresenta i punti sul grafico

Dominio della derivata prima Determinare il dominio della f’(x). Se esiste un punto x1 che appartiene al dominio della funzione f(x) ma non appartiene al dominio della derivata prima f’(x) allora studiare il limite della derivata per x che tende a x1 per individuare cuspidi, punti angolosi e flessi a tangente verticale. Può risultare utile calcolare anche i limiti della funzione e del rapporto incrementale relativo al punto x1

Concavità Calcolare la derivata seconda f’’(x) e studiare il segno per x che varia nel dominio della f Negli intervalli in cui f’’(x)>0 f conc. verso l’alto Negli intervalli in cui f’(x)<0 f conc. verso il basso I punti in cui f’’(x)=0 sono punti: -di flesso se x appartiene all’intersezione di D D’ e D’’ -di flesso a tangente verticale se … Rappresenta i punti sul grafico

GRAFICO Disegnare il grafico verificando l’accordo tra le caratteristiche studiate (intersezioni con gli assi, segno, asintoti, monotonia). Se necessario tracciare qualche punto o allegare anche un grafico in scala ridotta Se la f(x) è definita in un intervallo [a,b] con a e b finiti stabilire se i punti estremi del grafico (a; f(a)) e (b; f(b)) sono punti di massimo o di minimo assoluto

Altro.. Punti di discontinuità: I II e III specie Punti di non derivabilità: punti angolosi e punti cuspididali Flessi a tangente orizzontale, a tangente verticale e obliqui