Università degli studi G. d’Annunzio Gli Equilibri Correlati Chieti – Pescara Corso di Laurea in: Economia e Informatica per L’impresa Gli Equilibri Correlati di Aumann Laureando: Marco Di Giovanni Relatore: Dott. Raffaele Mosca

Cos’è un gioco? Un gioco è una situazione in cui individui (giocatori) possono scegliere ognuno un certo comportamento (strategia) con il fine di massimizzare il proprio guadagno (payoff), tenendo conto però che il proprio payoff dipende dalle strategie scelte da tutti i giocatori. Lo scopo della Teoria dei Giochi è prevedere il comportamento dei giocatori – ipotizzando che essi interagiscano consapevolmente e che essi siano razionali (e che ciò sia conoscenza comune …) – e quindi l'esito di un gioco.

Rappresentazione in Forma Normale In questa tesi tratteremo giochi non cooperativi (cioè giochi in cui non sono ammessi accordi vincolanti fra i giocatori), in particolare giochi statici con informazione completa con due giocatori ognuno con due (possibili) strategie, cioè del tipo G = {S1, S2 ; u1 ,u2} con S1={A, B} e S2={C, D}. Tali giochi verranno rappresentati con una tabella come di seguito. Rappresentazione in Forma Normale Essa specifica: 1) L'insieme dei giocatori, sia {1, ..., n}; 2) Per i=1,...,n, l'insieme delle strategie (possibili) del giocatore i, sia Si ; 3) Per i=1,...,n, la funzione di payoff del giocatore i, sia ui : S1×…×Sn→ R, la quale associa a ogni combinazione di strategie dei giocatori il payoff del giocatore i. Questo gioco è indicato con: G = {S1,…,Sn; u1 ,…,un}. I/II C D A u1(A, C), u2(A, C) u1(A, D),u2(A, D) B u1(B, C), u2(B, C) u1(B, D), u2(B, D)

Approccio di Nash Afferma che il comportamento dei giocatori è quello di convergere verso un esito del gioco chiamato Equilibrio di Nash e indicato di seguito con EN. Se il compito della Teoria dei Giochi è quello di prevedere l’esito di un gioco, allora tale esito deve essere “stabile” e “credibile”. L’esito previsto deve quindi essere tale che ogni strategia specificata per ogni giocatore sia la migliore risposta alle strategie specificate per gli altri giocatori.

Definizione (EN in strategie pure) Nel gioco in forma normale G = {S1,…,Sn; u1,…,un} con n giocatori, le strategie (s1*,…,sn*)  S1 × … × Sn sono un Equilibrio di Nash di G in strategie pure: se, per ogni giocatore i  {1,…, n} si ha: ui(s1*, …, s*i-1, si*, s*i+1, …, sn*) > ui(s1*, …, s*i-1, si, s*i+1, …, sn*) per ogni si  Si In altri termini, per ogni giocatore i  {1,…, n}, si✶ è la risposta ottima del giocatore i alle strategie (s1*, …,s*i-1,s*i+1 ,…,sn*) specificate per gli altri n – 1 giocatori, cioè si✶ risolve il problema: max {ui(s1*, …, s*i-1, si, s*i+1, …, sn*) : si  Si}

Osservazione Per ogni gioco G sono possibili tre casi.

G ha 0 EN in strategie pure. I/II TESTA CROCE -1, 1 1, -1 Caso 1: G ha 0 EN in strategie pure. I/II TACERE PARLARE -1, -1 -9, 0 0, -9 -6, -6 Caso 2: G ha 1 EN in strategie pure. Caso 3: G ha molteplici EN in strategie pure. I/II LOTTA OPERA 2, 1 0, 0 1, 2

Il Caso 1 determina una assenza di previsione sull’esito del gioco: tale inconveniente è stato studiato dallo stesso Nash mediante l’introduzione delle strategie miste e del Teorema di Nash; Il Caso 2 determina una esatta previsione dell’esito del gioco;  Il Caso 3 determina sia una indecisione sulla previsione dell’esito del gioco sia la possibilità che i giocatori convergano verso un esito diverso da un EN del gioco e – in particolare – che in tal modo ottengano un payoff minore di quello che otterrebbero convergendo verso un EN: tali inconvenienti sono stati studiati da Aumann mediante l’introduzione di una estensione dell’Approccio di Nash basata sul così detto Equilibrio Correlato.

Caso 1 Nel gioco G = {S1, S2; u1, u2} PAT/CHRIS LOTTA (1/3) OPERA (2/3) LOTTA (2/3) OPERA (1/3) Nel gioco G = {S1, S2; u1, u2} con due giocatori, una strategia mista per il Giocatore i è una distribuzione di probabilità su Si cioè sull’insieme delle sue strategie. Tramite il “criterio del valore atteso” è possibile calcolare i payoff che i giocatori ottengono scegliendo rispettivamente delle strategie miste. Le strategie pure sono un caso particolare delle strategie miste: corrispondono a quelle distribuzioni di probabilità in cui un solo valore è pari 1 e tutti gli altri sono pari a 0. Ciò rende possibile la seguente definizione.

EN in strategie miste Teorema di Nash Nel gioco G = {S1, S2; u1, u2} con due giocatori, le strategie miste (p*1, p*2) (una del Giocatore I, una del Giocatore II) sono un Equilibrio di Nash in strategie miste di G se esse costituiscono risposte ottime l’una per l’altra. Nel gioco G = {S1, …, Sn; u1, …, un}, se n è finito e se Si è finito per ogni i, allora G ha almeno un Equilibrio di Nash, eventualmente in strategie miste.

PAT/CHRIS LOTTA (1/3) OPERA (2/3) LOTTA (2/3) 2/3 * 1/3 = 2/9 2/3 * 2/3 = 4/9 OPERA (1/3) 1/3 * 1/3 = 1/9 1/3 * 2/3 = 2/9 Osservazione Il concetto di strategia mista permette di stabilire che ogni EN induce una distribuzione di probabilità su S1  S2 che è l’insieme dei possibili esiti del gioco G.

Una estensione dell’Approccio di Nash Il Caso 3 in cui un gioco ha molteplici EN determina: 1) un’indecisione sulla previsione dell’esito del gioco; 2) la possibilità che i giocatori convergano verso un esito diverso da un EN del gioco e – in particolare – che in tal modo ottengano un payoff minore del payoff che otterrebbero convergendo verso un EN. Tali inconvenienti sono stati studiati da Aumann mediante l’introduzione di una estensione dell’Approccio di Nash basata sul così detto Equilibrio Correlato.

L’idea di Aumann: Introduzione Consideriamo il gioco “Battaglia dei sessi”. Esso ha tre EN: Il primo EN è in strategie pure (Lotta, Lotta) = ((1, 0), (1, 0)). Il secondo EN è in strategie pure (Opera, Opera) = ((0, 1), (0, 1)). Il terzo EN è in strategie miste ((2/3, 1/3), (1/3, 2/3)). L’inconveniente (1) è legato direttamente al fatto che il gioco ha molteplici EN. L’inconveniente (2) è legato al fatto che il terzo EN induce una distribuzione di probabilità su S1  S2 per la quale la probabilità che i due giocatori convergano sugli esiti (Lotta, Opera) e (Opera, Lotta) è 4/9 + 1/9 = 5/9. Tali esiti non sono EN e – in particolare – i giocatori in tal modo ottengono un payoff (pari a 0) minore del payoff che otterrebbero convergendo verso un EN. PAT/CHRIS LOTTA OPERA 2, 1 0, 0 1, 2 PAT/CHRIS LOTTA (1/3) OPERA (2/3) LOTTA (2/3) 2/3 * 1/3 = 2/9 2/3 * 2/3 = 4/9 OPERA (1/3) 1/3 * 1/3 = 1/9 1/3 * 2/3 = 2/9

L’idea di Aumann: Introduzione Focalizziamo solo i due EN in strategie pure: (Lotta, Lotta), (Opera, Opera). Assumiamo che i due giocatori si possano accordare (in modo non vincolante) sul fatto che l’esito del gioco possa essere solamente o (Lotta, Lotta) oppure (Opera, Opera), cioè formalmente, si possano accordare su una distribuzione di probabilità p su S1  S2, che assegni probabilità positive a (Lotta, Lotta) e a (Opera, Opera), e probabilità nulle agli altri possibili esiti del gioco. PAT/CHRIS LOTTA OPERA 2, 1 0, 0 1, 2

L’idea di Aumann: Introduzione Al fine di tradurre in realtà questo accordo, i due giocatori possono nominare un Mediatore, il quale: (i) estrae “privatamente” uno degli esiti del gioco in base alla distribuzione p [e quindi nel caso specifico estrarrà o (Lotta, Lotta) oppure (Opera, Opera)] (ii) indica “privatamente” ai due giocatori la strategia che essi devono scegliere in base all’esito estratto. A questo punto ogni giocatore può verificare mediante il “criterio del payoff atteso”, assumendo che l’altro giocatore segua l’indicazione del Mediatore, se gli convenga seguire l’indicazione del Mediatore. PAT/CHRIS LOTTA OPERA 2, 1 0, 0 1, 2

Descrizione dell’idea di Aumann Consideriamo un gioco G = {S1, S2 ; u1, u2} in forma normale. La descrizione è in tre fasi.

Descrizione dell’idea di Aumann Fase 1 Fase 2 Fase 3 I due giocatori si accordano, in modo non vincolante, su una distribuzione di probabilità p su S1S2 (che è l’insieme dei possibili esiti del gioco). I due giocatori nominano un Mediatore il quale: Ogni giocatore verifica mediante il “criterio del payoff atteso”, assumendo che l’altro giocatore segua l’indicazione del Mediatore, se gli conviene seguire l’indicazione del Mediatore. (i) estrae “privatamente” uno degli esiti del gioco in base alla distribuzione p; (ii) indica “privatamente” ai due giocatori, la strategia che essi devono scegliere in base all’esito estratto.

Descrizione dell’idea di Aumann Se, per ogni possibile esito estratto dal Mediatore, ogni giocatore verifica che gli conviene seguire l’indicazione del Mediatore, assumendo che l’altro giocatore segua l’indicazione del Mediatore, allora la distribuzione di probabilità p è detta Equilibrio Correlato di G.

Equilibrio Correlato Al fine di introdurre una definizione formale di Equilibrio Correlato scriviamo: S1 = {A, B} S2 = {C, D} p=(p1,…,p4): distribuzione di probabilità su S1  S2 come indicato in figura. I/II C D A p1 p2 B p3 p4 Per determinare le condizioni che p deve soddisfare per essere un Equilibrio Correlato, consideriamo le seguenti 4 possibilità.

Possibilità 1: Al giocatore I il Mediatore indica di scegliere A. la probabilità condizionata che l’esito estratto dal Mediatore sia (A, C) è [p1 / (p1 + p2)] (A, D) è [p2 / (p1 + p2)] Il payoff atteso del giocatore I se egli sceglie A è uguale a: [p1 / (p1 + p2)] u1(A, C) + [p2 / (p1 + p2)] u1(A, D) Il payoff atteso del giocatore I se egli sceglie B è uguale a: [p1 / (p1 + p2)] u1(B, C) + [p2 / (p1 + p2)] u1(B, D) La conclusione è che al giocatore I conviene seguire l’indicazione del Mediatore se:   [p1 / (p1 + p2)] u1(A, C) + [p2 / (p1 + p2)] u1(A, D) > cioè se: p1 u1(A, C) + p2 u1(A, D) > p1 u1(B, C) + p2 u1(B, D) I/II C D A p1 p2 B p3 p4

Possibilità 2: Al giocatore I il Mediatore indica di scegliere B. Al giocatore I conviene seguire l’indicazione del Mediatore se:   p3 u1(B, C) + p4 u1(B, D) > p3 u1(A, C) + p4 u1(A, D) Possibilità 3: Al giocatore II il Mediatore indica di scegliere C. p1 u2(A, C) + p3 u2(B, C) > p1 u2(A, D) + p3 u2(B, D) Possibilità 4: Al giocatore II il Mediatore indica di scegliere D. p2 u2(A, D) + p4 u2(B, D) > p2 u2(A, C) + p4 u2(B, C)   I/II C D A p1 p2 B p3 p4

Definizione (Equilibrio Correlato) Sia G = {S1, S2; u1, u2} un gioco con due giocatori dove S1 = {A, B} e S2 = {C, D}. Un Equilibrio Correlato di G è una distribuzione di probabilità (p1,…, p4) su S1 × S2 come indicato in figura tale che: p1u1(A, C) + p2u1(A, D) ≥ p1u1(B, C) + p2u1(B, D) p3u1(B, C) + p4u1(B, D) ≥ p3u1(A, C) + p4u1(A, D) p1u2(A, C) + p3u2(B, C) ≥ p1u2(A, D) + p3u2(B, D) p2u2(A, D) + p4u2(B, D) ≥ p2u2(A, C) + p4u2(B, C) I/II C D A p1 p2 B p3 p4

Proposizioni Proposizione 1 Ogni distribuzione di probabilità su S1 × S2 indotta da un EN di G è un Equilibrio Correlato di G. Proposizione 2 Ogni combinazione convessa di distribuzioni di probabilità su S1 × S2 indotte da EN di G è un Equilibrio Correlato di G.

Attenzione Possono esistere Equilibri Correlati di G che non sono combinazione convessa di distribuzioni di probabilità su S1 × S2 indotte da EN di G.

Esempio: Chicken Game Il gioco “Chicken Game” ha tre EN: Il primo EN è in strategie pure (A, D) = ((1, 0), (0, 1)). Il secondo EN è in strategie pure (D, A) = ((0, 1), (1, 0)). Il terzo EN è in strategie miste = ((2/3, 1/3), (2/3, 1/3)). JIM/BUZZ A D 6, 6 2, 7 7, 2 0, 0

Inconvenienti L’inconveniente (1) è legato direttamente al fatto che il gioco ha molteplici EN. L’inconveniente (2) è legato al fatto che il terzo EN induce una distribuzione di probabilità su S1S2 = {A, D} × {A, D} (riportata di seguito) per la quale la probabilità che i due giocatori convergano sull’esito (D, D) è 1/9: tale esito non è un EN e – in particolare – i giocatori in tal modo ottengono un payoff (pari a 0) minore del payoff che otterrebbero convergendo verso un EN. JIM/BUZZ A (2/3) D (1/3) 4/9 2/9 1/9

Consideriamo La distribuzione di probabilità su S1 × S2 indicata di seguito in figura. Essa non è ottenibile come combinazione convessa di distribuzioni di probabilità su S1 × S2 indotte da EN del gioco. Essa è un Equilibrio Correlato del gioco, come verificato di seguito dalla definizione, mostrando che le quattro disuguaglianze valgono sostituendo gli opportuni valori. 1/3 * 6 + 1/3 * 2 ≥ 1/3 * 7 + 1/3 * 0 1/3 * 7 + 0 * 0 ≥ 1/3 * 6 + 0 * 2 JIM/BUZZ A D 1/3

Alcuni risultati sull’ Equilibrio Correlato (R1) La Proposizione 1 e la Proposizione 2 valgono per ogni gioco finito. (R2) Ogni gioco finito ha almeno un Equilibrio Correlato: segue da (R1) e dal Teorema di Nash. (R3) Il calcolo di un Equilibrio Correlato può essere effettuato mediante la Programmazione Lineare direttamente dalla definizione – in particolare è possibile introdurre eventuali funzioni obiettivo in base a eventuali preferenze.

Premio Nobel “La guerra e gli altri conflitti sono tra le principali cause della miseria umana. Un minimo di cooperazione è il prerequisito per una società prospera.” Così inizia la dichiarazione dell’accademia delle Scienze svedese nel 2005, in occasione della consegna del premio Nobel per l’economia al matematico Robert J. Aumann (premio condiviso con T.C. Schelling) “[…] per aver migliorato la nostra comprensione riguardo i conflitti e la cooperazione utilizzando la teoria dei giochi.”

Grazie per l’attenzione Un ringraziamento speciale al Prof. Raffaele Mosca.