Logica 16-17

Lezione 29 12/12/16

ESAME FINALE 12 Gennaio ore 10 Si raccomanda di venire con il libretto e di riportare il proprio numero di matricola nel compito. Il n. di matricola servirà a comunicare i voti nel sito senza compromettere la privacy

"esattamente" C'è esattamente un cavallo Ci sono esattamente due cavalli Ci sono esattamente tre cavalli

C'è esattamente un cavallo = C'è almeno un cavallo e c'è al massimo un cavallo xCx & x y((Cx & Cy)  x = y) Ci sono esattamente due cavalli = ci sono almeno due cavalli e ci sono al massimo due cavalli x y((Cx & Cy) & x  y) & xyz((Cx & Cy & Cz)  (x = y v z = x v z =y)) Ecc.

Ma possiamo anche abbreviare così C'è esattamente un cavallo x(Cx & y(Cy  x = y)) xy(Cy ↔ y = x) Ci sono esattamente due cavalli x y((Cx & Cy) & x  y) & z(Cz  (z = x v z =y)) Ecc.

Esempio classico di ambiguità (1) Ogni uomo ama una donna (1a) x(Ux  y(Dy & Axy)) (1b) y(Dy & x(Ux  Axy)) (2) Ogni numero ha un successore (2a) x(Nx  y(Ny & Sxy)) (2b) x(Nx & y(Ny  Sxy))

Le descrizioni definite Il libro le tratta a p. 321, § 11.7 Per "descrizione definita" (nella terminologia introdotta da Russell) intendiamo un termine singolare costituito da un articolo determinativo seguito da un predicato, di norma utilizzato per riferirsi ad un determinato individuo (anche se il riferimento può fallire). Per esempio "la moglie di Socrate chiamata Santippe", "il cavallo alato", ecc. (ma non "la neve", "il leone", "la pasta", se utilizzati per riferirsi a un genere piuttosto che a un individuo)

Le 3 condizioni (Almeno secondo il punto di vista standard) perché sia vero un enunciato contenente una descrizione definita, come "il P è Q", devono darsi 3 condizioni: esistenza unicità attribuzione

Le 3 condizioni formalizzate il P è Q (1) esistenza: c'è almeno un oggetto con la proprietà P, ossia xPx (2) unicità: c'è al massimo un oggetto con la proprietà P, ossiaxy((Px & Py)  x = y) (3) attribuzione: qualsiasi cosa abbia la proprietà P (uno e un solo oggetto, se sono soddisfatte le condizioni (1) e (2)) ha anche la proprietà Q, ossia x(Px  Qx)

In pratica quindi, dire "il P è Q" equivale a dire "esiste esattamente un P ed è Q" Abbiamo quindi già tutti gli strumenti per "tradurre" frasi di questo tipo: x((Px & y(Py  x = y)) & Qx) Oppure x(y(Px ↔ x = y)) & Qx)

Possiamo introdurre un simbolo,  (iota; Russell usava, come spesso si fa ancora, una iota rovesciata), corrispondente all'articolo determinativo, sulla base di questa definizione (v. p. 322): QxPx =Def x((Px & y(Py  x = y)) & Qx) Questa definizione andrebbe generalizzata utilizzando le metavariabili, ma non ce ne occuperemo. Negli esercizi di formalizzazione in cui vi sono descrizioni definite (per es. compito 5) non è richiesto l'uso di questo simbolo

Esempi (1) Il presidente della R.I. è Mattarella (1a) x((Px & y(Py  x = y)) & x = m) (2) il cane che è stato nello spazio è nato a Mosca (2a) x(((Cx & Sx) & y((Cy & Sy)  x = y)) & Nxm) NB: usiamo "S" per "è stato nello spazio"; "lo spazio" non è qui trattato come una descrizione definita

Lezione 30 13/12/16

Lezione facoltativa di ripasso domani ore 16? Info su esame finale

Chiarimento sulla regola IE nella logica predicativa (i) Abbiamo usato IE (introduzione equivalenza) nella logica proposizionale. E nella logica dei predicati? Consideriamo per esempio x~(Fx & Gx) Intuitivamente, per DM, ~(Fx & Gx) è equivalente a (~Fx v ~Gx) Tuttavia, a rigore ~(Fx & Gx) non è una fbf, perché contiene variabili "libere" (non "vincolate" da quantificatori) Possiamo usare la regola IE (caso specifico DM)?

Chiarimento sulla regola IE nella logica predicativa (ii) ~(Fx & Gx) otterremmo una fbf se sostituissimo le variabili con costanti. Queste formule le chiamiamo APERTE (relativamente a una certa variabile; v. p. 210) Assumeremo che la regola IE si può utilizzare anche per formule aperte (è una scorciatoia che il libro non considera!) Per esempio, consideriamo ~(Fx & Gx) ↔ (~Fx v ~Gx) un esempio per sostituzione di ~(P & Q) ↔ (~P v ~Q)

utilizziamo questa scorciatoia nell'uso di IE Esercizio risolto 7.25 1  x(Fx  Gx) A 2 x (Fx & Gx) 1, IM 3 x (Fx & Gx) 2, DN 4 x (Fx & Gx) 3, SQ

Vediamo adesso come procede il Varzi senza questa scorciatoia

Esercizio risolto 7.25 Soluzione

Ripasso Esercizi di deduzione naturale Esercizi di traduzione

Esercizio risolto 7.1 Soluzione

Esercizio risolto 7.7 Soluzione

Esercizio risolto 7.9 Soluzione

Esercizio risolto 7.15 Soluzione

Prove di traduzione (1) ogni uomo ama una donna (2) Nessuna spia sta pedinando Roberto (3) Un gatto che il presidente adora sta dormendo (4) Roberta ama almeno due uomini (5) La sorella di Roberta ama al massimo un uomo (6) Ogni uomo che ama Roberta ama anche la sorella di Roberta

convenzione provvisoria nelle prossime diapositive userò "-" per la negazione "->" per il condizionale "Ex" per "esiste almeno un x" "(x)" per "per ogni x" Analogamente userò "(y)" ecc.

Non discussa in classe perché vista all’inizio della lezione (1) ogni uomo ama una donna (1a) (x)(Ux -> Ey(Dy & Axy)) (1b) Ey(Dy & (x)(Ux -> Axy))

(2) Nessuna spia sta pedinando Roberto (2a) (x)(Sx -> -Pxr) (2b) -Ex(Sx & Pxr)

(3) Un gatto che il presidente adora sta dormendo (3a) Ex(Gx & (Ey((Py & (z)(Pz -> z = y)) & (Ayx & Dx)))

Slide inserita dopo la lezione (5) La sorella di Roberta ama al massimo un uomo (5a) (x)(y)( (Ez(Szr & (w)(Swr -> w =z)) & ((Ux & Azx) & (Uy & Azy)) -> x = y) Oppure, equivalentemente: Ez((Szr & (w)(Swr -> w =z)) & (x)(y)((Ux & Azx)& (Uy & Azy) -> x = y))

Slide inserita dopo la lezione (4) Roberta ama almeno due uomini (4a) ExEy(x = y & ((Ux & Uy) & (Arx & Ary)))

Lezione 31 14/12/16

a = b, b = c, x(Gx & Fx), x(Hxa → Gx) ├ x(Hxc → Fx)

a = b, b = c, x(Gx & Fx), x(Hxa → Gx) ├ x(Hxc → Fx) 1 a = b A 2 b = c A 3 x(Gx & Fx) A 4 x(Hxa → Gx) A 5 x(Gx & Fx) 3 SQ 6 (Gd & Fd) 5 E 7 Gd ˅ Fd 6 DM 8 Hda → Gd 4 E 9 Hda H (per →I) 10 Gd 8, 9 →E 11 Gd 10 DN 12 Fd 7, 11 SD 13 Hda → Fd 9-12 →I 14 a = c 1, 2 =E 15 Hdc → Fd 13, 14 =E 16 x(Hxc → Fx) 15 I

x(Hx & Gx), x(Fx → Gx) ├ x(Hx & Fx) 1 x(Hx & Gx) A 2 x(Fx → Gx) A 3 Fa → Ga 2 E 4 Ha & Ga H (per E) 5 Fa H (per I) 6 Ga 3, 5 →E 7 Ga 4 &E 8 Ga & Ga 6, 7 &I 9 Fa 5-8 I 10 Ha 4 &E 11 Ha & Fa 9, 10 &I 12 x(Hx & Fx) 11 I 13 x(Hx & Fx) 2, 4-12 E