Algoritmi di stima con perdita di pacchetti in reti di sensori wireless: modellizzazione a catene di Markov, stima e stima distribuita Chiara Brighenti, Marco Maddalena, Ivan Tessarolo Università degli studi di Padova Corso di Progettazione di Sistemi di Controllo Prof. L. Schenato

Fusione dei dati e perdita di pacchetto Stima distribuita

Modello e ipotesi Modello del processo di misura: i = 1,…,M Ipotesi: e bianchi, Gaussiani a media zero e scorrelati osservabile e raggiungibile ( e ) Struttura della rete ad albero 12 settembre 2018 Stima distribuita: fusione di dati e perdita di pacchetto

Fusione dei dati Problema: minimizzare il numero di trasmissioni dei nodi Filtro di Kalman in forma d’informazione Equazione di aggiornamento della stima filtrata Altro metodo… 12 settembre 2018 Stima distribuita: fusione di dati e perdita di pacchetto

Metodo di fusione di stime locali 12 settembre 2018 Stima distribuita: fusione di dati e perdita di pacchetto

Metodo di fusione di stime locali Equazione di aggiornamento della stima al nodo i Alla radice si ha la stima globale ottima I nodi trasmettono delle stime 12 settembre 2018 Stima distribuita: fusione di dati e perdita di pacchetto

Algoritmi di stima distribuita con perdita di pacchetti Principio base: si sfrutta l’informazione presente alla base station calcolando le stime non arrivate con il filtro in catena aperta Generalizzazioni di algoritmi noti di stima distribuita 12 settembre 2018 Stima distribuita: fusione di dati e perdita di pacchetto

Algoritmi 1 e 2 Equazioni Algoritmo 1: Equazioni Algoritmo 2: 12 settembre 2018 Stima distribuita: fusione di dati e perdita di pacchetto

Algoritmi 3 e 4 Equazioni Algoritmo 3: Algoritmo 4: Filtro di Kalman con perdita di pacchetto 12 settembre 2018 Stima distribuita: fusione di dati e perdita di pacchetto

Simulazioni Parametro di interesse: q/r Confronto prestazioni: medie a regime delle varianze campionarie d’errore bernoulliane iid con c : costante moltiplicativa dei valori assoluti di q e r 12 settembre 2018 Stima distribuita: fusione di dati e perdita di pacchetto

Varianza di errore campionaria Caso 1: A = 0.5, λ = 0.5, c = 1 Varianza di errore campionaria q/r F.S. = 0.7 Alg. 1 Alg. 2 Alg. 3 Alg. 4 12 settembre 2018 Stima distribuita: fusione di dati e perdita di pacchetto

Varianza di errore campionaria Caso 2: A = 1, λ = 0.5, c = 1 Varianza di errore campionaria q/r F.S. = 1.4 Alg. 1 Alg. 2 Alg. 3 Alg. 4 12 settembre 2018 Stima distribuita: fusione di dati e perdita di pacchetto

Varianza di errore campionaria Caso 3: A = 1, λ = 0.5, c = 10 Varianza di errore campionaria q/r F.S. = 18 Alg. 1 Alg. 2 Alg. 3 Alg. 4 12 settembre 2018 Stima distribuita: fusione di dati e perdita di pacchetto

Varianza di errore campionaria Caso 4: A = 1, λ = 0.85, c = 1 Varianza di errore campionaria q/r F.S. = 0.9 Alg. 1 Alg. 2 Alg. 3 Alg. 4 12 settembre 2018 Stima distribuita: fusione di dati e perdita di pacchetto

Varianza di errore campionaria Caso 5: A = 2, λ = 0.85, c = 1 Varianza di errore campionaria q/r F.S. = 1030 Alg. 1 Alg. 2 Alg. 3 Alg. 4 12 settembre 2018 Stima distribuita: fusione di dati e perdita di pacchetto

Conclusioni Alg. 1 Alg. 2 Alg. 3 Alg. 4 Varianza d’errore q/r 12 settembre 2018 Stima distribuita: fusione di dati e perdita di pacchetto

Conclusioni L’ Algoritmo 2 è la soluzione più efficiente, se A è almeno semplicemente stabile. Si potrebbe valutare il metodo di fusione proposto con perdita di pacchetto, seguendo l’approccio dell’Algoritmo 2. 12 settembre 2018 Stima distribuita: fusione di dati e perdita di pacchetto

Schema di trasmissione con perdita di pacchetti in una rete wireless 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

Filtro ottimo Filtro ottimo a minima varianza d’errore di stima 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

Modello perdita pacchetti Modellizzazione del processo di perdita dei pacchetti a catena di Markov: Per il teorema di Markov: 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

Stimatore sub-ottimo a guadagno costante a regime Per A stabile, il guadagno costante ottimo: Dove e` soluzione della MARE: 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

Stimatore sub-ottimo a guadagno costante a regime Per A instabile, condizioni sufficienti di instabilita` del filtro: 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

Stimatore a due guadagni costanti Tempi medi di permanenza nei due stati: 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

Stimatore a due guadagni costanti Andamento medio della varianza d’errore: 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

Stimatore a due guadagni costanti I due valori di picco possono essere determinati risolvendo l’equazione: o piu` semplicemente attraverso un’iterazione sufficientemente lunga dell’equazione , alternando i due intervalli medi di arrivo e perdita dei pacchetti. 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

Stimatore a due guadagni costanti L’idea consiste nel determinare due guadagni costanti utilizzando i due valori di picco nella: viene utilizzato per la stima sulla prima misura arrivata allo stimatore dopo un intervallo di perdita dei pacchetti. viene utilizzato con le successive misure in arrivo fino alla prossima perdita di pacchetto. 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

Stima con i DTJMLS Sistema Discrete Time Jump Linear Systems 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

Stima con i DTJMLS Modello con perdita di pacchetti: 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

Stima con i DTJMLS Stimatore ottimo a guadagno costante a minima norma quadratica media dell’errore di stima a regime ( ) per sistemi MSS: Dove e` soluzione della CARE: 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

Schema di trasmissione con perdita dei pacchetti e ritardo 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

Stimatore ottimo a minima varianza d’errore Dopo aver inizializzato il buffer per : per ogni 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

Modello perdita pacchetti con ritardo Modello del processo di arrivo con ritardo ed eventuale perdita dei pacchetti a catena di Markov: 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

Stimatore sub-ottimo a N guadagni costanti a regime Per il teorema di Markov: Definiamo: 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

Stimatore sub-ottimo a N guadagni costanti a regime Per A stabile: 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

Stimatore a NxN guadagni costanti Noto lo stato , definiamo: 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

Stimatore a NxN guadagni costanti Per A stabile: 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

Algoritmo ottimo Lo stato non è noto del tutto ma solo parzialmente. Quello che si può dire è che se il pacchetto è arrivato allora il ritardo è noto, altrimenti si sa che è maggiore o uguale ad un certo valore. 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

Esempio 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

Nuova catena di Markov La catena di Markov deve essere stazionaria. 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

Primo elemento del buffer Viene usato l’algoritmo sviluppato da Craig e Smith. 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

Primo elemento del buffer Se nel filtro di Kalman tempo variante esiste Si calcola come nel caso tempo variante a partire da questo limite invece che da Il filtro con guadagno costante ha una aspettazione di covarianza d’errore che converge allo stesso valore 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

Struttura a buffer Si aggiorna la stima nel buffer minimizzando 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

Impraticabilità Il numero di guadagni costanti risulta essere 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

Simulazioni Perdita di pacchetti con A stabile: 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

Simulazioni Perdita di pacchetti con A instabile: 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

Simulazioni Perdita di pacchetti e ritardo con A stabile: 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

Simulazioni Perdita di pacchetti e ritardo con A instabile: 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov