(7x + 8x2 + 2) : (2x + 3) 8x2 + 7x + 2 2x + 3 8x2 + 7x + 2 2x + 3 4x Divisione La divisione tra polinomi si esegue con un procedimento analogo a quello della divisione tra due numeri. (7x + 8x2 + 2) : (2x + 3) Calcoliamo: 1° passo. Ordiniamo i polinomi secondo le potenze decrescenti di x e costruiamo lo schema della divisione: 8x2 + 7x + 2 2x + 3 2° passo. Dividiamo 8x2 per 2x e riportiamo il risultato sotto il divisore. 8x2 + 7x + 2 2x + 3 4x

8x2 + 7x + 2 2x + 3 4x −8x2 − 12x −5x + 2 8x2 + 7x + 2 2x + 3 4x − Divisione 3° passo. Moltiplichiamo il primo quoziente parziale 4x per il polinomio divisore e sottraiamo dal polinomio dividendo, incolonnando, i termini di ugual grado. 8x2 + 7x + 2 2x + 3 4x −8x2 − 12x −5x + 2 4° passo. Abbiamo ottenuto −5x + 2 (1° resto parziale). Tale resto ha grado maggiore o uguale a quello del divisore: si possono ripetere i passi ricominciando dal primo. 8x2 + 7x + 2 2x + 3 4x − −8x2 − 12x −5x + 2 5 2 +5x + 15 19 Q(x): quoziente R: resto

P(x) = x3 – 2x2 + 4 Divisibilità dei polinomi Le divisioni di un polinomio P(x) per un binomio di primo grado della forma (x – a) hanno un particolare rilievo; per esse valgono i seguenti teoremi. Teorema del resto: il resto della divisione di P(x) per (x – a) è uguale a P(a). P(x) = x3 – 2x2 + 4 divisore: x – 1 resto: P(1) = 3 Teorema di Ruffini: un polinomio P(x) è divisibile per il binomio (x – a) se e solo se P(a) = 0 In questo caso a rappresenta uno zero del polinomio. Il teorema di Ruffini rappresenta quindi un criterio di divisibilità di P(x) per (x – a).

coefficienti del polinomio Regola di Ruffini La divisione tra P(x) e (x – a) si può eseguire come divisione tra polinomi o con la regola di Ruffini. (3x2 − 2x + 5) : (x − 2) Calcoliamo: coefficienti del polinomio + 5 − 2 + 3 1° passo. Si scrivono i coefficienti di P(x) su una stessa riga, ordinati secondo le potenze decrescenti della variabile x, ricordando di scrivere 0 come coefficiente dei termini mancanti se il polinomio è incompleto. + 6 + 8 valore di a + 2 + 3 + 4 + 13 resto 2° passo. Dopo aver scritto il valore di a (cioè +2), si scrive in basso il primo coefficiente (cioè +3). 4° passo. Si sommano gli ultimi valori incolonnati e si scrive il risultato nell’ultima riga (cioè − 2 + 6 = 4). 3° passo. Si moltiplica il valore di a per il coefficiente del termine che abbiamo appena riportato nell’ultima riga e si scrive il risultato nella colonna successiva (cioè 2  3 = 6). 5° passo. Si ripetono i passi 3 e 4 fino a che si esaurisce lo schema. Il quoziente è un polinomio di grado inferiore di 1 rispetto a quello del dividendo e ha per coefficienti i numeri dell’ultima riga della tabella. Quindi Q(x) = 3x + 4 e R = 13.

Cos’è la fattorizzazione Fattorizzare o scomporre un polinomio significa scriverlo come prodotto di due o più polinomi; se poi ciascun polinomio di tale prodotto non è ulteriormente fattorizzabile, allora la scomposizione è in fattori primi. Un polinomio è riducibile se è possibile scomporlo nel prodotto di altri polinomi, tutti di grado inferiore a quello dato. Si dice irriducibile in caso contrario. Metodi di scomposizione I metodi per eseguire la scomposizione si basano sui seguenti criteri: i raccoglimenti a fattor comune parziale o totale il riconoscimento di prodotti notevoli la regola del trinomio caratteristico la somma o la differenza di due cubi l’individuazione dei divisori della forma x – a

Raccoglimenti RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE TOTALE Si individua il M.C.D. fra i termini del polinomio Si scrive il polinomio come prodotto fra il fattore comune e il polinomio che si ottiene dividendo ciascuno dei suoi monomi per il M.C.D. calcolato. ESEMPIO 5mn – 10mn2 + 15m2n = 5  m  n – 2  5  m  n  n + 3  5  m  m  n = = 5mn(1 – 2n + 3m)

raccoglimento parziale Raccoglimenti RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE PARZIALE Si applica nel caso in cui sia possibile effettuare raccoglimenti parziali tra gruppi di termini, in modo tale che poi sia possibile effettuare un raccoglimento totale. ESEMPIO 2ay + 2by + ax + bx = 2y(a + b) + x(a + b) = raccoglimento parziale (a + b) (2y + x) raccoglimento totale

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 = (b – a)2 Riconoscimento dei prodotti notevoli TRINOMIO SCOMPONIBILE NEL QUADRATO DI BINOMIO a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 = (b – a)2 ESEMPI a2 + 8a + 16 = (a + 4)2 1. (a)2 2  a  4 (4)2

9x2 – 12xy + 4y2 4a2 – 6ax + 9x2 = (3x – 2y)2 = (2y – 3x)2 (3x)2 (2y)2 Riconoscimento dei prodotti notevoli 9x2 – 12xy + 4y2 = (3x – 2y)2 = (2y – 3x)2 2. (3x)2 (2y)2 2  3x  2y 4a2 – 6ax + 9x2 3. non è lo sviluppo di un quadrato (2a)2 (3x)2 2a  3x

a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc= (a + b + c)2 Riconoscimento dei prodotti notevoli POLINOMIO SCOMPONIBILE NEL QUADRATO DI UN TRINOMIO a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc= (a + b + c)2 ESEMPI a2 + 2ab + b2 + 4a + 4b + 4 = (a + b + 2)2 1. (a)2 2  a  b (b)2 2  a  2 2  b  2 (2)2

x2 + 4y6 + 9 − 4xy3 + 6x − 12y3 (x)2 (2y3)2 (3)2 2  x  2y3 2  x  3 Riconoscimento dei prodotti notevoli ESEMPI x2 + 4y6 + 9 − 4xy3 + 6x − 12y3 Tenendo conto dei segni dei doppi prodotti: x e 3 hanno lo stesso segno x e 2y3 hanno segni discordi 2y3 e 3 hanno segni discordi (x)2 (2y3)2 (3)2 2  x  2y3 2  x  3 2  2y3  3 (x − 2y3 + 3)2 oppure (− x + 2y3 – 3)2

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = (a − b)3 Riconoscimento dei prodotti notevoli QUADRINOMIO SCOMPONIBILE NEL CUBO DI UN BINOMIO a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = (a − b)3 ESEMPIO 1. x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 = (x + 2y)3 (x)3 3  (x)2  (2y) 3  x  (2y)2 (2y)3

a2 − b2 = (a + b)  (a – b) 9x2 − y2 9z2 − (z + 5)2 Riconoscimento dei prodotti notevoli DIFFERENZA DI QUADRATI a2 − b2 = (a + b)  (a – b) ESEMPI 1. 9x2 − y2 = (3x + y) (3x – y) (3x)2 (y)2 2. 9z2 − (z + 5)2 = (3z + z +5)  (3z – z – 5) = = (4z + 5)  (2z – 5) = [3z + (z + 5)]  [3z – (z + 5)] = (3z)2 (z + 5)2

a6 − 9a4b + 27a2b2 − 27b3 = (a2 − 3b)3 (a2)3 3(a2)2  (−3b) Riconoscimento dei prodotti notevoli 2. a6 − 9a4b + 27a2b2 − 27b3 = (a2 − 3b)3 (a2)3 3(a2)2  (−3b) 3(a2)  (−3b)2 (−3b)3

x2 + (a + b)x + ab = (x +a) (x + b) Trinomio caratteristico TRINOMIO CARATTERISTICO Forma del trinomio caratteristico: x2 + (a + b)x + ab Procedura di scomposizione Si scrive il polinomio per esteso eseguendo la moltiplicazione indicata: x2 + ax + bx + ab Si effettua un raccoglimento parziale fra i primi due e i secondi due monomi: x(x + a) + b(x + a) Si esegue un raccoglimento totale: (x + a) (x + b) Regola di scomposizione: x2 + (a + b)x + ab = (x +a) (x + b) ESEMPIO x2 + 5x + 6 = x2 + (2 + 3)x + 2  3 = (x + 2) (x + 3) somma prodotto

x3 + a3 = (x + a)  (x2 – ax + a2) x3 − a3 = (x − a)  (x2 + ax + a2) Somma e differenza di cubi SOMMA O DIFFERENZA DI DUE CUBI x3 + a3 = (x + a)  (x2 – ax + a2) x3 − a3 = (x − a)  (x2 + ax + a2) somma delle basi differenza delle basi quadrato della prima base seconda base prodotto cambiato di segno delle due basi somma di cubi: differenza di cubi: ESEMPIO x3 – 27 = (x – 3) (x2 +3x + 9) 8y3 + 1 = (2y + 1) (4y2 − 2y + 1)

x3 + 4x2 + x − 6 Ricerca dei divisori di un polinomio L’INDIVIDUAZIONE DEI DIVISORI DELLA FORMA x - a Quando la scomposizione di un polinomio P non può essere effettuata con uno dei metodi precedenti si cerca di individuare dei divisori del polinomio della forma (x – a). Applicando il teorema di Ruffini si cercano i valori di a per i quali P(a) = 0. Se il coefficiente di grado massimo di P è uguale a 1, i valori di a, se esistono, vanno ricercati fra i divisori del termine noto di P(x). ESEMPIO x3 + 4x2 + x − 6 Possibili valori di a: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6

3x3 + 3x2 + 11x + 6 Ricerca dei divisori di un polinomio Se il coefficiente del termine di grado massimo di P è diverso da 1, i valori di a, se esistono, vanno ricercati fra i divisori del termine noto di P(x) e fra le frazioni che hanno al numeratore i divisori del termine noto e al denominatore i divisori del coefficiente del termine di grado massimo. ESEMPIO 3x3 + 3x2 + 11x + 6 Divisori di 6: ± 1, ± 2, ± 3, ±6 Divisori di 3: ± 1, ± 3 Possibili valori di a:

Scomposizione con Ruffini ESEMPIO P(x) = 2x3 + 9x2 + 7x – 6 Possibili valori di a: Calcolo di P(a): P(1) = 2 + 9 + 7 – 6 ≠ 0 P(−1) = −2 + 9 − 7 – 6 ≠ 0 P(−2) = −16 + 36 − 14 – 6 = 0 continua

−6 9 2 −2 −4 −3 6 7 −10 5 (x + 2) (2x2 + 5x –3) Q(3) = 18 + 15 – 3 ≠ 0 Scomposizione con Ruffini Divisione con la regola di Ruffini −6 9 2 −2 −4 −3 6 7 −10 5 1a scomposizione di P(x): (x + 2) (2x2 + 5x –3) Scomponiamo Q(x) = 2x2 + 5x – 3 seguendo i passi precedenti: possibili valori di a: Inutile provare per ± 1 in quanto P(± 1) ≠ 0 Q(3) = 18 + 15 – 3 ≠ 0 Q(−3) = 18 − 15 – 3 = 0 continua

Quindi: 2x3 + 9x2 + 7x – 6 = (x + 2) (x + 3) (2x – 1) Scomposizione con Ruffini −3 2 −1 +3 5 −6 Regola di Ruffini scomposizione: (x + 3) (2x – 1) Quindi: 2x3 + 9x2 + 7x – 6 = (x + 2) (x + 3) (2x – 1)

controllare se è possibile eseguire un raccoglimento totale o parziale Sintesi Nella pratica, per scomporre un polinomio conviene tenere presenti le seguenti considerazioni: controllare se è possibile eseguire un raccoglimento totale o parziale riferirsi a regole particolari guardando il numero dei termini del polinomio; se è un: binomio somma di quadrati x2 + a2 irriducibile differenza di quadrati x2 – a2 = (x – a) (x + a) somma di cubi x3 + a3 = (x + a) (x2 − ax + a2) differenza di cubi x3 – a3 = (x − a) (x2 + ax + a2) trinomio trinomio caratteristico x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b) quadrato di un binomio a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 quadrinomio differenza di due quadrati a2 + 2ab + b2 – x2 = (a + b)2 – x2 = (a + b + x) (a + b − x) cubo di un binomio a2 ± 3a2b +3ab2 ± b3 = (a ± b)3 polinomio di sei termini quadrato di un trinomio a2 + 4b2 + 9 + 4ab − 6a – 12b = (a + 2b – 3)2 a2 + 2a + 1 – x2 + 2xy − y2 = (a + 1)2 − (x – y)2 = = (a + 1 + x – y) (a + 1 – x + y) differenza dei quadrati di due binomi cercare i divisori della forma x – a con il teorema di Ruffini.

M.C.D. e m.c.m. tra polinomi Per determinare il M.C.D. fra due o più polinomi: si scompongono i polinomi in fattori, si scrive il prodotto dei soli fattori comuni con l’esponente più piccolo con cui compaiono. Per determinare il m.c.m. fra due o più polinomi: si scompongono i polinomi in fattori, si scrive il prodotto dei fattori comuni e non comuni con l’esponente più grande con cui compaiono.

8x2 + 16xy + 8y2 = 8(x2 + 2xy + y2) = 8(x + y)2 M.C.D. e m.c.m. tra polinomi ESEMPIO Dati i seguenti polinomi, calcoliamo M.C.D. e m.c.m.: 8x2 + 16xy + 8y2 4x4 – 4x2y2 12x2 + 12xy Scomponiamo in fattori i tre polinomi: 8x2 + 16xy + 8y2 = 8(x2 + 2xy + y2) = 8(x + y)2 4x4 – 4x2y2 = 4x2(x2 – y2) = 4x2(x – y) (x + y) 12x2 + 12xy = 12x(x + y) M.C.D. = 4(x + y) m.c.m. = 24x2(x + y)2 (x – y)