I teoremi delle funzioni derivabili Teorema di Rolle Teorema. Sia f(x) una funzione definita in un intervallo chiuso [a, b] che abbia le seguenti caratteristiche: a. sia continua in [a, b] b. sia derivabile in ogni punto interno di tale intervallo c. assuma valori uguali agli estremi di questo intervallo, cioè sia f(a) = f(b). allora esiste almeno un punto c appartenente all’intervallo (a, b) nel quale la sua derivata si annulla, in cui cioè si ha che f’(c) = 0.

I teoremi delle funzioni derivabili Questo teorema garantisce che, se sono soddisfatte le sue ipotesi, nell’intervallo [a, b] c’è almeno un punto in cui la retta tangente è parallela all’asse x. I punti in cui la derivata di una funzione f(x) si annulla vengono detti punti stazionari. In essi la retta tangente è orizzontale.

f(0) = f(3) = 0 I teoremi delle funzioni derivabili ESEMPIO Verifichiamo se la funzione y = x4 – 27x soddisfa nell’intervallo [0, 3] le ipotesi del teorema di Rolle e, in caso affermativo, determiniamo il valore di c. la funzione è continua in [0, 3] e derivabile in (0, 3) perché le funzioni polinomiali sono continue e derivabili in R. f(0) = f(3) = 0 Vale quindi il teorema di Rolle, quindi esiste almeno un punto c in [0, 3] di valore stazionario. Per determinarlo calcoliamo la derivata prima y’ = 4x3 – 27 e annulliamola: Quindi:

I teoremi delle funzioni derivabili Teorema di Lagrange Teorema. Sia f(x) una funzione definita in un intervallo chiuso [a, b] che abbia le seguenti caratteristiche: a. sia continua in [a, b] b. sia derivabile in ogni punto interno di tale intervallo allora esiste almeno un punto c appartenente all’intervallo (a, b) tale che Il teorema di Lagrange afferma quindi che, se sono verificate le ipotesi di continuità e derivabilità, esiste almeno un punto in [a, b] in cui la retta tangente al grafico di f(x) è parallela alla corda AB.

f(a) = f(-1) = -2 f(b) = f (1) = 0 I teoremi delle funzioni derivabili ESEMPIO Verifichiamo se la funzione di equazione y = x3 – 1 soddisfa il teorema di Lagrange nell’intervallo [-1, 1] e, in caso affermativo, determiniamo il valore di c. La funzione è polinomiale, quindi continua e derivabile in tutto R e a maggior ragione nell’intervallo assegnato. Possiamo allora applicare il teorema di Lagrange. f(a) = f(-1) = -2 f(b) = f (1) = 0 Calcoliamo la derivata nel punto c : f’(c) = 3c2 Deve essere allora: Poiché i valori trovati sono entrambi interni all’intervallo [-1, 1] esistono due punti c in cui la tangente è parallela alla corda che unisce i punti estremi.

I teoremi delle funzioni derivabili Teorema di Chauchy Teorema. Consideriamo due funzioni f(x) e g(x), entrambe definite in un intervallo [a, b], che soddisfino le seguenti ipotesi: a. siano continue in [a, b]; b. siano derivabili in (a, b); c. g’(x) non si annulli mai in (a, b); allora esiste almeno un punto c appartenente all’intervallo (a, b) per il quale vale la relazione

g’(x) = 4x non si annulla in tale intervallo. I teoremi delle funzioni derivabili ESEMPIO Siano f(x) = x3 e g(x) = 2x2 – 1 , entrambe definite nell’intervallo [1, 2] dove sono continue e derivabili. g’(x) = 4x non si annulla in tale intervallo. Troviamo il punto c che soddisfa la tesi del teorema: f(1) = 1 f(2) = 8 f’(x) = 3x2 g(1) = 1 g(2) = 7 g’(x) = 4x Il punto c è la soluzione dell’equazione

I teoremi delle funzioni derivabili Teorema di De L’Hospital Il teorema permette di calcolare agevolmente un limite quando si presenta nelle forme di indeterminazione oppure . Teorema. Siano f(x) e g(x) definite in un intorno I di un punto c, escluso al più c, che soddisfano le seguenti ipotesi: a. sono entrambi derivabili in I con g’(x) ≠ 0 in I b. per x  c , entrambe le funzioni tendono a 0 oppure entrambe tendono a c. per x  c , esiste il limite del rapporto delle loro derivate allora: Questo teorema vale per qualciasi c, finito o infinito che sia, e anche per x  c- oppure x  c+ .

I teoremi delle funzioni derivabili ESEMPI 1. Il limite si presenta nella forma Le funzioni al numeratore e al denominatore sono entrambe definite e derivabili in un intorno dello zero, escluso tale punto. Inoltre essendo g(x) = x si ha che g’(x) = 1 ≠ 0 Allora: 2. Il limite si presenta nella forma Le funzioni al numeratore e al denominatore e le loro derivate soddisfano le ipotesi del teorema di De L’Hospital, quindi possiamo scrivere:

Massimi e minimi di una funzione Massimi e minimi assoluti Considerata una funzione definita in un intervallo I, chiamiamo: massimo assoluto di in I il valore M, se esiste, per il quale minimo assoluto di in I il valore m, se esiste, per il quale

Massimi e minimi di una funzione Massimi e minimi relativi Sia f (x) una funzione definita in un intervallo [a, b], e sia x0 un punto di tale intervallo: il punto x è un punto di massimo relativo se esiste un intorno I (x0) per tutti i punti x del quale si ha che In tal caso f (x0) rappresenta il massimo relativo della funzione. il punto x0 è un punto di minimo relativo se esiste un intorno I (x0) per tutti i punti x del In tal caso f (x0) rappresenta il massimo relativo della funzione. La funzione a lato possiede due massimi relativi e un minimo relativo. Non ha minimo assoluto, ha massimo assoluto in corrispondenza del punto M2. I punti di massimo e di minimo relativo, che vengono anche detti punti estremanti, sono punti di massimo e di minimo a livello locale.

x0 x0 punto di massimo x0 x0 punto di minimo La ricerca dei punti estremanti Se una funzione è derivabile, i suoi punti di massimo e di minimo vanno ricercati tra i punti che annullano la derivata prima (punti stazionari). Si verifica che: se f’ (x) = 0 e f’ (x) è crescente in un intorno sinistro di x0 (f’(x) > 0) e decrescente in un intorno destro (f’(x) < 0), allora x0 è un punto di massimo. se f’ (x0) = 0 e f’ (x) è decrescente in un intorno sinistro di x0 (f’(x) < 0) e crescente in un intorno destro (f’(x) < 0), allora x0 è un punto di minimo. x0 + − x0 punto di massimo x0 + − x0 punto di minimo

La ricerca dei punti estremanti ESEMPIO Sia di dominio è continua e derivabile in D Calcoliamo la derivata prima 2 3 − + m M Ricerchiamo i punti stazionari Studiamo il segno di Dalla tabella deduciamo che il punto x = 2 è di massimo relativo e il massimo vale e che il punto x = 3 è di minimo relativo e il minimo vale

x = 2 è un punto stazionario mentre x = 0 e x = 4 non lo sono. Analisi di una funzione continua ma non derivante in x0 cioè Sia La funzione è continua in R, ma non è derivabile in x = 0 e in x = 4: Calcoliamo la derivata di 4 − + m M 2 x = 0 e x = 4 sono punti di minimo relativo mentre x = 2 è un punto di massimo relativo con m = 0 e M = 4. x = 2 è un punto stazionario mentre x = 0 e x = 4 non lo sono.

La concavità e i punti di flesso Sia una funzione continua e derivabile in un intervallo e sia t la retta tangente in un punto x0 interno ad

La concavità e i punti di flesso Se in un intorno sinistro di x0 la concavità è verso il basso e in un intorno destro è verso l’alto, il flesso si dice ascendente; Diciamo che un punto x0 è un punto di flesso se la concavità della curva è rivolta verso l’alto in un intorno sinistro di x0 e verso il basso in un intorno destro, o viceversa. In particolare: Se in un intorno sinistro x0 la concavità è verso l’alto e in un intorno destro è verso il basso, il flesso si dice discendente. La retta tangente nel punto di flesso viene detta tangente inflessionale.

La concavità e i punti di flesso

Individuazione della concavità e dei punti di flesso Questi due teoremi ci permettono di studiare la concavità di una funzione e di individuare i punti di flesso.

R Individuazione della concavità e dei punti di flesso ESEMPIO Consideriamo la funzione di dominio R; calcoliamo le derivate prima e seconda: La derivata seconda si annulla in x = 0 Studiamo il segno R − + è concava verso l’alto se x > 0, concava verso il basso se x < 0 e si annulla in x = 0: il punto (0; −6) è un punto di flesso.

se n è pari (derivata di ordine pari): La determinazione dei punti estremanti e dei punti di flesso con le derivate successive Teorema. Sia una funzione definita in un intervallo derivabile n volte al suo interno con derivata continua. Siano poi nulle in un punto x0 tutte le derivate a partire dalla prima fino a quella di ordine n − 1: Allora: se n è pari (derivata di ordine pari): se n è dispari (derivata di ordine dispari): Questo teorema è utile per determinare quali tra i punti stazionari sono estremanti oppure punti di flesso a tangente orizzontale.

Studiamo la natura dei punti stazionari della funzione di dominio R. La determinazione dei punti estremanti e dei punti di flesso con le derivate successive ESEMPIO Studiamo la natura dei punti stazionari della funzione di dominio R. e si ha che Calcoliamo le derivate successive in tali punti fino a che ne troviamo una che non si annulla. ed è:

Sia la prima derivata che non si annulla in x0: Allora: La determinazione dei punti estremanti e dei punti di flesso con le derivate successive Teorema. Sia una funzione definita in un intervallo derivabile n volte al suo interno con derivata continua. Sia x0 un punto per il quale si annulla la derivata seconda e quelle ad essa successive fino a quella di ordine n − 1: Sia la prima derivata che non si annulla in x0: Allora: se n è dispari (derivata di ordine dispari): se n è pari (derivata di ordine pari) la funzione non ha flesso in x0 ed ha: Con questo teorema possiamo individuare, se esistono, i punti di flesso di una funzione.

Troviamo, se esistono, i punti di flesso della funzione di dominio R. La determinazione dei punti estremanti e dei punti di flesso con le derivate successive ESEMPIO Troviamo, se esistono, i punti di flesso della funzione di dominio R. Calcoliamo la derivata seconda Troviamo i punti in cui si annulla: Calcoliamo le derivate successive in questi punti fino a che ne troviamo una che non si annulla. ed è: Calcoliamo le derivate successive in zero.