Funzioni continue su intervalli Teoremi fondamentali del calcolo differenziale

Teorema Se f(x) è una funzione continua in un intervallo I , allora f(I) è un intervallo.

Teorema di Weierstrass Se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato I , allora è dotata in I di massimo e minimo. M I m I

Teorema di Weierstrass Se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato I , allora è dotata in I di massimo e minimo. I

Teorema di Weierstrass Se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato I , allora è dotata in I di massimo e minimo. I

Teorema dei valori intermedi Se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato I , essa assume almeno una volta qualunque valore compreso tra il suo minimo assoluto e il suo massimo assoluto M k k / m  k M  xo / f(xo)=k m xo x1 x2

Teorema dell’esistenza degli zeri Se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato I=[a,b] , e se agli estremi dell’intervallo assume valori di segno opposto , essa si annulla in almeno un punto interno dell’intervallo f(b) se f(a)*f(b)< 0  c / f(c)=0 a < c < b a c b f(c)=0 f(a) Esempio: f(1)=-1,5 f(4)=3

Teorema di Rolle Sia f(x) una funzione continua in [a,b] e derivabile in ]a,b[ e tale che f(a)=f(b) allora esiste almeno un punto c  [a,b] tale che f(c)=0. Per il teorema di Weierstrass f(x) ha un massimi M e un minimo m 1° caso m=M  f(x) è costante  f(x)=0 x[a,b] f(x)=0 m=M a b

f(c)=0 a c b 2° caso m<M f(c)=0 sia c il punto interno ad [a,b] tale che f(c)=M f(c)=M scegliamo h tale che c+h [a,b]. f(c+h)-f(c)0 dividiamo per h f(c+h) se h>0 se h<0 f(a)=f(b) se facciamo tendere h a zero: poiché f(x) è derivabile in ]ab[ a c c+h b f(c)=0 Esempio in [1,4] si ha f(1)=f(4)=2

Sia f(x) una funzione continua in [a,b] e derivabile in ]a,b[ e tale che f(a)=f(b) allora esiste almeno un punto c  [a,b] tale che f(c)=0. x  [a,b] f(x)0. Esempio: f(a)=f(b) non è derivabile in x=3 a c b

Teorema di Lagrange o del valor medio Sia f(x) una funzione continua in [a,b] e derivabile in ]a,b[ allora esiste almeno un punto c  [a,b] tale che : Si considera f(b) g(a)=g(b) per il teorema di Rolle c  [a,b] tale che g(c)=0 f(a) a c b