Insiemi di punti: altre caratteristiche Diciamo che un insieme A è: limitato inferiormente se esiste un numero h tale che sia Il più grande di questi numeri h viene detto estremo inferiore di A e si indica con il simbolo inf(A). limitato superiormente se esiste un numero k tale che sia Il più piccolo dei numeri k viene detto estremo superiore di A e si indica con il simbolo sup(A) Se A è limitato sia inferiormente che superiormente, diciamo semplicemente che è limitato. Se inf A e sup A appartengono ad A: inf A rappresenta il minimo di A sup A rappresenta il massimo di A Di un insieme A che non è limitato si dice che è illimitato; in questo caso: se è illimitato inferiormente: se è illimitato superiormente:

Insiemi di punti: altre caratteristiche ESEMPI L’insieme A dei numeri reali che appartengono all’intervallo è limitato inferiormente ma non superiormente ed è: è anche il minimo dell’insieme. L’insieme B dei numeri reali che appartengono all’intervallo è limitato superiormente ma non inferiormente ed è non è il massimo perché non appartiene a B. L’insieme C dei numeri reali che appartengono all’intervallo è limitato sia superiormente sia inferiormente; diciamo quindi che è limitato ed è: il minimo di C non esiste perché non appartiene a C; è il massimo.

Una funzione f (x) è quindi continua in x0 se: esiste f (x0) Funzioni continue Funzioni continue Sia f (x) una funzione definita almeno nell’intorno di un punto x0. Diciamo che f (x) è continua in x0 se esiste finito il limite per x che tende a x0 di f (x) ed è: Una funzione f (x) è quindi continua in x0 se: esiste f (x0) esiste finito i due valori coincidono. y x a y x b La funzione non è continua in a La funzione è continua in b

Funzioni continue ESEMPIO Verifichiamo che la funzione è continua in . La funzione ha come dominio R ed è quindi definita in un intorno del punto 2. Calcoliamo : Calcoliamo : Avendo trovato due valori uguali, la funzione è continua.

Funzioni continue La continuità dalla destra e dalla sinistra Una funzione f(x) è: continua dalla sinistra in x = x0 se continua dalla destra in x = x0 se ESEMPIO La funzione f(x) è: è continua dalla destra in x0 = 0 perché Poiché la funzione non è continua dalla sinistra e quindi non è continua in x0 = 0.

La continuità di un intervallo Funzioni continue La continuità di un intervallo Diciamo che una funzione , definita in un intervallo , è continua in se è continua in tutti i punti dell’intervallo e se è continua dalla destra in e dalla sinistra in . a b c y x La funzione è continua in , è continua in ma non è continua in perché non lo è in .

Funzioni continue Sono continue in ogni punto del loro dominio: la funzione costante la funzione potenza la funzione esponenziale la funzione logaritmica le funzioni goniometriche , , e le loro inverse. Se e sono funzioni continue, risultano continue anche le funzioni: (con n intero positivo) (se )

Funzioni continue ESEMPI , che ha come dominio , è continua in ogni punto di in quanto somma di funzioni continue. , che ha come dominio , è continua in ogni punto di in quanto prodotto di funzioni continue. , è continua nel dominio in quanto quoziente di funzioni continue. , è continua nel dominio in quanto funzione composta dalle due funzioni continue ed .

Le proprietà delle funzioni continue Ricordiamo che si dice zero di una funzione il valore della variabile per il quale L’esistenza degli zeri per le funzioni continue è precisata dal: Teorema (di Bolzano sull’esistenza degli zeri). Se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato e se e sono di segno opposto, allora esiste almeno un punto tale che . Interpretazione grafica: Se una funzione continua è per esempio positiva in a e negativa in b, deve necessariamente attraversare l’asse delle ascisse almeno in un punto (nel caso della funzione in figura gli zeri sono tre).

Le proprietà delle funzioni continue ESEMPI Stabiliamo se la funzione ammette zeri nell’intervallo . La funzione è continua in R e quindi lo è anche nell’intervallo . La funzione assume valori di segno opposto agli estremi dell’intervallo: e Per il Teorema di Bolzano, esiste almeno uno zero in [0,1]. Stabiliamo se la funzione ammette zeri nell’intervallo o nell’intervallo . In la funzione non è continua in quanto non è definita in x = 0. In la funzione è continua; valutiamola agli estremi dell’intervallo: La funzione assume valori dello stesso segno. In entrambi i casi non tutte le ipotesi del teorema sono verificate, non è quindi garantita l’esistenza degli zeri in tali intervalli.

Le proprietà delle funzioni continue Teorema di Weierstrass Se un funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato , esiste almeno un punto in dove assume il valore massimo ed almeno un punto dove assume il valore minimo. Il massimo M e il minimo m della funzione si possono trovare in corrispondenza di uno dei punti estremi oppure di un punto interno a , come illustrato nelle seguenti figure:

Le proprietà delle funzioni continue ESEMPI Consideriamo la funzione nell’intervallo , essa è definita e continua in tutto R, quindi a maggior ragione in I, e ammette pertanto il massimo e il minimo in questo intervallo. La funzione invece, non è continua nell’intervallo poiché non è definita in x = 3; pertanto non è garantita l’esistenza del minimo e del massimo in questo insieme.

Le proprietà delle funzioni continue Teorema dei valori intermedi Una funzione continua in un intervallo assume almeno una volta tutti i valori compresi tra il minimo m e il massimo M. Interpretazione grafica: se una funzione è continua, ogni retta , con k variabile tra m e M, interseca il grafico di in almeno un punto.

Le proprietà delle funzioni continue ESEMPIO La funzione è una funzione omografica. La funzione è continua nell’intervallo Assume il suo valore minimo in ed è Assume il suo valore massimo in ed è Possiamo quindi affermare che in I assume almeno una volta ogni valore compreso tra e .

I punti di discontinuità delle funzioni Se una funzione f (x) di dominio D non è continua in un punto x0, di accumulazione per D, si dice che x0 è un punto di discontinuità o anche un punto singolare. Un punto x0 è quindi di discontinuità se: la funzione è definita in x0 e la funzione non è definita in x0 ma esistono il limite sinistro e destro per

I punti di discontinuità delle funzioni ESEMPIO La funzione ha dominio e non è quindi definita ; questo punto è però di accumulazione per . Non esiste quindi ma è possibile valutare il limite di per ed è . Il punto è un punto di discontinuità.

I punti di discontinuità delle funzioni Classificazione dei punti di discontinuità – Discontinuità di prima specie Una funzione presenta in una discontinuità di prima specie se i limiti sinistro e destro per che tende a sono finiti e sono diversi: ed è La differenza tra i due limiti si dice salto della funzione. ESEMPIO La funzione è discontinua in x = 0, poiché: i due limiti sono diversi La discontinuità è di prima specie con salto pari a

I punti di discontinuità delle funzioni Classificazione dei punti di discontinuità – Discontinuità di seconda specie Una funzione presenta in una discontinuità di seconda specie se almeno uno dei limiti per , sinistro e destro, è infinito o non esiste.

I punti di discontinuità delle funzioni ESEMPI La funzione non è definita in e presenta in questo punto una discontinuità. Poiché la discontinuità è di seconda specie. La funzione non è definita in . Calcoliamo il limite per : non esiste quindi in la funzione presenta una discontinuità di seconda specie.

I punti di discontinuità delle funzioni Classificazione dei punti di discontinuità – Discontinuità di terza specie Una funzione presenta in una discontinuità di terza specie se esiste finito il limite , ma o non esiste, oppure è un valore diverso da quello del limite: e con non esiste La funzione può essere resa continua modificando la sua definizione nel punto in modo da farle assumere il valore del limite (discontinuità eliminabile).

I punti di discontinuità delle funzioni ESEMPIO La funzione di equazione Presenta in 2 una discontinuità di terza specie, infatti Possiamo ridefinire la funzione in modo che sia continua in 2, ponendo: y x 2 3 -2 -4

Gli asintoti di una funzione Una retta r rappresenta un asintoto per una funzione quando la sua distanza dal grafico di tende a zero al tendere all’infinito dell’ascissa oppure dell’ordinata. Tipologie di asintoto k

Gli asintoti di una funzione L’asintoto orizzontale La retta di equazione è un asintoto orizzontale per una funzione se si verifica una delle seguenti situazioni: In particolare parliamo di: Asintoto orizzontale completo se f (x) ha per limite k in un intorno di ∞: Asintoto orizzontale destro f (x) ha per limite k in un intorno di +∞: Asintoto orizzontale sinistro f (x) ha per limite k in un intorno di −∞:

Gli asintoti di una funzione ESEMPI Consideriamo la funzione che ha dominio e valutiamo il suo limite per la retta è un asintoto orizzontale completo Consideriamo la funzione che ha dominio l’insieme e valutiamo il suo limite per la retta è asintoto orizzontale sinistro la retta è asintoto orizzontale destro

Gli asintoti di una funzione L’asintoto verticale La retta di equazione è un asintoto verticale per una funzione se si verifica che: Se il limite è infinito solo per oppure per diciamo che la retta è rispettivamente un asintoto verticale sinistro, un asintoto verticale destro. I valori di devono essere ricercati tra i punti che sono esclusi dal dominio della funzione ma che sono di accumulazione per .

Gli asintoti di una funzione ESEMPI Consideriamo la funzione che ha dominio La retta è un asintoto verticale. Calcoliamo: In particolare: Consideriamo la funzione definita in ; La retta x = 2 è un asintoto verticale destro. Calcoliamo:

Gli asintoti di una funzione L’asintoto obliquo La retta di equazione è un asintoto obliquo per una funzione se: Se possiede un asintoto obliquo , i valori e sono dati dalle relazioni: e Se le precedenti relazioni valgono solo per oppure per , diremo che la retta rappresenta un asintoto obliquo rispettivamente sinistro oppure destro per .

Gli asintoti di una funzione ESEMPIO Stabiliamo se la funzione possiede un asintoto obliquo. Calcoliamo m : Calcoliamo q : L’asintoto obliquo esiste ed ha equazione

Gli asintoti di una funzione Un caso particolare La una funzione razionale fratta ha sempre un asintoto obliquo se il grado del numeratore supera di una unità il grado del denominatore: grado n+1 grado n In questo caso, eseguendo la divisione troveremo un quoziente di primo grado e un resto di grado minore di n, cioè: 0 per : asintoto obliquo

Gli asintoti di una funzione ESEMPIO Calcoliamo con questo metodo l’equazione dell’asintoto obliquo della funzione dell’esempio precedente: eseguiamo la divisione tra numeratore e denominatore: L’asintoto obliquo ha perciò equazione

Gli asintoti di una funzione La ricerca degli asintoti Data una funzione , elenchiamo di seguito i passi da seguire per individuare gli asintoti. Si ricercano gli asintoti verticali tra i punti che sono esclusi dal dominio della funzione e che sono di accumulazione per esso. Se il dominio contiene intorni di , si ricercano gli asintoti orizzontali. Se una funzione ha asintoto orizzontale, non può averne anche uno obliquo; quindi solo nel caso in cui non esistono asintoti orizzontali, si procede alla ricerca degli asintoti obliqui.

Gli asintoti di una funzione ESEMPIO Ricerchiamo gli asintoti della funzione quindi la retta di equazione è asintoto verticale completo quindi non esiste l’asintoto orizzontale. Poiché e la funzione ammette asintoto obliquo di equazione .