Limiti e funzioni continue Classe 5 alberghiero

Definizione generale di limite Sia f una funzione definita in un intervallo [a;b] escluso al più un punto x0. Si dice che f ha limite L per x che tende a x0 e si scrive Limx→x0 f(x) = L Quando dato un numero ε qualsiasi si può sempre trovare un intorno H del punto x0 tale per cui per ogni x dell’intorno risulta: |f(x)-L|<ε

Forme di indecisione

FUNZIONI CONTINUE DEFINIZIONE: si dice che la funzione f:[a;b]→R è continua in un punto c dell’intervallo [a;b] se il limx → c f(x) = f(c) Tutte le funzioni elementari sono continue

Punti di discontinuità Se una funzione f(x) non è continua in un punto x=c allora il punto è detto punto di discontinuità. I punti di discontinuità possono essere di tre tipi: Prima specie Seconda specie Terza specie

Discontinuità prima specie Si dice che f ha un punto di discontinuità di prime specie se il limite destro e sinistro della funzione per x che tende a c sono entrambi finiti ma diversi fra loro:

Discontinuità di seconda specie Si dice che la funzione f ha un punto di discontinuità di seconda specie nel punto c se uno dei limiti, destro o sinistro, della funzione non esiste o è infinito.

Discontinuità di terza specie Si dice che la funzione f ha un punto di discontinuità di terza specie nel punto c se la funzione ha limite finito L per x che tende a c, ma la funzione non è definita in c oppure f(c)≠L.

Asintoti Si dice che una retta r è un asintoto per la funzione f se, preso un punto P della funzione e la sua proiezione H sulla retta, la distanza PH tende a zero al tendere di una delle coordinate di P all’infinito. Ci sono tre tipi di asintoti: Verticale Orizzontale Obliquo

Asintoto orizzontale Si dice che la retta y=a è asintoto orizzontale per la funzione f se lim x→+∞ f(x) = a oppure se lim x→-∞ f(x) = a

Asintoto verticale Si dice che la retta x=c è asintoto verticale per la funzione f se lim x→c f(x) = + ∞ oppure se lim x→c f(x) = - ∞

Asintoto obliquo Si dice che la retta y= mx+q è asintoto obliquo per la funzione f se lim x→ ∞ [f(x)-mx-q]=0. Per calcolare i parametri m e q: m= lim x→ ∞ f(x)/x q= lim x→ ∞ [f(x)-mx]

Esercizi Discontinuità. Pag 240 da 178 a 181. Asintoti: pag 246 es. 211, 212, 214, 220. Calcolo dei limiti: pag. 223 es 42, 44, 50, 73, 105. Studio di funzione completo: es 222 pag. 247.