Fil Log 17-18 Lezioni 10-11 23/10/17

Nota su interpretazione sostituzionale e “pragmatism” di S. Haack Supponiamo di interpretare sostituzionalmente i quantificatori. Allora xFx = esiste un nome “n” tale che “Fn” è vero Andiamo contro l’eliminazione dei nomi proposta da Quine Haack pragmaticamente suggerisce di usare l’intepretazione oggettuale o quella sostituzionale a seconda delle convenienze Per es., a Quine non piace la quantificazione su predicati perché ci impegna a oggetti astratti. Ma sarebbe OK con la quantificazione sostituzionale. Ma è così? Per cosa stanno i nomi corrispondenti alle variabili predicative?

Che cosa sono i paradossi e perché sono un problema I paradossi logici sono (il risultato inaccettabile di) ragionamenti (argomentazioni) almeno prima facie deduttivamente corrette. Da un lato, queste argomentazioni appaiono deduttivamente valide e dovrebbero quindi indurci a credere alle conclusioni a cui ci portano. Dall'altro, non riusciamo a credere a queste conclusioni, perché assurde. Vi è quindi una tensione da risolvere.

Paradossi logici vs. semantici Haack p. 150

Menu Paradosso di Russell per insiemi e per proprietà Paradosso di Cantor per gli insiemi Paradosso del mentitore Paradosso di Curry (2 versioni)

Ingredienti Paradossi sulle proprietà o insiemi: LC e conversion lambda Paradossi sulla verità: LC e bicondizionale di Tarski

“soluzioni” tradizionali Teoria assiomatica degli insiemi ZF Gerarchia dei linguaggi di Tarski Teoria dei tipi Teoria ramificata dei tipi

Logica Classica LC =df Logica classica (comprendente regole/assiomi quali terzo escluso, non-contraddizione, MP, DN, regole standard per l'identità, ecc.) Esempi autoevidenti che giustificano LC: 1. se Mario è un uomo, allora Mario è mortale 2. Mario è un uomo 3.  Mario è mortale EFQ (Ex falso quodlibet): da una contraddizione segue qualsiasi proposizione: P, ~P  A

Il bicondizionale di Tarski Bicondizionale di Tarski: per ogni enunciato A, e per ogni termine singolare “s” che denota A, s è vero <-> A Esempi autoevidenti che giustificano il bic. di Tarski: "la neve è bianca" è vera <-> la neve è bianca Se scrivo una sola frase sulla lavagna, ossia: la neve è bianca allora “la frase sulla lavagna” denota tale enunciato e quindi: la frase sulla lavagna è vera <-> la neve è bianca

-conv In generale, scriviamo [x A(x)], dove A è una qualunque formula ben formata contenente la variabile x libera Oppure: x: A(x) -conv. [x A(x)](d)  A(x/d) d  [x A(x)]  A(x/d) Mario è imprudente (appartiene all'insieme degli imprudenti) se e solo se non si dà il caso che Mario è prudente [x ~Px] (m)  ~Pm m  [x ~Px]  ~Pm

Mario è un italiano imprudente (appartiene all'insieme degli italiani imprudenti) se e solo se Mario è italiano e non si dà il caso che Mario è prudente m  [x (Ix & ~Px)]  (Im & ~Pm) Ecc.

Il mentitore 0. Vi è un’unica frase sulla lavagna, cioè: ~ la frase scritta sulla lavagna è vera [abbr.: M]. E quindi “la frase scritta sulla lavagna” è un termine singolare che denota M 1. M = ~ la frase scritta sulla lavagna è vera 2. la frase scritta sulla lavagna è vera <-> M (da 0, 1 e Tarski) 3. la frase sulla lavagna è vera <-> ~ la frase sulla lavagna è vera (da 1 e 2) 4. la frase sulla lavagna è vera (ip.) 5. ~ la frase sulla lavagna è vera (da 3 e 4) 6. la frase sulla lavagna è vera -> ~ la frase sulla lavagna è vera (da 4-5per intro cond) 7. ~ la frase sulla lavagna è vera (ip.) 8. la frase sulla lavagna è vera (da 3 e 7) 9. ~ la frase sulla lavagna è vera -> la frase sulla lavagna è vera (da 7-8 per intro cond) 8. la frase sulla lavagna è vera v ~ la frase sulla lavagna è vera 9. la frase sulla lavagna è vera & ~ la frase sulla lavagna è vera (da 6, 9, 11, per intro v)

Paradosso di Russell R = La classe delle classi che non appartengono a se stesse la classe dei cavalli appartiene a R, perché, essendo un insieme e non un cavallo, non si trova dentro se stessa (contiene solo cavalli e non contiene quindi degli insiemi), e dunque appartiene alla classe delle cose che non contengono se stesse, ossia R. La classe delle cose astratte non appartiene a R, perché, essendo essa stessa astratta, contiene se stessa e quindi NON appartiene alla classe delle cose che non contengono se stesse, ossia R.

Paradosso di Russell Derivazione Insieme (o Proprietà) di Russell R =df [x ~x  x] Ipotesi 1: RR ~R  R (per -conv) Ipotesi 2: ~(R  R) ~~(R  R) (per LC) R  R (per DN)  ~(R  R) & R  R (per LC)

Paradosso di Cantor Presupposti A  B =df x(x  A → x  B) P(A) =df insieme potenza di A, ossia insieme di tutti i sottoinsiemi di A, ossia [S S  A] V =df [x x = x] (insieme di tutti gli insiemi) A > B =df A ha cardinalità maggiore di ("contiene più elementi di") B Banale teorema di teoria degli insiemi: A  B → B  A Teorema di Cantor: P(A) > A

Paradosso di Cantor Derivazione y = y (qualsiasi oggetto è autoidentico) y  [x x = x] (per  -conv) y  V (per df di V) y  P(V) → y  V (per LC, una verità è implicata da qualsiasi cosa) y(y  P(V) → y  V) (introduzione di ) P (V)  V (per df di ) V  P (V) (per il banale teorema) P (V) > V (per il teorema di Cantor) contraddizione: P (V) è più grande di V e nello stesso tempo V è maggiore di o uguale a P (V)

Paradosso di Curry (il peggiore!) C =df [x x  x → A] A =df la luna è fatta di gorgonzola (o quello che vi pare) Ipotesi 1: C  C C  C → A (per -conv) A (per MP) Ipotesi 2: ~C  C ~(C  C → A) (per -conv) C  C & ~A (per LC) C  C (per eliminazione di &) C  C & ~C  C (per introduzione di &) Contraddizione L'ipotesi 2 va quindi scartata  A (la luna è fatta di gorgonzola!)

Paradosso di Curry (versione contingente) 0. C’è quest’unica frase sulla lavagna: la frase sulla lavagna è vera -> la luna è di gorgonzola [abbr.: C] e dunque « la frase sulla lavagna » è un term. singolare che denota C 1. la frase sulla lavagna è vera -> la luna è di gorgonzola = C (da 0) 2. la frase sulla lavagna è vera <-> C (per il Bic. di Tarski e il fatto 0) 3. la frase sulla lavagna è vera (ipot.) 4.C (da 2 e 3) 5. la frase sulla lavagna è vera -> la luna è di gorgonzola (da 1 e 4) 7. la luna è di gorgonzola (da 3 e 5, per MP) 8. la frase sulla lavagna è vera -> la luna è di gorgonzola (da 3-4, per intro del cond.) 9. C (da 8 e 1) 10. la frase sulla lavagna è vera (da 2 e 9) 11. la luna è di gorgonzola (da 8 e 10 per MP)

L’utilità delle deduzioni Ragionamento = "passaggio" sulla base di regole di inferenza da alcune premesse a una conclusione, che tipicamente serve ad aggiungere una nuova credenza (la conclusione) a credenze date (premesse). Per esempio, se credo che tutto ciò che dice Marta è vero e scopro che ha detto “Mario è un italiano imprudente”, ragionando con LC, Bic. di Tarski, ecc., deduco e quindi credo che Mario non è prudente: Il ragionamento ha la funzione di permetterci di scegliere una credenza piuttosto che un'altra al fine di indirizzare le nostre azioni. Decidiamo, per es., di non fidarci di Mario al volante. “Il sistema globale” (LC + Bic. di Tarski + -conv, …) sembra fornire un insieme affidabile di regole per il ragionamento deduttivo, che noi di fatto utilizziamo con un indubbio vantaggio per la sopravvivenza (ci risparmiamo un incidente con Mario). E’ allora caratterizzabile, prima facie, dalla teoria logica, come "il nostro sistema deduttivo".

Una credenza vale l’altra? Ipotizziamo che indeciso se debba fare la spesa o meno, valuto se credere che il frigorifero sia pieno oppure no. Ragiono come segue: con l'argomentazione del paradosso del mentitore o di Russell derivo una contraddizione. Poi applico EFQ e concludo che il frigorifero è pieno. Oppure, sfruttando il paradosso di Curry concludo che il frigorifero è pieno (anziché la luna è fatta di gorgonzola). Ma si dà il caso che il frigorifero è vuoto. Le regole si mostrano non affidabili! Come si risolve questa tensione tra affidabilità e non affidabilità? Di fatto non argomentiamo mai come nell'esempio del frigorifero. Perché?

Risposta tradizionale L'idea di fondo è che le regole deduttive sono vero-preservanti e quindi dobbiamo aver fatto qualche errore nell'arrivare a sostenere che il sistema globale costituisce un sistema deduttivo (il nostro). La teoria logica che ci porta a questa tesi va quindi cambiata in uno dei tre modi che vedremo tra poco. Cfr., per es., questa citazione (p. 12) da Louise Antony, "A naturalized approach to the a priori", Philosophical Issues, 14, 2004, pp. 1-17: "I may, perhaps, feel that I have direct intuitions as to the content of the true logical laws, but if I am right on a distinction between possessing a logic, and possessing a belief about a logic, there should be room for divergencies. Certainly, it must be possible ... for us to have an intuition ... that some proposition is [logically] true, when it's actually false. Frege, let us not forget, thought that he Axiom of Comprehension was self-evident".

Cambiare grammatica Per la teoria dei tipi semplici di Russell, gli insiemi (o le proprietà) sono disposti in una gerarchia. Dobbiamo sempre indicare il livello a cui un insieme appartiene: x0, x1, ..., ed è grammaticalmente vietato fare asserzioni del tipo xn  xn. I paradossi insiemistici risultano informulabili. Nella teoria dei metalinguaggi di Tarski, esiste una gerarchia di linguaggi, ciascuno con il suo predicato di verità, ed è grammaticalmente vietato applicare Vn ad una frase che contiene Vn, Vn+1, ecc.: il mentitore diventa informulabile. La teoria dei tipi ramificata di Russell è (semplificando) una sorta di fusione della teoria semplice con la teoria di Tarski.

Proposta di Ramsey La teoria ramificata rende problematico il logicismo Ramsey: Abbandonare le ramificazioni e utililzzare la teoria dei tipi semplice E’ sufficiente per I fondamenti della matematica (di fatto i matematici hanno privilegiato ZF) (possiamo utilizzare Tarski per i paradossi semantici)

Teoria dei tipi semplice Individuals are of type e (or, we may say, of type 1), which is the only basic type; then, for any types t1, …, tn; there are n-adic properties or relations of type <t1, …, tn> Thus, in particular there is the type, <e> (or 2, in short) of properties of individuals, the type, <<e>> (3, in short), of properties of properties of individuals, and so on.

In line with this, the adopted formal language has, for each type t, a countable infinity of nonlogical constants and a countable infinity of variables, each of which is said to be a symbol of type t. An atomic wff is any sequence of the form Ss1 … sn ((for readability, we may write S(s1, …, sn))), where S, s1, …, sn are symbols of types <t1, …, tn>, t1, …, tn, respectively.

Then, if A and B are wffs, so are ¬A, (A & B), and xA for any variable x of any type. Moreover, if A is a wff then [x1 ... xn A] is a symbol of type <t1, …, tn>, where t1, …, tn, are the types of the variables x1 ... x, respectively.

Nota critica sulla proposta di cambiare la grammatica Questo approccio è in netto contrasto con la realtà del linguaggio così come lo utilizziamo di fatto. Inoltre, porta a delle assurdità. Per esempio, vorremmo poter dire dal punto di vista della teoria dei tipi: Per ogni insieme x, x appartiene ad un certo livello gerarchico. Ma la teoria stessa ce lo vieta.

Mentitore con variabili enunciative E’ un problema per la teoria dei tipi che ammette tali variabili (non presenti in PM, aggiunte da Church) Vedi hand-out

Paradosso Orilia-Landini Problema per la teoria dei tipi senza variabili enunciative Vedi hand-out

Teoria dei tipi ramificata Vedi file “teoria dei tipi”

Circoscrivere -conv E' in un certo senso l'approccio seguito nella teoria assiomatica degli insiemi ZF di Zermelo e Fraenkel (et similia). ZF postula una costruzione di insiemi "a livelli", in cui gli insiemi possono avere come membri solo elementi dei livelli inferiori. Quindi non ci sono l’insieme di Russell e l’insieme universale, che ingloba tutto. -conv vale solo per quegli insiemi così postulati. ZF è diventato standard in matematica, ma ha i suoi problemi filosofici, soprattutto se trasferito dagli insiemi alle proprietà: sembra assurdo negare che vi sia una proprietà universale come l'autoidentità. Sono state quindi sviluppate tante altre vie alternative per circoscrivere -conv (tra le quali Orilia, JSL 2000). Non risultano deduttivamente valide alcune argomentazioni che vorremmo considerare tali.

Circoscrivere LC Questa strada è stata seguita già dalla seconda metà del 900, per es. da Fitch, e gli approcci in questa direzione continuano a proliferare. Da notare come anche regole molto elementari di LC, come MP, sono coinvolte nei paradossi. Ne sistema di Priest, MP non è valido e ci sono contraddizioni vere! Appare difficile enucleare in modo convincente una sottoparte di LC esente da problemi. Non risultano deduttivamente valide alcune argomentazioni che vorremmo considerare tali

Soluzione standard Teoria dei tipi semplici e teoria degli insiemi ZF Teoria semantica di Tarski