Metodi di previsione economica a breve termine

Modelli economici I motivi per cui vengono formulati modelli statistici sono molteplici la formulazione di un particolare modello risente spesso delle finalità per cui questo viene elaborato Scopo esplicativo  modelli di regressione Scopo previsivo modelli di serie storiche

Modelli economici In generale un modello viene costituito per uno dei seguenti obiettivi: 1. descrittivo: in tal caso al modello si richiede semplicemente di rappresentare più o meno fedelmente, la realtà osservata 2. interpretativo: il modello non solo deve fornire una “buona” rappresentazione della realtà ma deve mettere in evidenza relazioni fra diversi fenomeni o componenti facilmente interpretabili e riconducibili a precise teorizzazioni 3. previsionale: in tal casol’obiettivo del modello è quello di fornire previsioni sull’andamento futuro del fenomeno

Modelli economici Naturalmente un modello può fallire nel suo scopo In tal caso è necessario stabilire perché il modello non soddisfa quell’obiettivo e trovare il modo per superare tale ostacolo In genere è utile provare a formalizzare più di un modello e verificare ex-post quale di essi si adatta meglio al fenomeno che si vuole studiare

Modelli economici Le fonti di errore nell’elaborazione di un modello sono sostanzialmente dovute ad una o più delle seguenti cause: La teorizzazione che è stata fatta sul fenomeno non regge alla prova dei fatti e quindi il modello elaborato non si conforma alla realtà osservata Si evidenzia una non corretta formulazione/identificazione del modello: pur avendo individuato le variabili che teoricamente devono entrare nel modello, queste sono utilizzate in modo non corretto La quantità e la qualità dei dati a disposizione non è sufficiente a garantire una stima attendibile dei parametri, oppure il metodo di stima utilizzato non è affiadbile

Modelli previsionali Previsione – supporre ciò che avverrà basandosi su indizi più o meno sicuri, induzioni, ipotesi, congetture Predizione – annunciare in precedenza l’avverarsi di cose future per ispirazione profetica, divina, paranormale in seguito a ipotesi o induzioni fondate su esperienze pregresse o sulla base di calcoli e dati scientifici La previsione scientifica si differenzia per: Il modo di osservare i dati correnti I metodi deduttivi utilizzati Il rigore metodologico

Modelli previsionali L’analisi dei futuri possibili è importante al fine di individuare il futuro desiderabile e di mettere in atto le strategie necessarie per raggiungerlo Tre possibili approcci: Estrapolativo: si basa sull’ipotesi di invarianza nel corso del tempo dell’andamento delle variabili del modello Proiettivo: punta a prefigurare che cosa si riscontrerebbe nel caso in cui si verificassero determinati eventi Normativo: punta all’individuazione delle strategie di intervento che dovrebbero consentire il raggiungimento di uno o più obiettivi ritenuti possibili

Modelli previsionali Vengono classificati in base: 1) Orizzonte temporale di previsione: - a breve termine - lungo termine 2) Natura delle informazioni elaborate: - previsioni qualitative - previsioni statistiche (quantitative)

Modelli previsionali

Il metodo Delphi L'oracolo di Delfi era il più importante oracolo dell'antica Grecia. Si trattava di un oracolo sito a Delfi, attribuito a Apollo, dio che si propone come il principale tramite tra l'onnisciente Zeus e gli uomini. Il metodo Delphi consiste nel sottoporre ad un gruppo di esperti uno o più quesiti su cui devono fornire valutazioni successive L’utilizzo di un campione di esperti dovrebbe garantire rispetto ai rischi connessi al giudizio di una sola persona Il processo di apprendimento graduale garantisce valutazioni coerenti da parte del gruppo Gli esperti non si confrontano direttamente  mancanza della leaderschip L’obiettivo è quello di giungere al consenso

Il metodo degli scenari Previsioni di tipo normativo: il metodo esamina con sistematicità le possibili conseguenze di alcune situazioni future Si prefigurano situazioni possibili coerenti rispetto ad un insieme di ipotesi specifiche cercando di valutarne la probabilità Non una sola previsione ma un insieme di possibili previsioni Possibilità di integrare diversi approcci con procedure di tipo iterativo

I metodi quantitativi Il futuro è influenzato dal passato MA non è interamente prevedibile  no previsioni esatte L’analisi delle serie temporali si basa sul presupposto che le osservazioni di un fenomeno nel corso del tempo sono generate da una struttura probabilistica sconosciuta della quale si vogliono stimare i parametri

I metodi quantitativi La serie temporale è configurabile come realizzazione finita di un qualche processo stocastico sottostante (sconosciuto) del quale si vogliono stimare alcune caratteristiche a partire dalle informazioni fornite dalla serie osservata Si punta all’individuazione di un modello statistico con caratteristiche e proprietà simili a quelle del meccanismo generatore del processo  Questo modello sarà quindi utilizzato per fare previsione Zt+k

Modelli stocastici di Box-Jenkis

Modelli stocastici di Box-Jenkis Processo stocastico: evoluzione temporale di un fenomeno regolata da leggi aleatorie Il processo identifica una serie di variabili casuali ordinate secondo il tempo Z(t) La serie temporale osservata z(t) è una particolare realizzazione finita del processo stocastico Z(t)  Le serie economiche temporali presentano solitamente una sola osservazione per ogni indice temporale corrispondente al processo

Modelli stocastici di Box-Jenkis La conoscenza del processo si limita in genere alla conoscenza del momento primo e secondo: L’autocovarianza è un indice delle relazioni lineari eistenti fra le variabili casuali con sfasamento uguale a k

Modelli stocastici di Box-Jenkis Il processo deve risultare: Stazionario – con media e varianza costanti nel tempo e autocovarianza indipendente dal tempo il prcesso è invariante nel tempo Gaussiano – le variabili casuali Z(t) sono di tipo Normale Ergodico – Non possiede memoria. L’autocovarianza tende a zero al crescere dello sfasamento temporale Invertibile – non possibile molteplicità di modelli corrispondenti

Modelli stocastici di Box-Jenkis Funzione di autocorrelazione globale r(k): E’ il coefficiente di correlazione lineare fra le variabili Zt e Zt+k con k=0,1,2…k Quando k=1 autocorrelazione del 1° ordine K=2 autocorrelazione del 2° ordine ….. Zt+k

Modelli stocastici di Box-Jenkis Funzione di autocorrelazione globale r(k) Il fatto che il processo sia stato ipotizzato stazionario implica che: l’autocovarianza dipenda solamente dallo sfasamento temporale k e non dal tempo t le varianza al tempo t e al tempo k sono costanti e uguali a g(0) Zt+k

Modelli stocastici di Box-Jenkis Funzione di autocorrelazione parzial p(k) Definisce la correlazione tra Zt e Zt+k al netto degli effetti delle variabili intermedie Zt+k

Modelli stocastici di Box-Jenkis In sintesi: È possibile stabilire un’analogia fra la serie temporale osservata e un campione casuale Le condizioni di stazionarietà e invertibilità del processo assicurano la corrispondenza del modello e la funzione di autocorrelazione L’analisi delle proprietà dei processi stocastici si basa sulle funzioni di autocorrelazione globale e parziale La serie temporale è configurabile come realizzazione finita di un qualche processo stocastico sottostante (sconosciuto) del quale si vogliono stimare alcune caratterisstiche a partire dalle informazioni fornite dalla serie osservata Zt+k

Modelli stocastici di Box-Jenkis Stima dei parametri del processo attraverso la serie osservata La media campionaria è uno stimatotre corretto e consistente della media m del processo stazionario L’autocovarianza campionaria è uno stimatore distorto ma consistente Zt+k

Modelli stocastici di Box-Jenkis Stima dei parametri del processo attraverso la serie osservata La varianza campionaria si ottiene ponendo k=0 Zt+k

Modelli stocastici di Box-Jenkis L’ipotesi di fondo è che i residui siano generati da un processo stocastico puramente aleatorio (rumore bianco) M.S.Bartlett ha dimostrato che se una successione di n dati è generata da un processo stocastico rumore bianco i coefficienti di autocorrelazione campionari sono distribuiti in modo: Approsimativamente Normale Hanno media nulla Hanno varianza uguale a 1/n Sono incorrelati tra loro  Si può respingere l’ipotesi di successione puramente aleatoria ad un livello di significatività del 5% quando i valori dei coefficienti di autocorrelazione sono esterni all’intervallo [-2/√n;+ 2/√n] Zt+k

Modelli stocastici di Box-Jenkis Modelli di regressione: si tenta di spiegare l’andamento della variabile dipendente tramite la combinazione lineare di una o più variabili Modelli ARIMA: si tenta di spiegare l’andamento della variabile dipendente tramite i valori passati della stessa variabile e il caso

Modelli ARIMA I modelli teorici che vanno sotto questo nome sono numerosi ma tutti derivano da quattro modelli fondamentali: 1) Modello autoregressivo AR(p) 2) Modello a media mobile MA(q) 3) Modello misto autoregressivo e a media mobile ARMA (p,q) 4) Modello integrato ARIMA(p,d,q)

1) Modello autoregressivo AR(p) Il valore osservato della serie zt è esprimibile mediante la combinazione lineare di p parametri immediatamente precedenti e di una componente casuale zt=f1zt-1+f2zt-2+……….fpzt-p+at Dove: - zt , zt-1 , zt-2, ….zt-p rappresentano i valori della serie temporale al tempo t - f1,f2,……….fp costituiscono i coefficienti del modello teorico da stimare -at è la componente residua

1) Modello autoregressivo AR(1) Il modello AR(1) è esprimibile come combinazione lineare delle variabili casuali at e dalla variabile casuale z1 riferita l momento iniziale del processo  Se |f|<1 il processo è convergente e approssimabile al processo stazionario

2) Modello a media mobile MA(q) Z è anche esprimibile come combinazione lineare di una componente aleatoria a media nulla in t e in q momenti precedenti zt=at+q1at-1+q2at-2+……….qqat-q dove: - at , at-1 , at-2, ….at-q rappresentano i valori della componente aleatoria ai tempi t, t-1,…t-q - q1,q2,……….qq costituiscono i coefficienti del modello teorico da stimare  È un processo sempre stazionario

2) Modello a media mobile MA(q) Il processo MA(q) è un processo sempre stazionario I suoi momenti sono:

3) Modello misto autoregressivo e a media mobile ARMA (p,q) Una generalizzazione dei processi precedenti consiste nell’assumere che z dipenda da p valori precedenti di z dalla componente aleatoria at dalla componente aleatoria nei q momenti precedenti zt-f1zt-1-….fpzt-p = at+q1at-1+…….qqat-q Che in forma compatta diventa:

4) Modello integrato ARIMA(p,d,q) Per estendere il processo a serie non stazionarie con medie non nulle si usa applicare il processo ARMA appena descritto alle differenze di ordine d zt-f1zt-1-….fp+dzt-p-d = at+q1at-1+…….qqat-q Che può anche essere scritto facendo uso dell’operatore differenza D

4) Modello integrato ARIMA(p,d,q) Il modello Autoregressive Integrated Moving Average ARIMA È molto adatto per investigare serie non stazionarie È costituito da modelli per serie stazionarie ARMA(p,q) introducendo l’artificio delle differenze finite E’ un modello molto generale in quanto contiene tre quantità p,d,q che possono assumere valori diversi dando così origine a casi particolari Nella pratica i modelli più usati sono quelli in cui i valori assunti dai suddetti parametri sono 1 o 2

Scelta del modello ARIMA Analisi grafica ed eventuale applicazione di una trasformazione (differenze prime, trasformazione Box-Cox) per ricondurre la serie alla stazionarietà inmedia e in varianza Identificazione del modello attraverso l’ispezione della funzione di autocovarianza e autocorrelazione Vale la regola generale della parsimonia, ossia la scelta di modelli con il minor numero di parametri Il confronto degli andamenti dei coefficienti di autocorrelazione globale e parziale calcolati sulla serie osservata e le rappresentazioni grafiche fornisce importanti indicazioni per la scelta del modello Il correlogramma è la rappresentazione grafica della funzione di autocorrelazione: il metodo di Box e Cox si basa sull’ispezione del correlogramma per l’identificazione del modello Stima col metodo della massima verosimiglianza Analisi dei residui per controllare la casualità e la normalità

Identificazione del modello AR(1)

Identificazione del modello MA(1)

Applicazione alle variazioni delle scorte anni 1955-69 1. Analisi grafica per accettare la stazionarietà in media e in varianza

Applicazione alle variazioni delle scorte anni 1955-69 2. Analisi della funzione di autocorrelazione globale e parziale

Applicazione alle variazioni delle scorte anni 1955-69 2. Analisi della funzione di autocorrelazione globale e parziale

Applicazione alle variazioni delle scorte anni 1955-69

Applicazione alle variazioni delle scorte anni 1955-69 3. Scelta del modello AR(1) che con media diversa da zero diventa  I valori da stimare sono f e c

Applicazione alle variazioni delle scorte anni 1955-69 4. Analisi dei residui La procedura consiste nel verificare che i coefficienti di autocorrelazione dei residui siano pari a zero A questo scopo si fa uso del test Che si distribuisce come un c2 con k-m gradi di libertà dove K = n. di autocorrelazioni dei residui stimate m = n. dei parametri da stimare

Applicazione alle variazioni delle scorte anni 1955-69 5. Si accetta il modello AR(1) in quanto

Applicazione alle variazioni delle scorte anni 1955-69 6. Si utilizza il modello per effettuare le previsioni a breve termine