23) Esponenziali e logaritmi Pag. 49

Potenze e loro proprietà Dati due numeri naturali a ed n, si chiama potenza di base a ed esponente n il numero an così definito: se n > 1: an = a×a×…×a (n fattori) se n = 1: a1 = a se n = 0: a0 = 1 (a patto che a0) 00 = ? può dare qualunque risultato; si dice che è una forma indeterminata.

Proprietà STESSA BASE o anche STESSA BASE STESSO ESPONENTE o anche STESSO ESPONENTE POTENZA DI POTENZA ESPONENTE NEGATIVO ESPONENTE FRAZIONARIO N.B.: le proprietà valgono anche se lette da destra verso sinistra.

Test L’espressione vale: 23/4 41/3 24/3 43/2 22/3

Test Es. l’espressione 1/(0,3)2 vale: 10/9 9/100 100/9 0,009 nessuno dei precedenti

Test Il rapporto 3-2/(5-4×32) equivale a: (3/5)-1 34×5-4 15-1 3-4×54

Test La decimillesima parte di 100030 è: 100030/10000 (1000/10000)30 100013 1097 10043

Test Il valore di è: 227/10 237/10 2

Test L’espressione vale: 735 4573 4735 4537 7354

Funzione esponenziale Si consideri la potenza 2x con xR. Essa assume valori variabili al variare di x y = 2x è detta “funzione esponenziale” perché l’esponente è variabile.

Funzione esponenziale In generale si chiama funzione esponenziale ogni funzione del tipo: y = ax (la variabile x è all’esponente) con xR e aR+

Grafici delle funzioni esponenziali

Equazioni esponenziali L’incognita è all’esponente di almeno una potenza. Caso più semplice: ax = b Risoluzione immediata se a e b sono potenze della stessa base. Es.: 27x = 81 (33)x = 34 33x = 34 3x=4 x = 4/3

Disequazioni esponenziali Caso più semplice: ax > ay Se a>1: x>y Se 0<a<1: x<y

Definizione di logaritmo 2x = 7 x è l’esponente da dare a 2 per ottenere 7 x è sicuramente un numero fra 2 e 3 x non può essere scritto in modo esatto con tutte le sue (infinite) cifre decimali Per questo si ricorre ad una scrittura simbolica per dire che x è l’esponente da dare a 2 per ottenere 7: x = log27 log = esponente da dare a … per ottenere …

Definizione di logaritmo In generale: x = logab significa che ax = b Si vede subito che: argomento base

Casi notevoli loga1 = 0 logaa = 1 logaac = c

Limitazioni su a e su b logab a > 0 e a  1 b > 0

Proprietà dei logaritmi loga(bc) = logab + logac (b, c > 0) loga(b/c) = logab – logac (b, c > 0) loga(b)n = nlogab (b > 0)

(la variabile x è nell’argomento del log) Funzione logaritmica Si chiama funzione esponenziale ogni funzione del tipo: y = loga x (la variabile x è nell’argomento del log) con x > 0 e a > 0, a  1

Grafici delle funzioni logaritmiche

Equazioni logaritmiche L’incognita è nell’argomento di almeno un logaritmo. Caso più semplice: logax = b Es.: log10 (x-7) = 1 101 = x-7 dà elevato alla X = 17

Disequazioni logaritmiche logax > logay Se a > 1, x > y Se 0 < a < 1, x < y

Test L’equazione nell’incognita x, con k parametro reale, ha soluzione: per ogni valore di k non negativo per nessun valore di k solo per k = 1 solo per k = 0 per ogni valore di k compreso fra -1 e 1

Test L’equazione ha soluzione: solo per valori di k non negativi solo per valori positivi di k per ogni valore di k solo per k = ½ solo per k=0

Test Il grafico della funzione : giace sempre sopra l’asse x giace sempre sotto l’asse x giace tutto nel secondo e terzo quadrante interseca una volta l’asse x interseca una volta l’asse y

Test Quale tra le seguenti è la soluzione dell’equazione ? 2000 3000 6 1/3

Test La soluzione dell’equazione è: 3/10 10/3 2/3 -2/3 l’equazione è impossibile

Test La funzione è positiva per: a. b. x<-1 oppure x>1 c. mai d. sempre e. un logaritmo neperiano non può essere positivo

Test Il grafico in figura corrisponde a: a. y = ex + 1 b. y = ex - 2 c. y = e|x| d. y = ex e. y = ex - 1 1 -1