Il campionamento dei segnali La diffusione e la facilità d’uso dei computer per l’elaborazione dei segnali hanno fatto sì che sempre più spesso la catena di misura preveda una fase di conversione del segnale, con successiva elaborazione di tipo numerico. Conseguentemente, ha particolare rilevanza il poter convertire, senza perdita di informazione, un segnale analogico in campioni numerici. Per una vasta classe di segnali e sotto opportune condizioni, si può dimostrare che la conversione da segnale analogico a digitale e viceversa può avvenire senza perdita di informazione, cioè si può effettuare un corretto “campionamento” ed una corretta ricostruzione del segnale a partire solo dai suoi campioni. Questo problema viene risolto tramite il ricorso al Teorema di Shannon, detto anche Teorema del Campionamento, valido per segnali limitati in banda.

Teorema di Shannon: Enunciato Def. Un segnale x(t) si dice limitato nella banda [-W,W] se non è alterato dal transito attraverso un filtro con funzione di trasferimento pari a 1 per f[-W,W] e zero altrove. Teorema di Shannon Un segnale x(t) limitato in banda [-W,W] ammette la seguente rappresentazione:

Rappresentazione delle operazioni di campionamento nel dominio del tempo da Segnale analogico a Segnale campionato

Campionamento e ricostruzione del segnale Il segnale può essere campionato e successivamente ricostruito, senza perdita d’informazione, tramite le operazioni sottoelencate: Campionamento (moltiplicazione di x(t) per la sequenza di impulsi matematici nel tempo) Filtraggio del segnale campionato, tramite filtro passa basso ideale, per riottenere x(t)

Commenti al Teorema di Shannon Il teorema afferma che un segnale x(t) limitato in banda, definito in un insieme di punti non numerabile, è ricostruibile a partire da un’infinità numerabile di campioni, estratti con una frequenza di campionamento sufficientemente grande. La famiglia delle funzioni di campionamento costituisce una base ortogonale dei segnali limitati in banda. Una funzione di campionamento corrisponde alla trasformata di Fourier della risposta di un filtro passa basso ideale.

da Segnale analogico a Segnale campionato Rappresentazione delle operazioni di campionamento nel dominio del tempo da Segnale analogico a Segnale campionato

Rappresentazione delle operazioni di campionamento nel dominio dela frequenza da Spettro del segnale analogico a Spettro campionato f X ( ) 2W -2W

Sottocampionamento Il teorema indica la frequenza di campionamento minima affinché un segnale x(t) limitato in banda sia ricostruibile a partire dai suoi campioni. Cosa accade per valori diversi della frequenza di campionamento? Se la frequenza di campionamento utilizzata è fc< 2W si ha il cosiddetto sottocampionamento: le repliche dello spettro X(f) risultano sovrapposte (fenomeno di aliasing), e il segnale originario non è ricostruibile a partire dai suoi campioni in quanto il suo spettro risulta alterato dal campionamento erroneo.

Effetto del sottocampionamento nel dominio della frequenza X ( ) -1/T 1/T c c

Rappresentazione delle operazioni di campionamento nel dominio del tempo Se la frequenza di campionamento utilizzata è fc > 2W (sovracampionamento), le repliche dello spettro X(f) risultano distanziate in frequenza. Il segnale originario è ricostruibile a partire da X(f) mediante il transito in filtri passabasso non necessariamente ideali. Utilità del sovracampionamento Il progetto di filtri caratterizzati da funzioni di trasferimento smussate risulta più semplice, e la loro realizzazione meno costosa, rispetto a filtri con brusche transizioni della funzione di trasferimento. Conviene pertanto adottare una frequenza di campionamento superiore alla frequenza strettamente necessaria secondo il Th. di Shannon, e quindi fc = 3  5W

Rappresentazione del sovra-campionamento (spettro) f X ( ) W -W H LP

Teorema di Shannon: Transito in un Filtro Sia x(t) un segnale limitato in banda che transita in un filtro h(t). Allora: il segnale di uscita y(t)=x(t)h(t) è limitato in banda, i campioni di y(t) sono legati a quelli di x(t) da: dove h2W(t)=h(t)Ca[2Wt], ovvero H2W(f)= H(f) per f[-W,W] e zero altrove. La sommatoria prende il nome di prodotto di convoluzione. Commento: La relazione fra i campioni dell’ingresso e dell’uscita di un filtro lineare fornisce un criterio per il progetto di filtri numerici.

Teorema di Shannon: Applicazioni Il teorema di Shannon trova applicazione in tutte le aree in cui si richieda la rappresentazione di un segnale analogico in formato digitale e viceversa per: Interfaccia analogica di un sistema di elaborazione numerico Controllo di Processi Industriali Telerilevamento (Sistemi Ecografici, Sonar, Radar) Cancellazione d’eco, restauro digitale di segnale audio o video Elaborazione dei segnali di varia natura Trasmissione di un segnale analogico su rete numerica Segnale in banda vocale su canale telefonico fisso a 64 kb/s o su canale radiomobile a 9.6 kb/s Memorizzazione Segnale musicale per riproduzione ad alta qualità (CD Audio) etc.

Convertitori A/D (analogico – digitale) Convertono una tensione in una sequenza di Bit, confrontando tale tensione con un valore di riferimento.L’intervallo di quantizzazione (Least Significant Bit, LSB) è dato da: n=numero di bit (2n: numero di livelli) A parità di fondo-scala, un convertitore con n più alto porta ad un LSB inferiore. VFondo-scala è scelto sulla base delle conoscenze del segnale in ingresso

|quantizzazione | = LSB/2 Ma a cosa serve LSB ? E’ rappresentativo della risoluzione di ampiezza. L’errore che si commette associando ad un valore di ampiezza il suo corrispondente digitale ad n bit può essere al massimo pari a  LSB/2. Quanto più è piccolo LSB tanto più siamo in grado di risolvere (apprezzare) differenze di ampiezza nel segnale acquisito. |quantizzazione | = LSB/2 Generalmente nei convertitori è possibile gestire il fondoscala, e quindi minimizzare l’errore di quantizzazione. Chiaramente, non si può invece intervenire su n, stabilito dal convertitore a disposizione.

Circuito di sample & hold (campionamento e “tenuta”) Mantiene il segnale in ingresso al convertitore A/D ad un valore costante durante il periodo di campionamento, in modo tale che non intervengano errori durante il confronto nell’ADC

Convertitore A/D ad approssimazioni successive Tra i più usati: usa n passi per convertire una qualsiasi Vin. Il Sar (registro delle approssimazioni successive) memorizza il valore (digitale) della tensione Vin. Ad ogni colpo di Clock, si effettua un confronto tra la tensione Vin e la tensione analogica corrispondente al valore digitale memorizzato dal Sar al passo precedente, e corrispondentemente si aggiunge un Bit all’albero. L’uscita dei dati è seriale.

Acquisizione Riassumendo: In fase di acquisizione, sulla base delle caratteristiche frequenziali e di ampiezza del segnale sotto esame, sono da scegliere: Il fondoscala del convertitore A/D (input limits) La frequenza di campionamento (sampling rate)

Specifiche principali del DAQ (Digital Acquisition Board: convertitore Analogico/Digitale) single ended (riferito a terra) Numero di canali differenziali (CMRR) a canale singolo Freq. di campionamento per canale (Ftot/N) Risoluzione  Numero di Bit (Errore di quantizzazione :Q = V f.s. /(2n – 1) ) Range (gamma di valori) della tensione d'ingresso (tipico: 0 - 10 V;  5 V)

Specifiche principali del DAQ (Digital Acquisition Board: convertitore Analogico/Digitale) (segue) su scheda Guadagno disponibile su condizionatore Risoluzione della scheda, range e guadagno determinano l'effettiva risoluzione rispetto al segnale d'ingresso parallelo simultaneo solo S&H Metodo di campionamento non simultaneo interno Multiplexer esterno