Maria Pia Perelli D’Argenzio Gallarate 24.10.2018 Etnomatematica e tecniche di calcolo Maria Pia Perelli D’Argenzio Gallarate 24.10.2018 mariapia perelli

Paderno 1981 Clara, Tina Bonfanti ed io. mariapia perelli Da Scuola italiana moderna Articolo di Clara sulle tecniche delle operazioni

sono universali” “la matematica ha profonde radici in molte culture” “il linguaggio e i valori della matematica sono universali” UNESCO Matematica o Matematiche? mariapia perelli

Matematica o Matematiche? Affermazioni quasi contraddittorie stimolano domande tentativo di i risposta “Ethnomathematics” 1 1F. Favilli, Etnomatematica e didattica della matematica mariapia perelli

“Classi multiculturali: contesti per insegnare ed apprendere molta matematica”. P. C. Clarkson No ethnic “razza ma ethno costruzione umana dipendente da diversi contesti socioculturali e linguistici e da diversi registri semiotici mariapia perelli

L ’approccio ai problemi si muove con modalità diverse… anche la struttura di una lingua porta ad una matematica diversa da quella di un’altra struttura linguistica… L ’approccio ai problemi si muove con modalità diverse… mariapia perelli

Tornando al tema dell’incontro… non analisi storica ma rivisitazione in chiave attualizzata di quaqlche tecniche del passato ( Larte de labbacho’ 1478, Lilavati..) mariapia perelli

Tecniche Indiane : Lilavati Alcune tecniche giunsero in Europa nel testo “Lilavati” (la Bella) dell’indiano Bhaskara (1114-1185). mariapia perelli

Aritmetica Vedica Bharati Krishna tradusse e spiegò 16 sutra e 13 corollari prese dai Veda, ma questi volumi andarono perduti; poco prima di morire (1960) riscrisse il primo volume che espone molti metodi veloci per “fare” matematica (numeri e geometria). mariapia perelli

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Le proposte che provengono dalle sutre, vengono usate, ai nostri giorni in India ,come si vede dalla copertina del testo a fianco, per velocizzare i calcoli in occasione dei concorsi per entrare nelle università, nelle banche, ferrovie, etc . Portano lo studente ad osservare i termini delle operazioni e, in base alle loro caratteristiche, decidere quale tecnica è più appropriata (cioè più veloce) mariapia perelli

la matematica come viene concepita ? “Come la cresta di un pavone, come la gemma sulla testa di un serpente, così la matematica è alla testa di tutta la conoscenza” poeta astronomo Lagadha mariapia perelli

Moltiplicazione metodo “con base” Iniziamo così da una sutra: “tutti dal 9 e l’ultimo dal 10” Fattori minori della base Calcoliamo 88 x 96 base: 100 differenze: 100 – 88 = 12 100 – 96 = 04 12 x 04 = 48 88 – 04 = 96 – 12 = 84 Quindi: 88 x 96 = 8448 Numeri Differenze 88 12 96 04 84 48 mariapia perelli

Spiegazione algebrica x la base in genere potenze di 10 , p, q i due fattori a e b le differenze tra la base ei fattori quindi p = (x – a) e q= (x – b) Allora: p x q = (x – a)(x – b) = x2 – ax – bx + ab = x(x – a - b) + ab Il prodotto p x q è la somma di due termini: il prodotto tra la base x e la differenza tra uno dei fattori e la differenza alla base dell’altro (x – a e b oppure x – b e a) il prodotto delle differenze (ab). Il fatto che il il primo addendo sia moltiplicato per la base (x) garantisce la corretta posizione delle cifre del prodotto. mariapia perelli

esempio: Base = 100 p = 88 = 100 – 12 ; a =12 q = 96 = 100 – 4 ; b = 4 p x q = (x – a)(x – b) = x2 – ax – bx + ab = x (x – a - b) + ab 88 x 96 = (100 - 12) x (100 – 4) = 100 (100 – 12 – 4) + 12 x 4 = 100 ( 88 – 4 ) + 12 x 4 o 100 ( 96 -12) + 12 x 4 quindi 100 x 84 + 48 = 8400 + 48 = 8448 mariapia perelli

Spiegazione geometrica Dalla figura si deduce che: 88 x 96 = = 100x 88 – 4x100 + 4x12 = = (88 – 4) x 100 + 4 x12 = = 8400 + 48 = 8448 oppure: = 100 x 96 – 12 x 100 + 4 x 12 = (96 – 12)x100 + 4x12 = mariapia perelli

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Spiegazione geometrica In generale: se p e q sono i due fattori a e b sono le rispettive differenze dalla base x p x q = = base x q – a x base + a x b = (q – a) x base + a x b oppure: = base x p – b x base + a x b = (p – b) x base + a x b mariapia perelli

Moltiplicazione metodo “con base” Fattori minori della base Calcoliamo 84 x 92 base: 100 differenze: 100 – 84 = 16 100 – 92 = 08 16 x 08 = 128 > base 84 – 08 = 92 – 16 = 76 76 + 1 = 77 Quindi: 84 x 92 = 7728 Numeri Differenze 84 16 92 08 76 128 77 28 mariapia perelli

Quadrati dei numeri che terminano per 5 Calcoliamo, ad esempio, 452: Isoliamo la cifra dell’unità, il 5, e ne calcoliamo il quadrato: 25 Moltiplichiamo il numero che rimane, il 4, per il suo successivo, 5 4 x 5= 20 Ricompattiamo il numero ed abbiamo il risultato: 452 = 2025 mariapia perelli

Altri esempi 352 = 3|52 = 1225 52 = 25 3 x ( 3+1) = 3x4 = 12 152 = 225 52 = 25 1 x 2= 2 mariapia perelli

Altri esempi 1352 = 18225 14152 = 2002225 mariapia perelli

Isoliamo la cifra delle unità, il 5, e ne calcoliamo il quadrato: 25 Moltiplichiamo il numero che rimane, il 39, per il suo successivo: 39 x 40 = 1560 Ricompattiamo il numero per ottenere il risultato: 3952 = 156025 mariapia perelli

Spiegazione algebrica Il procedimento si basa: sulla scrittura polinomiale dei numeri, per cui: 10a + b è un numero di due cifre 100a + 10b + c è un numero di tre cifre e così via; e sulla formula algebrica per lo sviluppo del quadrato di un polinomio Ad esempio, per i numeri di due cifre: mariapia perelli

Prodotto tra due numeri la somma delle cifre delle unità è 10 le cifre rimanenti sono uguali Calcoliamo 47 X 43 Moltiplichiamo tra loro le cifre delle unità 3 x 7= 21 Moltiplichiamo il numero rimanente per il suo successivo: 4 x 5=20 Ricompattiamo il numero per ottenere il risultato: 47x43 =2021 14 x 16 Moltiplichiamo tra loro le cifre delle unità: 4 x 6 = 24 Moltiplichiamo il numero ( o cifra) rimanente per il suo successivo: 1 x 2 = 2 Ricompattiamo il numero per ottenere il risultato: 14 x 16 = 224 mariapia perelli

Prodotto tra due numeri 1. somma delle cifre delle unità = 10 2 Prodotto tra due numeri 1.somma delle cifre delle unità = 10 2. cifre rimanenti uguali Calcoliamo 144 x 146: Moltiplichiamo tra loro le cifre delle unità: 4 x 6 = 24 Moltiplichiamo il numero rimanente per il suo successivo: 14 x 15 = 210 Ricompattiamo il numero per ottenere il risultato: 144 x 146 = 21024 mariapia perelli

Spiegazione algebrica Ci limitiamo al caso di numeri di due cifre i numeri hanno la stessa cifra delle decine le cifre delle unità hanno somma 10 quindi sono del tipo 10a + b e 10a + c. con b +c = 10 Allora: (10a + b)(10a + c) = 100a2 + 10ac + 10ab + bc = = 10a(10a + c + b) + bc =10a(10a + 10) + bc = = 100a(a + 1) + bc mariapia perelli

Numeri due cifre uguali unità decine con somma 10 27x 87 Moltiplico 2 x 8 =16 poi sommo a 16 la seconda cifra ( 7) 16+7= 23 prima parte del risultato Moltiplico 7 x 7 = 49 seconda parte del risultato 27x87 = 2349 69 x 49 6x4 =24 e 24 + 9= 33 prima parte e 9x9 =81 seconda parte del risultato 69 x 49= 3381 mariapia perelli

Quadrati di numeri «adiacenti» Se si conoscono i quadrati di 20,30,40,50,60,…. e si deve trovare il quadrato di un numero adiacente ad es. 21 o 51 es: 612 = 602 = 3600 60 +61 = 121 sommo i due risultati 3600 + 121= 3721 512 = 502 + (50 +51) = 2500 + 101 = 2601 262 = 252 + (25+26) = 625 + 51 = 676 mariapia perelli d'argenzio

Quadrati di numeri «adiacenti» 592 = 59 = 60 -1 602 – ( 60+59 ) = 3600 – 119 = 3481 392 = 402 – (40+39)= 1600 – 79 = 1521 242 = 252 – ( 25+24) = 625 – 49 = 576 mariapia perelli d'argenzio

Quadrato di numeri vicini a 100 972 = 9409 100 – 97= 3 97 - 3 = 94 032 = 09 Quadrato di 98 100 - 98 = 2 si sottrae a 98 tale differenza ( 2) = 96 prima parte del risultato. la differenza 2 al quadrato 022 è la seconda parte 982 = 98 -2| 04= 9604 mariapia perelli d'argenzio

Divisioni di numeri di due cifre per 9 a) 23: 9 = La prima cifra di 23 è 2 che è anche il risultato; sommiamo ora le cifre del dividendo ( 2 e 3) 2 + 3 = 5 e otteniamo il resto 23: 9 = 2 resto 5 mariapia perelli d'argenzio

Divisioni per 9 46 : 9 = 4 b) 51 : 9 = 5 resto 6 Resto 5 +1 = 6 Resto 4+6 =10 ma è maggiore di nove !! L’1 viene aggiunto al 4 e si fa 1+0 per il resto =1 46:9 = 4 + 1 ( che viene dal resto maggiore di 9) con resto 1. b) 51 : 9 = 5 resto 6 Resto 5 +1 = 6 c)71: 9 = 7 con resto 8 Resto 7+1 = 8 d) 81 : 9 = 8+1 =9 R:0 Resto :8+1= 9 quindi una unità in più a sinistra mariapia perelli d'argenzio

Divisioni di qualsiasi numero per 9 mariapia perelli d'argenzio

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