LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio

1. CHE COS’È LA PARABOLA Parabola LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 1. CHE COS’È LA PARABOLA DEFINIZIONE Parabola Scegliamo sul piano un punto F e una retta d. Possiamo tracciare sul piano i punti equidistanti da F e da d. Il luogo geometrico di questi punti è detto parabola. Il punto F e la retta d sono detti, rispettivamente, fuoco e direttrice della parabola.

2. L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 2. L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA Fissiamo il fuoco nel punto F(0; f) e la direttrice nella retta d di equazione y = – f . Un punto generico P(x; y) è equidistante da F e da d se cioè: . Da cui , . , Eq. della parabola con vertice nell’origine e asse verticale: y = ax2 . Coordinate del fuoco: . Equazione della direttrice: .

Rappresentiamo nel piano cartesiano la parabola di equazione: LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE ESEMPIO Rappresentiamo nel piano cartesiano la parabola di equazione: y = 3x2 . x y Inoltre: , –1 3 fuoco , 1 3 –2 12 eq. della direttrice . 2 12

4. IL SEGNO DI a E LA CONCAVITÀ DELLA PARABOLA LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 4. IL SEGNO DI a E LA CONCAVITÀ DELLA PARABOLA a > 0 y = ax2 è positiva o nulla, a < 0 y = ax2 è negativa o nulla, la distanza focale è f > 0 , la distanza focale è f < 0 , F ha ordinata positiva. F ha ordinata negativa. Concavità rivolta verso l’alto. Concavità rivolta verso il basso.

5. IL VALORE DI a E L’APERTURA DELLA PARABOLA LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 5. IL VALORE DI a E L’APERTURA DELLA PARABOLA a = a = a = 2 Per a > 0 , all’aumentare di a diminuisce l’apertura della parabola.

6. L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE y LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 6. L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE y La trasformazione x’=x+p y’=y+q trasla i punti del piano Sotto questa trasformazione, la parabola di equazione y = ax2 diventa: y – yV = a(x – xV)2 . In particolare, le coordinate del vertice diventano:V(xV; yV) o V(p;q) Possiamo riscrivere l’equazione della parabola come y = ax2 + bx + c . Ascissa del vertice: ; ordinata del vertice: .

6. L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE y LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 6. L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE y Equazione generica della parabola con asse parallelo all’asse y La parabola con vertice V(xv; yv) ha equazione y – yv = a(x – xv)2 , Per le coordinate di V(xv; yv) vale: cioè y – yv = ax2 – 2axxv + axv2 o y = ax2 – 2axv x + (axv2 + yv) . , Ponendo b = – 2axv , c = axv2 + yv , cioè . otteniamo y = ax2 + bx + c . RITORNA

7. L’EQUAZIONE y = ax2 + bx + c LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 7. L’EQUAZIONE y = ax2 + bx + c TEOREMA A ogni parabola con asse parallelo all’asse y corrisponde un’equazione del tipo y = ax2 + bx + c , con a ≠ 0, e viceversa. REGOLA L’asse di simmetria ha equazione: , il vertice è il punto: , il fuoco è il punto: , la direttrice ha equazione: .

7. ALCUNI CASI PARTICOLARI LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 7. ALCUNI CASI PARTICOLARI b = 0 L’equazione diventa: y = ax2 + c . c = 0 L’equazione diventa: y = ax2 + bx . b = 0, c = 0 L’equazione diventa: y = ax2 . La parabola ha vertice V(0; c) e il suo asse di simmetria è l’asse y. La parabola passa per l’origine O. La parabola ha il vertice nell’origine O.

8. ESERCIZI: L’EQUAZIONE y = ax2 LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 8. ESERCIZI: L’EQUAZIONE y = ax2

9. ESERCIZI: DALL’EQUAZIONE y = ax2 AL GRAFICO LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 9. ESERCIZI: DALL’EQUAZIONE y = ax2 AL GRAFICO

10. ESERCIZI: L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE y LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 10. ESERCIZI: L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE y

11. ESERCIZI: L’EQUAZIONE y = ax2 + bx + c LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 11. ESERCIZI: L’EQUAZIONE y = ax2 + bx + c