I RADICALI Definizione di radicali Semplificazione di radicali Moltiplicazione dei radicali Trasporto di un fattore dentro e fuori dal segno di radice Potenza e radice di un radicale Addizione e sottrazione di radicali Razionalizzazione e Radicali doppi Radicali in forma di potenza

Definizione di radice La radice è l’operazione inversa della potenza, si dice radice n-esima aritmetica quel numero(b) che elevato all’indice(n) ci dia a. 𝑛 𝑎 = b 𝑏 𝑛 = a NOTA: Dalle radici che non hanno come risultato un numero intero, si ottengono numeri Irrazionali cioè numeri decimali illimitati non periodici, ovvero non rappresentabili sotto forma di frazione 2 = 1,41421……. O 3 = 1,73205……

Segno di un radicale Consideriamo n pari: Se il radicando è positivo= 4 16 = + 2 perché 2 4 = 16 Se il radicando è negativo non esiste 4 −16 = ∄ Consideriamo n dispari esso ha lo stesso segno del radicando. 3 8 = 2 perché 2 3 = 8 o 3 −8 = -2 perchè (−2) 3 = - 8

Pillole matematiche Risolvendo le equazioni di secondo grado, si presenta il problema dell' estrazione di radice quadrata di un numero negativo. Nell' insieme dei numeri reali tale operazione non è possibile e, di conseguenza, non sarebbe possibile risolvere un problema avente come modello un' equazione di secondo grado con discriminante negativo. Nel XVI secolo un matematico italiano, Raffaele Bombelli (1526-1573) propose di risolvere il problema estendendo il concetto di numero mediante l' introduzione di un nuovo simbolo rappresentato dalla lettera " i "

Semplificazione di radicali Un radicale è riducibile se l’indice e l’esponente hanno un divisore in comune che li possa dividere. Un radicale è irriducibile quando l’indice e l’esponente non hanno nessun divisore in comune che li possa dividere.

ATTENZIONE!!! ATTENZIONE: Se l’indice del radicale è pari e non conosciamo il segno del radicando per poter effettuare la semplificazione dobbiamo considerare il valore assoluto perché radicali con esponente pari e radicando dispari non esistono è il valore assoluto lo rende sempre positivo ESEMPIO:

Moltiplicazione dei radicali Se i radicali hanno lo stesso indice: Il prodotto di due radicali con lo stesso indice è un radicale con lo stesso indice che ha per radicando il prodotto dei radicandi.

Se i radicali hanno indice diverso: Se i radicali non hanno lo stesso indice prima di eseguire la moltiplicazione bisogna ridurre tutti i radicali allo stesso indice facendo il minimo comune multiplo e poi eseguire la moltiplicazione. ESEMPIO: 3 𝑎 ∙ 4 𝑏 2 = 12 𝑎 4 ∙ 12 𝑏 6 = 12 𝑎 4 𝑏 6 = 6 𝑎 2 𝑏 3

Trasporto di un fattore dentro e fuori dal segno di radice TRASPORTO DI UN FATTORE DENTRO AL SEGNO DI RADICE: Per trasportare dentro il segno di radice un fattore esterno, occorre elevare il fattore esterno alla radice alla potenza dell’indice di radice: a 𝑛 𝑏 𝑛 𝑎 𝑛 b Esempi: 2 4 3 = 4 2 4 3 = 4 16∙3= 4 48

TRASPORTO DI UN FATTORE FUORI DAL SEGNO DI RADICE Se un fattore del radicando ha esponente maggiore o uguale all’indice della radice, può essere portato fuori dal segno di radice svolgendo questi procedimenti: 1) Divido l’esponente di questo fattore per l’indice della radice; 2) scrivo fuori radice il fattore considerato con esponente uguale al quoziente della divisione; 3) scrivo sotto radice il fattore considerato con esponente uguale al resto della divisione, esempio: 3 2 6 𝑎 5 𝑏 7 𝑐 2 = 2 2 𝑎 1 𝑏 2 3 2 0 𝑎 2 𝑏 1 𝑐 2 = 4a 𝑏 2 3 𝑎 2 𝑏 𝑐 2

Potenza e radice di un radicale POTENZA DI UN RADICALE La potenza di un radicale si ottiene attribuendo l’esponente soltanto al radicando. 𝑛 𝑎 𝑚 = 𝑛 𝑎 𝑚 3 5 2 = 3 5 2 = 3 25 RADICE DI UN RADICALE La radice di un radicale è un radicale con lo stesso radicando che ha per indice il prodotto degli indici. 𝑛 𝑚 𝑎 = 𝑛∙𝑚 𝑎 3 4 5 = 3∙4 5 = 12 5 2 3 3 7 = 18 7

Addizione e sottrazione di radicali Per addizionare o sottrarre i radicali si usa la stessa regola per il calcolo letterale ovvero possiamo addizionare o sottrarre dei radicali solo se sono simili cioè che hanno lo stesso indice, stesso radicando e stesso coefficiente. Esempi: 1) 3 2 + 5 2 - 2 2 = 6 2 2) 9 2 - 3 8 16 - 3 2 = 9 2 - 3 8 2 4 - 3 2 = 9 2 - 3 2 - 3 2 = 3 2

La razionalizzazione Quando si incontrano frazioni che contengono radicali è spesso utile trasformarle in frazioni equivalenti in cui nei denominatori non ci siano radicali, giungendo quindi alla razionalizzazione dei denominatori. Esaminiamo i vari casi: CASO 1 : AL DENOMINATORE UNA RADICE CON INDICE 2 Esempio: 6 3 moltiplichiamo numeratore e denominatore per 3 6∙ 3 3 ∙ 3 = 6 3 2 3 = 6 3 3 = 2 3

CASO 2: AL DENOMINATORE UNA RADICE CON INDICE >2 Si razionalizza moltiplicando numeratore e denominatore per il termine 𝑛 𝑎 𝑛−𝑚 ovvero: 𝑏 𝑛 𝑎 𝑚 = 𝑏∙ 𝑛 𝑎 𝑛−𝑚 𝑛 𝑎 𝑚 ∙ 𝑛 𝑎 𝑛−𝑚 = 𝑏∙ 𝑛 𝑎 𝑛−𝑚 𝑛 𝑎 𝑚 ∙ 𝑎 𝑛−𝑚 = 𝑏∙ 𝑛 𝑎 𝑛−𝑚 𝑛 𝑎 𝑛 = 𝑏∙ 𝑛 𝑎 𝑛−𝑚 𝑎 Esempio: 1 5 2 3 = 1∙ 5 2 2 5 2 3 ∙ 5 2 2 = 5 2 2 5 2 5 = 5 2 2 2

CASO 3: AL DENOMINATORE C’E’ UN BINOMIO Si esegue la razionalizzazione moltiplicando numeratore e denominatore per il termine 𝑎 ± 𝑏 ,in modo da avere a denominatore il prodotto notevole somma per differenza. 𝑚 𝑎 − √𝑏 = 𝑚∙ 𝑎 + √𝑏 𝑎 − √𝑏 ∙ 𝑎 + √𝑏 Esempio: 3 2 −1 = 3∙( 2 +1) 2 −1 ∙ 2 +1 = 3∙ 2 +1 1 = 3 2+1

Radicali doppi Si definisce radicale doppio ogni espressione della forma: 𝑎± 𝑏 Questi radicali si possono trasformare in una somma di radicali semplici se 𝑎 2 - b è un quadrato perfetto, utilizzando la formula: 𝑎± 𝑏 = 𝑎+ 𝑎 2 −𝑏 2 ± 𝑎− 𝑎 2 −𝑏 2 Esempio: 6± 11 = 6+ 25 2 + 6− 25 2 = 6+5 2 + 6−5 2 = 11 2 + 1 2

Radicali in forma di potenza Un radicale si può' indicare con una potenza avente la base uguale al radicando e come esponente una frazione con al numeratore l'esponente del radicando ed al denominatore l'indice della radice. 𝑛 𝑎 𝑚 = 𝑎 𝑚 𝑛 Esempio: 3 4 = 4 1 3 Viceversa se abbiamo una potenza con esponente razionale possiamo applicare la stessa regola inversamente. 𝑎 𝑚 𝑛 = 𝑛 𝑎 𝑚 Esempio: 2 2 3 = 3 2 2 = 3 4

LA LEZIONE E’ FINITA…… …………..ALLA PROSSIMA!!!