Modulo 5 Bipoli e quadripoli

Bipoli e quadripoli Un sistema di trasmissione è realizzato interconnettendo opportuni blocchi funzionali. Blocchi che svolgono funzioni di amplificazione, filtraggio, modulazione, demodulazione, ecc. Lo scopo di questo modulo è quello di esaminare le problematiche inerenti la connessione di questi blocchi funzionali. Tale esame non considera come sono fatti internamente tali blocchi ma solo come essi si comportano dall’esterno. Occorre allora definire un modello per consentire di analizzare ciò che succede nel punto in cui due di questi blocchi si interconnettono; punto nel quale si assiste alla fornitura di tensione, corrente e potenza da parte di un blocco (generatore) e conseguente utilizzazione da parte dell’altro blocco (utilizzatore o carico). Si farà l’ipotesi di operare in regime sinusoidale.

Il bipolo E’ una rete elettrica complessa accessibile attraverso una sola coppia di morsetti e di cui interessa solo il comportamento esterno (scatola nera o black box). Un bipolo può essere di tipo generatore oppure utilizzatore. Il bipolo generatore presenta, a vuoto, un certo valore di tensione ai propri morsetti; se collegato ad un altro bipolo erogherà a quest’ultimo corrente, tensione e potenza. Il bipolo utilizzatore, o di carico, presenta a vuoto una tensione nulla. Se collegato ad un generatore assorbirà, da questo, corrente, tensione e potenza.

Il bipolo generatore Un bipolo generatore può essere considerato come il circuito equivalente di Thevenin di una rete elettrica che ne descrive il funzionamento in termini di valore efficace della tensione a vuoto (f.e.m. di generatore, E), e impedenza interna (o impedenza di uscita, Zg o Zout); tale impedenza è quella che si misura ai capi del bipolo dopo aver annullato tutti i generatori presenti nel bipolo stesso.

Il bipolo utilizzatore Il bipolo utilizzatore, o carico del generatore, ha un comportamento esterno definito dal legame tra il fasore della tensione e quello della corrente presente ai propri morsetti, cioè dall’impedenza Zu che si presenta ai morsetti stessi:

Collegamento di un generatore con un carico Se colleghiamo un bipolo utilizzatore come carico di un bipolo generatore si avrà che il generatore fornirà tensione, corrente e potenza al carico, che la assorbirà. Questa schematizzazione, in generale, è applicabile quando si ha la connessione tra due sistemi uno dei quali fornisce un segnale all’altro.

Condizione di adattamento tra generatore e carico I sistemi di trasmissione operano, generalmente, in alta frequenza. Quando le dimensioni fisiche dei circuiti e delle linee sono confrontabili con la lunghezza d’onda del segnale che li attraversa, l’interconnessione ottimale di due sistemi elettronici, modellati uno come bipolo generatore e l’altro come bipolo utilizzatore, richiede che venga rispettata una condizione denominata condizione di adattamento, che lega il valore dell’impedenza interna di generatore, Zg, a quello dell’impedenza di carico, Zu. Questa importantissima condizione consente di ottenere: il massimo trasferimento di potenza da generatore a carico; l’assenza di riflessioni nel punto di interconnessione, cioè di evitare che una parte della potenza di segnale non giunga al carico ma ritorni verso il generatore.

Adattamento tra impedenze puramente resistive Qualora l’impedenza interna del generatore e quella del carico siano puramente resistive (Zg=Rg e Zu=Ru) si può dimostrare che la condizione di adattamento impone che: Se tale condizione è verificata si dice che il carico è adattato. In condizioni di adattamento e con impedenze puramente resistive, la potenza che viene fornita al carico è la massima possibile e viene denominata potenza disponibile di generatore, Pd.

Adattamento tra impedenze complesse Se l’impedenza del generatore e quella del carico non sono puramente resistive ma, per via di effetti reattivi (capacitivi e/o induttivi), sono esprimibili come: la condizione per ottenere il massimo trasferimento di potenza viene definita adattamento energetico e consiste nell’imporre: Le due impedenze, pertanto, devono essere l’una il complesso coniugato dell’altra. In simboli: L’adattamento energetico consiste nell’imporre l’eguaglianza tra le parti resistive e nel fare in modo che le due reattanze si neutralizzino al fine di non avere immagazzinamenti di energia permanenti negli elementi reattivi.

Il quadripolo Il quadripolo è un modello utilizzabile per rappresentare una rete elettrica comunque complessa a cui si accede attraverso due coppie di morsetti e di cui interessa solo il comportamento esterno (black box). Il collegamento tra un trasmettitore ed un ricevitore per mezzo di una linea di trasmissione può essere rappresentato considerando il trasmettitore come un bipolo generatore, la linea come un quadripolo ed il ricevitore come il carico applicato alla linea.

Condizione di adattamento per un quadripolo Quando un segnale fornito da un bipolo generatore transita attraverso una linea (modellata come un quadripolo), per giungere ad un bipolo utilizzatore, è necessario determinare le condizioni di interconnessione ottimali tra: generatore e quadripolo ad una coppia di morsetti (di ingresso); quadripolo e bipolo utilizzatore all’altra coppia di morsetti (di uscita). Per far ciò è necessario determinare le impedenze di ingresso ZIN e di uscita ZOUT del quadripolo. L’insieme “quadripolo + bipolo utilizzatore” costituisce un bipolo che funge da carico per il generatore.

Condizione di adattamento per un quadripolo L’insieme “generatore + quadripolo” costituisce un bipolo che funge da bipolo generatore per l’utilizzatore in quanto fornisce ad esso tensione, corrente e potenza. Quindi si comporta come un generatore avente impedenza interna ZOUT, tensione a vuoto VOUT, corrispondente ad un circuito equivalente di Thevenin.

Condizione di adattamento per un quadripolo Per realizzare l’interconnessione ottimale tra generatore, quadripolo e bipolo utilizzatore va rispettata la condizione di adattamento in tutti i punti di interconnessione; e quindi sia in ingresso che in uscita. E’ quindi necessario determinare: l’impedenza ZIN che il quadripolo presenta ai propri morsetti di ingresso quando ai morsetti di uscita è collegato il bipolo utilizzatore (Zu). l’impedenza ZOUT che il quadripolo presenta ai propri morsetti di uscita quando ai morsetti di ingresso è collegata l’impedenza interna di generatore (Zg) e si spegne il generatore sostituendolo con un corto circuito.

Determinazione dell’impedenza di ingresso L’impedenza di ingresso (ad una certa frequenza) può essere misurata applicando una tensione sinusoidale nota in ingresso e misurando la corrente sinusoidale che entra nel bipolo equivalente costituito da quadripolo e da carico Zu. In pratica si misurano i valori efficaci (o di picco) di tensione e corrente e lo sfasamento tra le due grandezze.

Determinazione dell’impedenza di uscita L’impedenza di uscita (ad una certa frequenza) può essere misurata sostituendo il generatore con un corto circuito, applicando una tensione sinusoidale in uscita e misurando la corrente sinusoidale che entra nel bipolo equivalente costituito dal quadripolo e dall’impedenza interna di generatore Zg. In pratica si misurano i valori efficaci (o di picco) e lo sfasamento tra la tensione e la corrente applicate ai morsetti di uscita.

Condizione di adattamento ai morsetti di ingresso Una volta determinate ZIN e ZOUT è possibile definire le condizioni per il trasferimento ottimale del segnale, dal generatore verso il quadripolo e da quest’ultimo verso il carico. La condizione di adattamento ai morsetti di ingresso richiede che si abbia: dove: Zg è l’impedenza interna del bipolo generatore; Z*IN è il complesso coniugato dell’impedenza di ingresso del bipolo “quadripolo + bipolo utilizzatore”.

Condizione di adattamento ai morsetti di uscita La condizione di adattamento ai morsetti di uscita richiede che si abbia: dove: Z*u è il complesso coniugato dell’impedenza del bipolo utilizzatore; ZOUT è l’impedenza di uscita del bipolo “quadripolo + generatore”.

Adattamento dei quadripoli: metodo delle impedenze immagini Le impedenze di ingresso e di uscita di un quadripolo dipendono anche dalle impedenze Zg e Zu su cui esso è chiuso. Ciò rende complicata la ricerca dei valori da assegnare affinché sia verificata la condizione di adattamento sia in ingresso sia in uscita, cioè che si abbia contemporaneamente: E’ stato quindi sviluppato un metodo, il metodo delle impedenze immagini, per determinare i valori da dare a Zg e Zu per rendere adattato un certo quadripolo.

Adattamento dei quadripoli: metodo delle impedenze immagini E’ quindi possibile determinare una coppia di impedenze denominate: impedenza immagine ai morsetti 1, Zi1; impedenza immagine ai morsetti 2, Zi2; che godono della seguente proprietà: scegliendo come impedenza interna di generatore il valore Zg=Zi1 allora l’impedenza di uscita del quadripolo assume il valore ZOUT=Zi2; scegliendo come impedenza di carico il valore ZOUT=Zi2 allora l’impedenza di ingresso del quadripolo assume il valore ZIN=Zi1.

Adattamento dei quadripoli: metodo delle impedenze immagini Quindi, noti i valori delle impedenze immagini Zi1 e Zi2, è possibile soddisfare le condizioni di adattamento assegnando a Zg e Zu i valori:

Misura o calcolo di Zi1 Si può dimostrare che il valore di Zi1 può essere misurato o calcolato con il seguente procedimento: si determina l’impedenza di ingresso ai morsetti 1 quando i morsetti 2 sono aperti, impedenza che denominiamo Z1a; si determina l’impedenza di ingresso ai morsetti 1 quando i morsetti 2 sono cortocircuitati, impedenza che denominiamo Z1c; si calcola l’impedenza immagine Zi1 con la formula:

Misura o calcolo di Zi2 Si può dimostrare che il valore di Zi2 può essere misurato o calcolato con il seguente procedimento: si determina l’impedenza di ingresso ai morsetti 2 quando i morsetti 1 sono aperti, impedenza che denominiamo Z2a; si determina l’impedenza di ingresso ai morsetti 2 quando i morsetti 1 sono cortocircuitati, impedenza che denominiamo Z2c; si calcola l’impedenza immagine Zi2 con la formula:

Impedenza caratteristica di un quadripolo Un quadripolo è detto simmetrico quando Zi1 = Zi2. Tale valore comune è indicato con il termine impedenza caratteristica (Z0): L’adattamento di un quadripolo simmetrico si realizza imponendo: Anche le impedenze di ingresso e di uscita di un quadripolo simmetrico e adattato sono uguali a Z0:

Linea di trasmissione come quadripolo Le linee di trasmissione usate nelle telecomunicazioni sono dei tipici quadripoli simmetrici. Per poter adattare una linea occorre conoscere la sua impedenza caratteristica (Z0). Una linea di trasmissione risulta adattata quando:

Adattamento di una linea di trasmissione Una linea di trasmissione risulta adattata quando:

Quadripoli attenuatori a T e a π Un quadripolo attenuatore è un circuito che in adattamento attenua di una quantità prefissata il segnale applicato al suo ingresso, di modo che il valore efficace della tensione (o corrente) di uscita sia 1/N volte il valore efficace della tensione (o corrente) applicata in ingresso. L’attenuazione è poi, generalmente, espressa in dB:

Attenuatore a T La struttura circuitale di un attenuatore a T è quella mostrata in figura: Il progetto dell’attenuatore viene eseguito dimensionando i valori di R1 ed R2 che consentono di mantenere l’adattamento e di introdurre il fattore di attenuazione richiesto. L’analisi di un quadripolo già esistente viene eseguita a partire dalla conoscenza di R1 ed R2.

Attenuatore a π La struttura circuitale di un attenuatore a π è quella mostrata in figura: Il progetto dell’attenuatore viene eseguito dimensionando i valori di R1 ed R2 che consentono di mantenere l’adattamento e di introdurre il fattore di attenuazione richiesto. L’analisi di un quadripolo già esistente viene eseguita a partire dalla conoscenza di R1 ed R2.

Quadripoli adattatori Quando in punto di una catena di quadripoli vi è un disadattamento sorgono problemi di riflessione del segnale e di perdita di potenza trasferita, soprattutto se il segnale in transito ha frequenza elevata. Nel caso in cui non sia possibile cambiare i valori di impedenza delle due parti interconnesse è spesso necessario introdurre un opportuno quadripolo adattatore che ripristini la condizione di adattamento.

Un esempio di adattamento Una situazione che nella pratica si verifica spesso è quella del collegamento di un trasmettitore ad un’antenna per mezzo di un cavo coassiale. In genere l’impedenza di uscita del trasmettitore (Zg) risulta uguale all’impedenza caratteristica del cavo (Z0). Mentre può succedere che l’impedenza di ingresso dell’antenna, cioè il carico (Zu), risulti diversa dall’impedenza caratteristica del cavo: Si rende allora necessario inserire un quadripolo adattatore non simmetrico che abbia:

Adattatore a trasformatore Un trasformatore ideale non introduce dissipazioni ed è in grado di modificare i rapporti tra le tensioni e le correnti, modificando i valori di impedenza (puramente resistiva) che si hanno in funzione del rapporto tra il numero di spire dell’avvolgimento primario (n1) e di quello secondario (n2). Infatti, si può dimostrare che: Il trasformatore può quindi essere impiegato come quadripolo adattatore utilizzabile per adattare carichi resistivi a frequenze medio-basse. Dimensionando opportunamente il rapporto spire si ottiene in ingresso al trasformatore il valore di resistenza desiderato.