Confronto tra diversi soggetti: Se X è su scala ordinale o se si conosce la posizione ed N: percentile. Esempio: Una persona sostiene due test per due concorsi. Ad uno arriva 10° su 145 concorrenti, all’altro 10° su 20 concorrenti. Se X è su scala numerica: punti z o standard. Esempio: Uno studente ha ottenuto un voto di 26 all’esame di psicometria e un altro studente 29 all’esame di psicobiologia. In quale è andato meglio?

Standardizzazione Standardizzazione: serve a trasformare diversi punteggi sulla stessa scala di misura. L’unita di misura che si utilizza è la D.S. I “punti z” o “punti standard” indicano “di quante deviazioni standard i punteggi distano dalla media”. La trasformazione in punti z non cambia la forma della distribuzione né la posizione tra i punteggi: cambia solo l’unità di misura!

Calcolo dei punti z Esempio: Psicometria: 18 18 24 26 29 Psicobiologia: 24 28 29 29 30 Psicometria Media =23 DS=4,38 Psicobiologia Media =28 DS=2,10

Calcolo dei punti z PSICOMETRIA Z18 = -1,14 Z24 = 0,23 Z26 = 0,68 PSICOBIOLOGIA Z24 = -1,90 Z28 = 0,00 Z29 = 0,48 Z30 = 0,95 È andato meglio lo studente che ha preso 26 all’esame di psicometria poiché Z26 > Z29. Calcolare media e deviazione standard dei punti Z.

Calcolo media e DS dei punti Z Z psicometria z-M (z-M)2 Z psicobiologia -1,14 1,30 -1,90 3,63 0,00 0,23 0,05 0,48 0,68 0,47 1,37 1,88 0,95 0,91 Media=0 ∑(z-M)2 5,00 /N =1 /N= 1 σ=√1=1

Proprietà dei punti z La distribuzione dei punteggi standardizzati ha sempre MEDIA=0 e Deviazione Standard= 1 L’aspetto fondamentale è il segno: Un punto z negativo indica che il punteggio si trova sotto la media; Un punto z=0 significa che il punteggio coincide con la media; Un punto z positivo indica che il punteggio è maggiore della media.

Interpretazione dei punti z In generale più grande è Z, in termini positivi, e migliore è il punteggio, poiché significa che il punteggio è molto più grande della media. Indipendentemente dalla media e dalla deviazione standard, quanto un punteggio sia buono dipende dalla forma della distribuzione. Le principali distribuzioni sono: Asimmetrica positiva Asimmetrica negativa Distribuzione normale

media > mediana > moda ASIMMETRICA POSITIVA X 18 20 22 30 Moda=18 Mediana=20 Media=21,6 media > mediana > moda

media < mediana < moda ASIMMETRICA NEGATIVA X 18 19 25 30 Moda=30 Mediana=25 Media=24,4 media < mediana < moda

La distribuzione Normale X 18 24 30 Media = moda = mediana (24) Se si standardizzano tutti i punteggi della distribuzione normale, si ha la distribuzione normale standardizzata che ha sempre media = 0 e DS=1

Caratteristiche della D. N. La Distribuzione Normale è una distribuzione teorica, “adattata” ad una distribuzione di dati. È possibile stimare la percentuale di casi compresa tra -1 e 1 σ (68,26%), -2 e 2 σ (95,44%) e -3 e 3 σ (99,74%) σ dalla media. I parametri della DN sono la media e la σ. La distribuzione normale standardizzata ha media=0 e σ=1 e consente di confrontare rapidamente punteggi ottenuti su scale differenti.

Tavola della distribuzione z Il punto z è la “distanza” di X dalla media e indica che se |z| è molto grande, X è molto distante dalla media (in termini positivi o negativi). Graficamente, si intuisce che l’area compresa tra z e la media, aumenta all’aumentare di z. Per conoscere qual è l’area associata al punto z, ossia la percentuale di soggetti tra la media ed il punto considerato, si può utilizzare la tavola della distribuzione Z. Trovare l’area relativa a Z26=0,68 e Z29=0,48.

Tavola distribuzione z

La distribuzione z z=0,48 z=0,68 Z(0,48)=18,44%, cioè la probabilità di trovare un punteggio compreso tra la media e Z(0,48) è del 18,44%. Z(0,68)=25,17%, cioè la probabilità di trovare un punteggio compreso tra la media e Z(0,68) è del 25,17%.

Qual è la percentuale di casi > di z? Z(0,48)=50+18,44=68,44: le probabilità di trovare un punteggio maggiore di Z(0,48) sono 100-68,44=31,56. Z(0,68)=50+25,17=75,17 : le probabilità di trovare un punteggio maggiore di Z(0,68) sono 100-75,17=24,83.

Punteggi normalizzati I punti z possono non essere immediatamente intuibili per i non esperti in quanto presentano punteggi negativi e decimali. Per questo motivo sono state create delle scale che si ottengono moltiplicando i punti z per σ e, successivamente, sommando tale prodotto per la media della nuova distribuzione. La formula per “trasformare” i punti z è:

Punti T T=10z+50 ossia ha media=50 e DS=10 DISTRIBUZIONE z Z1=-1,14 DISTRIBUZIONE T T1=38,6 T2=38,6 T3=52,2 T4=56,8 T5=63,7

Punteggi QI QI=16z+100 ossia ha media=100 e DS=16 DISTRIBUZIONE z DISTRIBUZIONE QI QI1=81,76 QI2=81,76 QI3=103,52 QI4=110,08 QI5=121,92

Esercizio Data la seguente distribuzione di punteggi ad un questionario sul ragionamento verbale: 2 3 3 4 4 4 5 6 6 Calcolare: Punti z Trasformare i punteggi in punti T Trasformare i punteggi in punti QI

Soluzione Media=3,9 σ=1,37 X Punti Z Punti T Punti QI 2 -1,39 36,1 77,76 3 -0,65 43,5 89,6 4 0,07 50,7 101,12 5 0,80 58 112,8 6 1,53 65,3 124,48

Esercitazione: La seguente distribuzione riporta i punteggi di ansia misurata su pazienti con disturbo depressivo maggiore: 6 6 6 6 7 7 9 9 9 Costruire una tabella di frequenza, indicando: f, fc, %, %c Calcolare moda, mediana, media, Q1, Q2 e Q3, 20° percentile, il rango percentile corrispondente a 7, il campo di variazione, lo scarto interquartile, la deviazione standard ed i punti z. Verificare che i punti z abbiano media uguale 0. Disegnare: l’istogramma ed il box plot.

a) Tabella di frequenza semplice Punteggio F Fc % % cum 5 1 10 6 4 40 50 7 2 20 70 9 3 30 100 Moda= 6; Media= 7; Mediana=6,5 Q1= 6; Q2=6,5; Q3=9; 20°=6; Rango Percentile(7)=70% GAMMA=9-5=4; S. INTERQ=9-6=3, σ=1,41 Z(5)=-1,42; Z(6)=-0,71; Z(7)=0; Z(9)=1,42

b) Media dei punti z Z F F(z) -1,42 1 -0,71 4 -2,84 2 1,42 3 4,26 2 1,42 3 4,26 ΣF(z)= 0

c) ISTOGRAMMA

d) BOX PLOT