Equazioni di 2°grado Introduzione

Forma normale o canonica Una equazione si 2° grado (il più alto grado dell’incognita è 2)si dice scritta in forma normale o canonica se è nella forma ax2+bx+c=0 con a, b e c numeri reali e a≠0 (o si ridurrebbe ad un’eq. di primo grado) Ad esempio 3x2+2x-5=0 è una equazione di 2° grado scritta in forma normale (con coefficienti a=3, b=2 e c=-5) In una equazione scritta in forma normale a è detto coefficiente del termine di 2° grado, b è detto coefficiente del termine di 1° grado il terzo termine è detto termine noto (non essendo associato ad un valore variabile)

Riduzione a forma normale Se una equazione non è scritta in forma normale il primo passo da effettuare è quello di riportarla in tale forma attraverso semplici operazioni e trasporto di tutti i termini al 1° membro dell’uguaglianza Esempio: 4x-2=3(x2–x)↔ 4x-2=3x2–3x↔ -3x2+7x-2=0

Soluzioni di un’equazione Le soluzioni di una equazione di 2° grado (note anche come zeri o radici) sono quei valori che sostituiti alla incognita x rendono l’equazione una identità. x=1 e x=2 sono soluzioni per l’equazione x2– 3x+2=0 infatti 12–3+2=0 e 22–6+2=0

Equazioni incomplete Se manca il termine di primo grado o il termine noto o entrambi l’equazione si dice incompleta Le equazioni incomplete si suddividono in Spurie Pure Monomie

Equazioni spurie Una equazione di secondo grado in cui manchi il termine noto (cioè quella in cui è c=0) si dice pura Una equazione spuria ha 2 soluzioni di cui una è sempre 0 e l’altra –b/a ( nell’esempio 0 e -2)

Equazioni pure Una equazione di secondo grado in cui manchi il termine di 1° grado (cioè quella in cui è b=0) si dice spuria Una equazione spuria ha 2 soluzioni opposte ±√(c/a) (nell’esempio ±2) se a e c sono discordi. Non ha soluzioni se a e c sono concordi

Monomie Una equazione di secondo grado in cui manchi il termine di 1° grado e il termine noto (cioè quella in cui è a=b=0) si dice monomia Una equazione spuria ha 2 soluzioni (coincidenti) entrambe uguali a zero

Discriminante Si chiama discriminante di una equazione di 2° grado, e si indica con Δ, il numero b2-4ac

Formula risolutiva Le soluzioni di un’equazione di 2° grado si ricavano dalla formula Che si può anche esprimere esplicitamente La formula risolutiva è applicabile anche alle equazioni incomplete Nel caso b sia pari conviene applicare la formula ridotta

Tipologia soluzioni Se Δ>0 le soluzioni sono 2, reali e distinte S={(-b+√Δ)/2a, (-b-√Δ)/2a} Se Δ=0 le soluzioni sono 2 reali coincidenti S={-b/2a} Se Δ<0 non esistono soluzioni reali S={Ø} Se a e c sono discordi il discriminante è sicuramente positivo (non vale il viceversa)

QUADRO RIASSUNTIVO  > 0 soluzioni reali e distinte x1 x2   = 0 soluzioni reali e coincidenti x1=x2   < 0 equazione impossibile in 

Esempio 1

Esempio 2

Esempio 3

Esempio 4

Casi particolari In certi casi ci si può trovare di fronte al prodotto di più polinomi di grado minore o uguale a 2 uguagliato a zero: in tal caso non è conveniente eseguire le operazioni, ma, al contrario, scomporre l’equazione nelle diverse equazioni sfruttando la proprietà dell’annullamento del prodotto

Esempio 5

Equazioni frazionarie Nelle equazioni frazionarie, occorre: Scomporre i denominatori Imporre i diversi denominatori diversi da 0 (scartare le radici che li annullano) effettuare il m.c.m. dei denominatori Ridurre in forma normale eliminando i denominatori

Esempio 6

Equazioni a coefficienti letterali Nel caso nell’equazione compaiano lettere occorre verificare che Il loro valore Non renda il discriminante negativo (condizione di realtà) Non azzeri alcun denominatore (condizione di possibilità) Nel caso si annulli il coefficiente del termine di 2° grado si avrà una sola soluzione Questo procedimento si chiama discussione dell’equazione

Esempio 7

Esempio 8

Relazioni tra coefficienti e soluzioni di equazioni di 2° grado Tra i coefficienti e le soluzioni di una equazione di 2° grado con Δ≥0 esistono le relazioni

Relazioni tra coefficienti e soluzioni di equazioni di 2° grado Per definizione x1 e x2 sono soluzioni dell’equazione (x-x1)(x-x2)=0 e quindi di x2-(x1+x2)x+x1x2 Viceversa 2 numeri ci cui si conosca somma e prodotto sono soluzioni di x2-sx+p dove s e p sono somma e prodotto dei numeri dati Il trinomio ax2+bx+c, se ha soluzioni, si può scomporre come a(x-x1)(x-x2) se Δ>0 oppure come a(x- x1)2=a[x+b/(2a)]2 se Δ=0

Teorema di Cartesio a b c p=c/a s= -b/a x1 x2 + - Se tutti i coefficienti hanno lo stesso segno le soluzioni sono negative Se solo il coefficiente del termine di 1° grado è negativo le soluzioni sono positive Se solo il coefficiente del termine di 2° grado è positivo le soluzioni sono discordi e quella maggiore in valore assoluto è positiva Se solo il termine noto è negativo le soluzioni sono discordi e quella maggiore in valore assoluto è negativa a b c p=c/a s= -b/a x1 x2 + -

Esempio 9 Data l’equazione 2x2-3x+1 determinare somma e prodotto delle radici senza risolvere l’equazione s=-b/a=3/2 p=c/a=1/2

Esempio 10 Trovare l’equazione di 2° grado avente per soluzioni -1/2 e 2/3 x2-sx+p quindi x2-x/6-1/3 ed eliminando i denominatori 6x2-x-2

Esempio 11 Determinare 2 numeri sapendo che la loro somma è 2m e il loro prodotto m2-4 Deve essere x2-2mx+m2-4=0 cioè

Equazioni parametriche Si dice parametrica una equazione avente almeno un coefficiente dipendente da una o più lettere dette parametri Esempio: x2+3mx+m-1=0 al variare di m si hanno diverse equazioni e quindi diverse soluzioni Se m=0 x2-1=0 S={-1,+1} Se m=1 x2+3x=0 S={-3,0} Se m=2 x2+6x+1=0 S={-3±√2}….

? Questione fondamentale è determinare i valori dei parametri che soddisfano determinate condizioni

Esempio 12 a 2x2–(k-1)x+2=0 Determinare per quali valori di k l’equazione abbia radici coincidenti Occorre imporre Δ=0 quindi

Esempio 12 b 2x2–(k-1)x+2=0 Determinare per quali valori di k l’equazione ha una radice nulla L’equazione ha radice nulla se spuria (c=0) Quindi ma c=2 quindi per nessun valore di k il termine noto è nullo

Esempio 12 c 2x2–(k-1)x+2=0 Determinare per quali valori di k l’equazione ha radici opposte Ciò avviene quando l’equazione è pura cioè b=0

Esempio 12 d 2x2–(k-1)x+2=0 Determinare per quali valori di k l’equazione ha radici reciproche Deve essere

Esempio 12 e 2x2–(k-1)x+2=0 Determinare per quali valori di k la somma delle radici dell’equazione sia 3 Deve essere

Esempio 12 f 2x2–(k-1)x+2=0 Determinare per quali valori di k Il prodotto delle radici dell’equazione sia 4 Deve essere

Esempio 12 g 2x2–(k-1)x+2=0 Determinare per quali valori di k la somma dei quadrati delle radici dell’equazione sia 7 Deve essere

Esempio 12 h 2x2–(k-1)x+2=0 Determinare per quali valori di k la somma dei reciproci delle radici dell’equazione sia 4

FORMULE IMPORTANTI CONDIZIONE RICHIESTA FORMULA DA IMPORRE Soluzioni reali e distinte  = b2 -4ac > 0 Soluzioni reali e coincidenti  =b2 -4ac = 0 Soluzioni complesse o equazione impossibile in   =b2 -4ac < 0 Somma delle radici s = m Prodotto delle radici p = n Soluzioni opposte x1=-x2 x1+ x2 = Soluzioni reciproche Somma dei quadrati delle radici x12+x22=q Somma dei cubi delle radici x13+x23=q