Numeri e conti con i geroglifici egizi

I numeri fino a dieci: QUATTRO CINQUE TRE DIECI OTTO SETTE DUE UNO NOVE SEI ??

e poi avanti così NOVANTANOVE QUATTORDICI DICIASSETTE DICIANNOVE DICIOTTO QUINDICI fino a … TREDICI UNDICI DODICI SEDICI E dopo? VENTI

1000 Ecco tutti i segni 1 10.000 10 100.000 100 1.000.000

56 138 Proviamo a leggere 10500

6705 406 Proviamo a leggere 5.080.030

101 1010 Proviamo a scrivere 57

523 5705 Proviamo a scrivere 4.030.043

Numeri nei bassorilievi: provate a trovarli 46 11.110 121.200

più Come si fa un’addizione? 32+23=55

più Proviamo questa addizione. 32+61=93

più 1042+251=1293 Proviamo quest’altra.

più Ora proviamo quest’altra addizione 162+43=205 ATTENZIONE!

più 1058+200262 =201320 Proviamo questa addizione.

più 645+258=903 Proviamo quest’altra

più 355+2026=2561 Proviamo quest’altra

più 200790+14220=215010 e questa.

più 1.004.058+207.262=1.211.320 e questa.

meno UNDICI Si cancellano cifre uguali nel primo e nel secondo numero. Quello che resta è il risultato. Come si fa una sottrazione? UNDICI

meno Cancelliamo le cifre uguali nel primo e nel secondo numero. Attenzione! Nel primo numero non ci sono più archetti. Bisogna cambiare una corda in dieci archetti. Scriviamo quello che resta Ora si può continuare 1332-241=1091 Proviamo quest’altra

meno Proviamo questa sottrazione. 1453-221=1232

meno Proviamo quest’altra. 2313-201=2112

meno Ora questa. Ma attenzione! 20423-215=20208

meno Questa sembra più facile, ma… 20423-215=20208

meno 1.672.230 – 480.130 = 1.192.100 Per finire, proviamo questa

→ → per Calcoliamo 6×12 SETTANTADUE Facciamo due colonne. Sulla prima scriviamo uno, sulla seconda dodici. Sommiamo i numeri corrispondenti della seconda colonna. Componiamo sei con i numeri nella prima colonna. Ora basta, perché viene otto che è più di sei. Ora raddoppiamo l’uno e il dodici. Come si fa una moltiplicazione? Calcoliamo 6×12 SETTANTADUE Raddoppiamo ancora. →

Seguiamo di nuovo il procedimento per → E se calcoliamo 12×6? Seguiamo di nuovo il procedimento SETTANTADUE →

le potenze di 2 e i loro prodotti per 6 … 12 x 6 1 2 3 4 2 1 2 4 8 16 ... x 6 → → le potenze di 2 e i loro prodotti per 6 … Perché funziona? 12 = 4 + 8 abbiamo scritto … 12 × 6 = (4+8) × 6 = 4×6 + 8×6

per Proviamo questa moltiplicazione. 3×31=93 3×31 → →

per Proviamo questa moltiplicazione. 4×13=52 4×13 →

→ E se facciamo 13×4? 13×4=52 → →

→ Proviamo questa moltiplicazione 5×21=105 5×21 →

→ → Proviamo questa moltiplicazione 19×17=323 19×17 →

78:13=6 ← ← Calcoliamo 78:13 diviso Come prima, facciamo due colonne. Sulla prima scriviamo uno, sulla seconda tredici. Sommiamo i numeri corrispondenti della prima colonna. E per finire: impariamo come si fa una divisione. Componiamo 78 con i numeri della seconda colonna. Ora basta, perché raddoppiando 52 viene più di 78. ← Calcoliamo 78:13 Ora raddoppiamo l’uno e il tredici. 78:13=6 Raddoppiamo ancora.

diviso ← Proviamo questa divisione 56:8=7 56:8 ← ←

diviso ← 55:11=5 55:11 Proviamone un’altra ←

diviso ← 252:12=21 252:12 Proviamone un’altra ← ←

diviso ← ← 342:18=19 342:18 Proviamone un’altra ←

← ← 26 : 4 = 6 diviso fa col resto di Non sempre è possibile formare esattamente il primo numero. La somma dei numeri a destra è 24; per arrivare a 26 ne mancano 2. In questo caso la divisione avrà un resto. 26 : 4 = 6 col resto di 2. Allora si cerca di andare più vicino possibile Con i numeri di destra non si può fare 26 Proviamo a fare 26:4 Attenzione però! ←

45:8 ← 45:8= 5 ← diviso Proviamo questa divisione. col resto di 5

110:12 ← 110:12= 9 ← diviso col resto di Proviamo quest’altra.

Per scriverle, scrivevano il denominatore con sopra il segno di una bocca. Gli antichi Egizi usavano solo frazioni con numeratore 1. Ma ci sono due eccezioni Eccone alcune 1 3 2 1 1 4 2 3 1 5 1 10 1 12

Le altre si esprimevano come somma di frazioni a numeratore 1. Vediamo qualche esempio 2 1 + 4 3 4 5 6 2 1 + 3 7 12 4 1 + 3

Le altre si esprimevano come somma di frazioni a numeratore 1. Vediamo qualche esempio 2 1 + 4 3 4 11 12 2 4 1 + 3 2 1 + 3 5 6 7 12 4 1 + 3

Le altre si esprimevano come somma di frazioni a numeratore 1. Ma questo non piace. Ora un caso speciale E allora … 1 3 + 15 1 5 + 5 2

Proviamo a scomporre questa frazione 6 24 + 1 1 4 + 24 24 7 D N 4 24 + 3 1 6 + 8 suggerimento (Fibonacci, Liber abaci, 1202)‏ se N è somma di divisori di D ... divisori di 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 scrivo 7 come somma di ... 6 + 1 oppure 4 + 3

Proviamo a scomporre questa frazione 10 20 + 1 1 2 + 20 20 11 D N 1 4 + 5 10 5 4 2 + + 20 20 20 suggerimento (Fibonacci, Liber abaci, 1202)‏ se N è somma di divisori di D ... divisori di 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20 scrivo 11 come somma di ...

Proviamo a scomporre questa frazione 35 12 D N 7 35 + 5 1 5 + 7 suggerimento (Fibonacci, Liber abaci, 1202)‏ se N è somma di divisori di D ...

Proviamo a scomporre questa frazione 35 2 D N 1 + 630 18 18 1 + 18x35 18x35 18x2 18x35 35+1 = suggerimento (Fibonacci, Liber abaci, 1202)‏ se N divide D+1, prendo k tale che kN=D+1... D N = kD kN N=2, D+1=36 k=18

Proviamo a scomporre questa frazione 15 2 D N 1 + 120 8 8x15 15+1 8x15 8x2 8 1 + 8x15 = suggerimento (Fibonacci, Liber abaci, 1202)‏ se N divide D+1, prendo k tale che kN=D+1... D N = kD kN N=2, D+1=16 k=8

Proviamo a scomporre questa frazione 52 3 13 4 D N 4 1 + 18 1 4 + resto = resto 468 1 52 3 18 1 - 13 4 - 1 = = 468 1 52 3 13 : 4 > 3 52 : 3 > 17 prendo denominatore 4 prendo denominatore 18 procedimento della “massima frazione unitaria” - trovare la più grande frazione unitaria minore della data - trovare la più grande frazione unitaria minore del resto ...

← ← ← Come si fa una divisione con le frazioni. Ma 3 è la quarta parte di 12. E allora… Risultato: 5 e 1 4 diviso Si comincia come al solito. Verrebbe 5 col resto di 3 Ad esempio, 63:12 ← ← ← RISULTATO:

fa diviso ← 110:12= 9 e 1 6 Proviamo questa divisione. 110:12 ← ←

diviso fa ← 129:21= 6 e 1 7 129:21 Proviamo quest’altra. ← ←

FINE