EQUAZIONI DI SECONDO GRADO INTRODUZIONE La seguente presentazione è un esempio di unità didattica contestualizzabile in un percorso didattico riferito al programma di matematica di un istituto professionale. E’ rivolta non solo agli studenti di una classe seconda superiore,ma anche agli adulti che intendono conseguire il diploma di scuola secondaria di II grado attraverso una formazione a distanza. L’unità didattica è ampliabile e integrabile con l’interazione diretta col docente attraverso gli strumenti offerti dalla piattaforma on line o in presenza dell’insegnante

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO METODOLOGIA Poiché acquisire la tecnica per risolvere equazioni di 2° grado è fondamentale per tutto il percorso didattico che seguirà, l’unità didattica è stata sviluppata mettendo in rilievo le nozioni basilari e i saperi essenziali che consentono allo studente di raggiungere tale obiettivo. A tale scopo, dopo la trattazione di ogni unità di apprendimento sono stati introdotti: esercizi svolti per esemplificare regole ed applicazioni; esercizi guidati per permettere allo studente sia di verificare immediatamente quanto appreso sia di ottenere gratificazione e motivazione; esercizi da svolgere. Al termine dell’unità didattica: brevi test o domande a risposta aperta consentono un ripasso generale dell’argomento. Link utili per un lavoro di personale approfondimento.

EQUAZIONI DI 2° GRADO PREREQUISITI OBIETTIVI Per affrontare questa unità didattica lo studente deve saper: Eseguire operazioni con numeri naturali, interi relativi e razionali relativi Risolvere equazioni di primo grado Calcolare radici quadrate OBIETTIVI In questa unità didattica lo studente imparerà: A riconoscere la forma normale di un’equazione di II grado A distinguere tra equazioni complete, pure e spurie A conoscere ed applicare la formula risolutiva A conoscere il significato del discriminante A risolvere equazioni complete, pure e spurie

CONTENUTI Equazioni complete Formula risolutiva Significato del discriminante Equazioni incomplete Equazioni incomplete pure Equazioni incomplete spurie Libro di riferimento: Mario Lepora ELEMENTI DI MATEMATICA per gli Istituti Professionali vol 2 Petrini editore

EQUAZIONI COMPLETE La forma normale di un’equazione di 2° grado completa è: a x2 + b x + c = 0 con a, b, c numeri reali e a ≠ 0

FORMULA RISOLUTIVA Per risolvere un’equazione di secondo grado completa si applica la formula: x = - b ± √b2 – 4ac 2a L’espressione che appare sotto il segno di radice b2 – 4ac si chiama discriminante dell’equazione e si indica con la lettera greca ∆ ( delta ).

SIGNIFICATO DEL DISCRIMINANTE Il segno di ∆ determina le soluzioni di un’equazione di secondo grado: Se ∆ > 0 l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte Se ∆ < 0 L’equazione non ammette soluzioni Se ∆ = 0 l’equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti

DUE SOLUZIONI REALI E DISTINTE ESEMPIO 1 x2 – 4x + 3 = 0 a = 1, b = - 4, c = 3 x = 4 ±√16 – 4·1·3 = 4 ±√4 = 4 ± 2 2 2 2 ∆ > 0 X1 = 1 X2 = 3 DUE SOLUZIONI REALI E DISTINTE

DUE SOLUZIONI REALI E COINCIDENTI ESEMPIO 2 x2 + 6x + 9 = 0 a = 1, b = 6, c = 9 x = -6 ±√36 – 4·1·9 = 4 ±√0 = 4 ± 0 2 2 2 ∆ = 0 X1 = 2 X2 = 2 DUE SOLUZIONI REALI E COINCIDENTI

EQUAZIONE IMPOSSIBILE ESEMPIO 3 x2 + x + 5 = 0 a = 1, b = 1, c = 5 x = -1±√1– 4·1·5 = -1±√-19 2 2 ∆ < 0 EQUAZIONE IMPOSSIBILE

Esercizio guidato 1 8x2 -10x + 3 = 0 Si applica la formula risolutiva: 16 Le soluzioni sono: x1 = x2 =

Esercizio guidato 2 3x2 + 4x + 5 = 0 Si applica la formula risolutiva: 6 Le soluzioni sono:

Esercizio guidato 3 4x2 - 28x + 49 = 0 Si applica la formula risolutiva: x = 28 ±√ 784 - 784 = 8 Le soluzioni sono:

Soluzioni esercizi guidati equazioni complete x1 = 1/2 x2 = ¾ L’equazione non ammette soluzioni reali x1 =x2 = 7/2

Esercizi da svolgere x2 - 2x - 8 = 0 x1 = -2 x2 = 4 3x2 +5x + 42 = 0 impossibile 9x2 + 15x - 6 = 0 x1 = -2 x2 = 1/3 25x2 - 100x + 64 = 0 x1 = 4/5 x2= 16/5 9x2 + 12x - 12 = 0 x1 = -2 x2= 2/3

EQUAZIONI INCOMPLETE Se b = 0 Se c = 0 l’equazione l’equazione diventa a x2 + c = 0 e si chiama equazione PURA Se c = 0 l’equazione diventa a x2 + bx = 0 e si chiama equazione SPURIA

EQUAZIONI PURE Le equazioni pure si risolvono isolando il termine con l’incognita: ax2 + c = 0 ax2 = - c x = ±√-c/a ESEMPI

ESEMPI di equazioni pure x2 – 16 = 0 x2 = 16 x = ± 4 25x2 – 4 = 0 x2 = 4/25 x = ± 2/5 x2 + 9 = 0 x2 = - 9 x = ±√ - 9 Equazione impossibile Le soluzioni di un’equazione pura, se esistono, sono numeri opposti.

Esercizi guidati equazioni pure 2x2 - 18 = 0 2x2 = 18 x2 = 9 x = x2 - 16 = 0 x2 = x = 4x2 - 25 = 0 4x2 = x2 = x = x2 + 25 = 0 x2 = l’equazione è

Soluzioni esercizi guidati equazioni pure x = ± 3 x = ± 4 x = ± 5/2 impossibile

Esercizi da svolgere equazioni pure x2 = 49 x = ± 7 x2 - 36 = 0 x = ± 6 x2 - 625 = 0 x = ± 25 10x2 - 1000 = 0 x = ± 10 3x2 - 75 = 0 x = ± 5 8x2 - 32 = 0 x = ± 2 12x2 - 1200 = 0 x = ± 10 2x2 + 28 = 0 impossibile 3x2 = -27 impossibile 2x2 - 32 = 0 x = ± 4

EQUAZIONI SPURIE Le equazioni spurie si risolvono raccogliendo x ed applicando la legge di annullamento del prodotto, secondo la quale il prodotto di due fattori è zero se almeno uno di essi è zero. ax2 + bx = 0 x = 0 x( ax + b ) = 0 ax + b = 0 x = - b/a ESEMPI

ESEMPI di equazioni spurie x2 – 4x = 0 x1 = 0 x( x – 4) = 0 x – 4 = 0 x2 = 4 L’equazione spuria ha due soluzioni reali una delle quali sempre uguale a zero 3x2 + 5x = 0 x1 = 0 x( 3x + 5 ) = 0 3x + 5 = 0 x2 = -5/3

Esercizi guidati equazioni spurie 7x2 + 4x = 0 x = 0 x ( 7x + 4 ) = 0 7x + 4 = 0 x = 5x2 – x = 0 x ( ) = 0

Soluzioni esercizi guidati equazioni spurie x = 0 x = - 4/7 x = 0 x = 1/5

Esercizi da svolgere equazioni spurie 3x2 - 4x = 0 x = 0 x = 4/3 8x2 - 32x = 0 x = 0 x = 4 25x2 + 5x = 0 x = 0 x = - 1/5 7x2 - 2x = 0 x = 0 x = 2/7 9x2 - 36x = 0 x = 0 x = 4 12x2 + x = 0 x = 0 x = - 1/12 7x2 - 56x = 0 x = 0 x = 8 2x2 + 14x = 0 x = 0 x = -7 4x2 - 6x = 0 x = 0 x = 3/2 5x2 + 5x = 0 x = 0 x = - 1

IN SINTESI ax2 + bx + c = 0 Nome equazione Soluzioni Tipo di soluzioni b ≠ 0, c ≠ 0 completa x = -b±√ ∆ 2a Se ∆ > 0 reali distinte Se ∆ = 0 reali coincidenti Se ∆ < 0 nessuna soluzione b = 0, c ≠ 0 pura x = ±√-c/a Se esistono, sono opposte b ≠ 0, c = 0 spuria x1 = 0 x2 = -b/a Reali distinte

VERIFICA test Riconosci , tra le seguenti espressioni, l’equazione di II grado a) x + 1= 2x2 b) x – 2x + 1 = 0 c) 3x2 – 4x +2 d) 4x3 -5 x2 +3 = 0 Riconosci, tra le seguenti, l’equazione di II grado completa a) 3 x2 -x = 0 b) x2 - x - 3= 0 c) x2 - 9 = 0 d) 5 x2 = 0 Riconosci, tra le seguenti, l’equazione di II grado spuria

test Riconosci, tra le seguenti, l’equazione di II grado pura a) 3 x2 -x = 0 b) x2 - x - 3= 0 c) x2 - 9 = 0 d) 5 x2 = 0 Riconosci l’equazione di II grado completa ridotta a forma normale a) 3 x2 = x – 5 b) 4 x2 + 7x – 2x +3 = 0 c) 4 x2 + 3x - 1 = 0 Individua i coefficienti a,b e c delle seguenti equazioni a) 4 x2 - 8x + 3 = 0 a = b = c = b) 3x2 -1 +8x = 0 a = b = c = c) 2x – 3x2 + 1 = 0 a = b = c =

test La formula risolutiva dell’equazione completa di II grado è: a) x = b ±√ b2 + 4ac 2 a b) x = b ±√ -b2 – 4ac c) x = -b ±√ b2 – 4ac 2 c d) x = - b ±√ b2 – 4ac

VERIFICA domande aperte Data l’equazione 2x2 - 3x + 5 = 0, applica la formula risolutiva Risolvi le equazioni 3 x2 - 6x + 3 = 0 3 x2 - 6x = 0 3 x2 - 27= 0 Scrivi la formula del  Completa le seguenti frasi Se risulta  ….. 0, l’equazione ha ……………………………………….

LINK UTILI Per approfondire l’argomento si segnalano i seguenti siti: http://www.matematicamente.it http://www.ripmat.it http://www.silviocilloco.it http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_quadratica http://matematicagenerale.it http://www.matematiche.org http://www.zanichelli.it