Questa è la funzione esponenziale  

Questa è la funzione esponenziale   Consideriamo a = 2 f(x) = 2x

Se diamo alla x il valore X = 1, otteniamo per la funzione

Se diamo alla x il valore X = 1, otteniamo per la funzione Mentre se diamo alla x il valore X = 10, otteniamo per la funzione f(10) =210 = 1024

Questa parte del grafico è inutilizzabile Aumentando il valore della x di 10 volte il valore della funzione aumenta di più di 1000 volte Questo fatto può essere molto scomodo quando si devono eseguire calcoli ed utilizzare i grafici Questa parte del grafico è inutilizzabile e poiché le funzioni esponenziali, in modo più o meno complicato, sono usatissime in vari campi, questo capita molto spesso ?

Per aggirare l’ostacolo dovuto alla scomodità del calcolo si ricorre ad un «trucco»: Poiché, in una funzione esponenziale, la base è sempre la stessa, è possibile utilizzare nei calcoli , inizialmente, i valori degli esponenti e solo successivamente il valore della funzione f(x) = ax

CONCENTRIAMOCI SULL’ESPONENTE X   CONCENTRIAMOCI SULL’ESPONENTE X X è il valore da dare all’esponente della base a per ottenere il valore della funzione Esempio 1:       6 è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione  

  X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione Esempio 2:         4 è il valore dell’esponente della base a = 3 che ci permette di ottenere il valore della funzione  

  X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione Esempio 3:         - 4 è il valore dell’esponente della base a = 5 che ci permette di ottenere il valore della funzione  

    X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione Invertiamo i ruoli tra l’esponente e la funzione esponenziale in modo da ottenere il valore dell’esponente conoscendo la funzione    

X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione Invertiamo i ruoli tra l’esponente e la funzione esponenziale in modo da ottenere il valore dell’esponente conoscendo la funzione   X , il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione, si chiama LOGARITMO IN BASE a DI x x = loga(ax)

X , il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione, si chiama LOGARITMO IN BASE a DI x x = loga(ax) Invertiamo i ruoli tra l’esponente e la funzione esponenziale in modo da ottenere il valore dell’esponente conoscendo la funzione      

    X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione Invertiamo i ruoli tra l’esponente e la funzione esponenziale in modo da ottenere il valore dell’esponente conoscendo la funzione x = F-1(y) x = F-1(ax)  

ha come funzione inversa f(x) = ax ha come funzione inversa x = loga f(x) X , il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione, si chiama LOGARITMO IN BASE a DI x x = loga(ax)

ha come funzione inversa f(x) = ax ha come funzione inversa x = loga f(x) E’ una funzione come tutte le altre, quindi può essere definita indipendentemente dalla funzione esponenziale f(x) = loga x

Che tipo di funzione è

E' una funzione biunivoca, perché ad ogni valore di f(x) corrisponde un solo valore di x E così via . . . f(x3) f(x2) f(x1) x1 x2 x3

f(x) = ax2+ bx + c x1B x1A f1(x) esempio di funzione non invertibile Ad ogni valore di f(x) corrispondono due valori di x x1B x1A

E' una funzione biunivoca, perché ad ogni valore di f(x) corrisponde un solo valore di x

da y = ax si passa a x = f-1 (y) E' una funzione biunivoca, perché ad ogni valore di f(x) corrisponde un solo valore di x Quindi è una funzione invertibile, cioè esiste una funzione tale che x = f-1 (y) da y = ax si passa a x = f-1 (y) Funzione inversa

x = f-1 (y) Per ottenere la funzione inversa è sufficiente che l’asse delle x con tutti i valori della x (ESPONENTI) prenda il posto dell’asse delle y (VALORI DELLA FUNZIONE) e viceversa

x 1

x 1 Adesso rinominiamo gli assi mettendo x su quello orizzontale e y su quello verticale

x 1 Adesso rinominiamo gli assi mettendo x su quello orizzontale e y su quello verticale

f(x) Questa è la funzione logaritmo f(x) = logax 1 x

f(x) f(x) = logax a > 1 1 x

f(x) = ax 0 < a < 1

f1(x) = loga x f2(x) = logb x

f1(x) = loga x 0 < a < 1 f2(x) = logb x b > 1

Sono simettriche rispetto alla bisettrice del I e del II quadrante Le due funzioni f(x) = loga x e f(x) = a x Sono simettriche rispetto alla bisettrice del I e del II quadrante f(x) = loga x

PROPRIETA’ DEI LOGARITMI X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione   PROPRIETA’ DEI LOGARITMI IL LOGARITMO DI UN PRODOTTO E’ UGUALE ALLA SOMMA DEI LOGARITMI

IL LOGARITMO DI UN RAPPORTO E’ UGUALE ALLA DIFFERENZA DEI LOGARITMI PROPRIETA’   IL LOGARITMO DI UN RAPPORTO E’ UGUALE ALLA DIFFERENZA DEI LOGARITMI

IL LOGARITMO DI UNA ESPONENZIALE E’ UGUALE AL PROPRIETA’   IL LOGARITMO DI UNA ESPONENZIALE E’ UGUALE AL PRODOTTO DELL’ESPONENTE PER IL LOGARITMO DELLA BASE