EQUAZIONI ESPONENZIALI Una equazione in cui l’incognita compare all’esponente di almeno un numero reale positivo e diverso da 1. Vediamo i principali tipi di equazioni esponenziali.
ax = b b R Se b 0 impossibile Se b > 0 1 sola soluzione x = logab b x
ESEMPI 3x = 8 x = log38 2x = 5 x = log25
ALTRI CASI af(x)=ag(x) ha come soluzione f(x)=g(x) Esempi: 2x = 4
ESEMPI 4x = 32 22x = 25 x = 5/2 5x = 0.04 5x = 4/100 5x = 1/25
f(ax)=0 si pone ax = t si risolve f(t) = 0 supponiamo che le soluzioni, se esistono, siano t1, … , tn si risolvono le equazioni: ax = t1 , …, ax = tn
ESEMPI 9x = 2·3x 32x = 2 ·3x 3x= t t2 = 2 ·t t(t - 2) = 0 t = 0, t = 2 3x = 0 mai 3x = 2 x = log32
ci si riconduce al caso precedente scrivendo: af(x) = bg(x) ci si riconduce al caso precedente scrivendo: E quindi, eguagliando gli esponenti: f(x)=g(x)loga(b)
ESEMPI 52x = 23x+1 2x = log52(3x + 1) 2x = (3x + 1)log52 x (2 - 3 log52) = log52 x = log52 / (2 - 3 log52)
EQUAZIONI LOGARITMICHE Una equazione in cui l’incognita compare nell’argomento di un logaritmo. Vediamo i principali tipi di equazioni logaritmiche.
logax = b x > 0 b R x = ab Esempio: log3x = 2 x = 32 = 9 accettabile
logaf(x) = b pongo f(x) > 0 f(x) = ab Esempio: log2 (4x) = 2 pongo 4x > 0 x > 0 4x = 22 x = 1 accettabile
logaf(x) = logag(x) pongo f(x), g(x) > 0 ha come soluzione f(x)=g(x) log3x = log3(2x-2) pongo x > 0 2x-2 > 0 x >1 x = 2x - 2 x = 2 accettabile
f( loga(x) )=0 si pone loga(x) = t si risolve f(t) = 0 supponiamo che le soluzioni, se esistono, siano t1, … , tn si risolvono le equazioni: loga(x) = t1 , …, loga(x) = tn
ESEMPI ln2(x) – 2 ln(x) - 3 = 0 x > 0 pongo ln(x) = t t2 – 2t – 3 = 0 t1 = 3 t2 = - 1 ln(x) = 3 x = e3 accettabile ln(x) = - 1 x = e-1 accettabile