Equazione e grafico Per gli alunni delle terze classi La parabola Equazione e grafico Per gli alunni delle terze classi

Prerequisiti Obiettivi Distanza tra due punti e tra un punto e una retta Equazioni delle rette nel piano cartesiano Sistema di riferimento cartesiano nel piano Obiettivi Capire il significato di equazione di una parabola Saper rappresentare graficamente una parabola

Argomenti trattati Definizione di parabola Equazione della parabola con vertice nell’origine e simmetrica rispetto all’asse delle ordinate Equazione generale della parabola Cenni sulla traslazione Test di autoverifica

Definizione Si dice parabola il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice

Equazione della parabola Fissati nel piano un punto F ed una retta d, per definizione, un generico punto P(x,y) della parabola deve essere equidistante dal fuoco e dalla direttrice. Ovvero deve essere : y = -p F P(x.y) H d Scelto il sistema di riferimento in modo che il fuoco appartenga all’asse delle ordinate, la direttrice sia parallela all’asse delle ascisse e l’origine sia equidistante da F e da d, si ha che F(0,p) e d ha equazione y = -p

Poiché P(x,y), F(0,p) e d ha equazione y=-p si ha: Ma deve essere Quindi: Elevando al quadrato entrambi i membri, si ha:

Che dopo facili calcoli diventa: Riducendo i termini simili si ottiene l’equazione: Che risolta rispetto a y diventa:

L’equazione precedente si può scrivere nella forma: Posto nell’equazione si ricava L’equazione precedente si può scrivere nella forma: (1) E, ricordando che il fuoco ha coordinate (0, p) e la direttrice ha equazione y =-p, possiamo sostituire il valore di p, calcolato in funzione di a, ottenendo così le coordinate del fuoco e l’equazione della direttrice a partire dall’equazione della parabola.

Possiamo concludere dicendo che: rappresenta l’equazione della parabola con vertice nell’origine e avente come asse di simmetria l’asse delle y. Ovvero Per rappresentare graficamente la parabola mediante il foglio elettronico cliccare qui

Equazione generale della parabola Per trovare l’equazione generale della parabola basta applicare alla parabola di equazione y=ax2 la traslazione che porta il vertice V(0,0) nel punto V’(x0,y0) Basta,quindi, sostituire le seguenti equazioni: Ottenendo:

Ponendo: (*) e sostituendo nella (*) l’equazione assume la forma: Per studiare il grafico cliccare quì

ricordando che: b =-2ax0 e si ricava Sostituendo nella seconda relazione il valore di x0 si ha dove x0 e y0 sono le coordinate del nuovo vertice della parabola

rappresenta l’equazione della parabola con: Applicando la traslazione anche al fuoco, alla direttrice e all’asse di simmetria possiamo concludere dicendo che: rappresenta l’equazione della parabola con: Per rappresentare graficamente la parabola mediante il foglio elettronico cliccare qui

La traslazione P’ P y x’ x y’ a b Si dice traslazione di vettore (a,b) quella trasformazione che ad ogni punto P(x,y) associa il punto P’ (x’,y’) tale che: x’=x+a y’=y+b che rappresentano le equazioni della traslazione

Le equazioni x’=x+a y’=y+b vengono utilizzate per calcolare il trasformato di un punto. Consideriamo una funzione y=f(x), una traslazione trasforma tutti i suoi punti nello stesso modo, quindi il grafico ottenuto è congruente al dato, mentre l’equazione generalmente è diversa.

Esempio Data la retta di equazione x+y=5 che incontra gli assi cartesiani nei punti di coordinate (0,5) (5,0) consideriamo la sua corrispondente nella traslazione di equazioni x’=x+a y’=y+b Per ottenere la funzione corrispondente a quella data bisogna sostituire al posto di x e y le loro espressioni ricavate dalle precedenti equazioni x=x’-a y=y’-b ottenendo: (x’-a)+(y’-b)=5 ovvero x’+y’=5+a+b 5 5+a+b Che è una retta parallela alla precedente(se a e b sono entrambi positivi si ottiene la retta rappresentata in figura)

Test di autoverifica Data la parabola di equazione y=x2+1 a=……. b=…….. c=……….. concavità…………………….…. asse di simmetria……………… V(……;……..) Date le due parabole: y=-3x2+1 e y=5x2+1 quali elementi hanno in comune?…………… Data la parabola di equazione y=x2+6x-4 V(…….;…….) F(……..;…….) asse di simmetria……………. direttrice……………….. 4. Rappresentare graficamente le parabole precedenti e verificare i risultati con i grafici ottenuti usando il foglio elettronico. Soluzioni

a=1 b=0 c=1, volge la concavità verso l’alto, l’asse di simmetria è l’asse delle y ( x=0 ) V(0,1) Hanno: il vertice nel punto V(0,1) e come asse di simmetria l’asse delle ordinate V(-3, -13) F(-3, -51/4) asse di simmetria: x = -3 direttrice y = -53/4